| dbo:abstract
|
- In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt. (de)
- Στα μαθηματικά, η φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ είναι η λύση για στην εξίσωση για πιθανώς μη αντιμεταθετικό X και Y στην μιας . Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφής του τύπου, αλλά όλοι τελικά δίνουν μια έκφραση για με Λι αλγεβρικούς όρους, δηλαδή ως σειρά (όχι απαραίτητα συγκλίνουσα) στο και και επαναλαμβάνοντας τους μεταγωγείς τους. Οι πρώτοι όροι αυτής της σειράς είναι: που " " υποδηλώνει όρους που περιλαμβάνουν υψηλότερους μεταγωγείς του και . Αν και είναι αρκετά μικρά στοιχεία της άλγεβρας Λι μιας ομάδας Λι , η σειρά είναι συγκλίνουσα. Εν τω μεταξύ, κάθε στοιχείο αρκετά κοντά στην ταυτότητα του μπορεί να εκφραστεί ως για ένα μικρό σε . Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι κοντά στην ταυτότητα ο πολλαπλασιασμός της ομάδας - γραμμένος ως - μπορεί να εκφραστεί με καθαρά αλγεβρικούς όρους Λι. Αν και είναι αρκετά μικρά πίνακες, τότε μπορεί να υπολογιστεί ως ο λογάριθμος του , όπου τα εκθετικά και ο λογάριθμος μπορούν να υπολογιστούν ως σειρές ισχύος. Οι σύγχρονες εκθέσεις του τύπου μπορούν να βρεθούν, μεταξύ άλλων, στα βιβλία των Ρόσμαν και Χαλ. (el)
- In mathematics, the Baker–Campbell–Hausdorff formula is the solution for to the equation for possibly noncommutative X and Y in the Lie algebra of a Lie group. There are various ways of writing the formula, but all ultimately yield an expression for in Lie algebraic terms, that is, as a formal series (not necessarily convergent) in and and iterated commutators thereof. The first few terms of this series are:where "" indicates terms involving higher commutators of and . If and are sufficiently small elements of the Lie algebra of a Lie group , the series is convergent. Meanwhile, every element sufficiently close to the identity in can be expressed as for a small in . Thus, we can say that near the identity the group multiplication in —written as —can be expressed in purely Lie algebraic terms. The Baker–Campbell–Hausdorff formula can be used to give comparatively simple proofs of deep results in the Lie group–Lie algebra correspondence. If and are sufficiently small matrices, then can be computed as the logarithm of , where the exponentials and the logarithm can be computed as power series. The point of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is then the highly nonobvious claim that can be expressed as a series in repeated commutators of and . Modern expositions of the formula can be found in, among other places, the books of Rossmann and Hall. (en)
- En matemáticas, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permite hallar la solución de para la ecuación con e que pueden ser no conmutativos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en e y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son: donde "" indica términos que involucran conmutadores superiores de e . Si e son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie de un grupo de Lie , la serie es convergente. Mientras tanto, cada elemento suficientemente cerca de la identidad en puede expresarse como por un pequeño en . Por lo tanto, se puede decir que cerca de la identidad la multiplicación grupal en — escrita como — puede expresarse en términos puramente algebraicos de Lie. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se puede utilizar para proporcionar demostraciones comparativamente simples de resultados profundos en la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie. Si e son matrices lo suficientemente pequeñas de orden , entonces se puede calcular como el logaritmo de , donde los exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias. El punto de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es, entonces, la afirmación claramente no obvia de que puede expresarse como una serie en conmutadores repetidos de e . Las exposiciones modernas de la fórmula se pueden encontrar, entre otros lugares, en los libros de Rossmann y Hall. (es)
- En mathématiques, la formule de Baker- (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation : où , et sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Expression Avec les crochets de Lie, elle s'écrit : Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: En particulier lorsque et commutent nous avons Lorsque et commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire ) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : . Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion , . (fr)
