In mathematics, a Lie algebra (/liː/, not /laɪ/) is a vector space together with a non-associative multiplication called "Lie bracket" . When an algebraic product is defined on the space, the Lie bracket is the commutator . Lie algebras were introduced to study the concept of infinitesimal transformations. Hermann Weyl introduced the term "Lie algebra" (after Sophus Lie) in the 1930s. In older texts, the name "infinitesimal group" is used.

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  • In mathematics, a Lie algebra (/liː/, not /laɪ/) is a vector space together with a non-associative multiplication called "Lie bracket" . When an algebraic product is defined on the space, the Lie bracket is the commutator . Lie algebras were introduced to study the concept of infinitesimal transformations. Hermann Weyl introduced the term "Lie algebra" (after Sophus Lie) in the 1930s. In older texts, the name "infinitesimal group" is used. Lie algebras are closely related to Lie groups which are groups that are also smooth manifolds, with the property that the group operations of multiplication and inversion are smooth maps. Any Lie group gives rise to a Lie algebra. Conversely, to any finite-dimensional Lie algebra over real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group unique up to covering (Lie's third theorem). This correspondence between Lie groups and Lie algebras allows one to study Lie groups in terms of Lie algebras. (en)
  • Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird. (de)
  • En matemática, un álgebra de Lie es la estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, asociada usualmente a los grupos de Lie y usadas en el estudio geométrico de esos los propios grupos y de otras variedades diferenciables. El término "álgebra de Lie" (referido a Sophus Lie) fue creado por Hermann Weyl en la década de 1930, para lo que se denominaba "grupo infinitesimal". Si un grupo de Lie puede interpretarse en física como un grupo de transformaciones sobre una variedad diferenciable el álgebra de Lie físicamente puede concebirse como un conjunto de transformaciones infinitesimales. (es)
  • En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. (fr)
  • In matematica, un'algebra di Lie (prende il nome da Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili. (it)
  • 数学において、リー代数 (Lie algebra)、もしくはリー環は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆による違いを除いて一意的に存在する(リーの第三定理)。このリー群とリー代数の間の対応によってリー群をリー代数によって研究することができる。 (ja)
  • In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteit. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl. (nl)
  • Algebra Liego – struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego, rozwiązywania układów nieliniowych etc. (pl)
  • А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899). (ru)
  • Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930. (pt)
  • 数学上,李代数是一个代数结构,主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”(以索菲斯·李命名)一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中,无穷小群指的就是李代数。 (zh)
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  • Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird. (de)
  • En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. (fr)
  • In matematica, un'algebra di Lie (prende il nome da Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili. (it)
  • 数学において、リー代数 (Lie algebra)、もしくはリー環は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆による違いを除いて一意的に存在する(リーの第三定理)。このリー群とリー代数の間の対応によってリー群をリー代数によって研究することができる。 (ja)
  • In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteit. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl. (nl)
  • Algebra Liego – struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego, rozwiązywania układów nieliniowych etc. (pl)
  • А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899). (ru)
  • Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930. (pt)
  • 数学上,李代数是一个代数结构,主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”(以索菲斯·李命名)一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中,无穷小群指的就是李代数。 (zh)
  • In mathematics, a Lie algebra (/liː/, not /laɪ/) is a vector space together with a non-associative multiplication called "Lie bracket" . When an algebraic product is defined on the space, the Lie bracket is the commutator . Lie algebras were introduced to study the concept of infinitesimal transformations. Hermann Weyl introduced the term "Lie algebra" (after Sophus Lie) in the 1930s. In older texts, the name "infinitesimal group" is used. (en)
  • En matemática, un álgebra de Lie es la estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, asociada usualmente a los grupos de Lie y usadas en el estudio geométrico de esos los propios grupos y de otras variedades diferenciables. El término "álgebra de Lie" (referido a Sophus Lie) fue creado por Hermann Weyl en la década de 1930, para lo que se denominaba "grupo infinitesimal". (es)
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  • Lie algebra (en)
  • Lie-Algebra (de)
  • Álgebra de Lie (es)
  • Algèbre de Lie (fr)
  • Algebra di Lie (it)
  • リー代数 (ja)
  • Lie-algebra (nl)
  • Algebra Liego (pl)
  • Álgebra de Lie (pt)
  • Алгебра Ли (ru)
  • 李代數 (zh)
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