- In matematica, la formula di Baker–Campbell–Hausdorff è la soluzione dell'equazione: per due grandezze e non commutanti (ad esempio matrici quadrate). Questa formula collega i gruppi di Lie con le algebre di Lie esprimendo il logaritmo del prodotto di due elementi del gruppo di Lie come un elemento dell'algebra di Lie in coordinate canoniche. La soluzione coinvolge le parentesi di Lie degli elementi e ; la sua scrittura, interrotta al terzo ordine, è: Come si può vedere, nel caso di parentesi di Lie nulla (gruppo di Lie abeliano) la formula si riconduce alla formula consueta per l'esponenziale tra numeri; i termini successivi coinvolgono commutatori sempre più annidati. Questa formula prende il nome da Henry Frederick Baker, John Edward Campbell e Felix Hausdorff. (it)
- Em Teoria de Lie, teoria de operadores e teoria matricial, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descreve a exponenciação de elementos de uma álgebra de Lie que não necessariamente comutam: onde é o comutador da álgebra, e os termos posteriores são todos comutadores de comutadores. (pt)
- Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для из следующего равенства здесь , и — элементы алгебры Ли близкие к нулю.Выражение на является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от , . Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли.Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике. (ru)
- 在数学中，贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式（英語：Baker–Campbell–Hausdorff formula）指的是下列方程中的解： 其中，和是李群李代数中的非对易元素。贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式有很多种写法，下列是最常见的一种： 这里的表示还应有高阶项。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt. (de)
- En mathématiques, la formule de Baker- (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation : où , et sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Expression Avec les crochets de Lie, elle s'écrit : Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: En particulier lorsque et commutent nous avons Lorsque et commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire ) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : . Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion , . (fr)
- Em Teoria de Lie, teoria de operadores e teoria matricial, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descreve a exponenciação de elementos de uma álgebra de Lie que não necessariamente comutam: onde é o comutador da álgebra, e os termos posteriores são todos comutadores de comutadores. (pt)
- Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для из следующего равенства здесь , и — элементы алгебры Ли близкие к нулю.Выражение на является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от , . Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли.Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике. (ru)
- 在数学中，贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式（英語：Baker–Campbell–Hausdorff formula）指的是下列方程中的解： 其中，和是李群李代数中的非对易元素。贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式有很多种写法，下列是最常见的一种： 这里的表示还应有高阶项。 (zh)
- Στα μαθηματικά, η φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ είναι η λύση για στην εξίσωση για πιθανώς μη αντιμεταθετικό X και Y στην μιας . Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφής του τύπου, αλλά όλοι τελικά δίνουν μια έκφραση για με Λι αλγεβρικούς όρους, δηλαδή ως σειρά (όχι απαραίτητα συγκλίνουσα) στο και και επαναλαμβάνοντας τους μεταγωγείς τους. Οι πρώτοι όροι αυτής της σειράς είναι: Αν και είναι αρκετά μικρά πίνακες, τότε μπορεί να υπολογιστεί ως ο λογάριθμος του , όπου τα εκθετικά και ο λογάριθμος μπορούν να υπολογιστούν ως σειρές ισχύος. (el)
- In mathematics, the Baker–Campbell–Hausdorff formula is the solution for to the equation for possibly noncommutative X and Y in the Lie algebra of a Lie group. There are various ways of writing the formula, but all ultimately yield an expression for in Lie algebraic terms, that is, as a formal series (not necessarily convergent) in and and iterated commutators thereof. The first few terms of this series are:where "" indicates terms involving higher commutators of and . If and are sufficiently small elements of the Lie algebra of a Lie group , the series is convergent. Meanwhile, every element sufficiently close to the identity in can be expressed as for a small in . Thus, we can say that near the identity the group multiplication in —written as —can be expressed in purely Lie a (en)
- En matemáticas, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permite hallar la solución de para la ecuación con e que pueden ser no conmutativos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en e y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son: Las exposiciones modernas de la fórmula se pueden encontrar, entre otros lugares, en los libros de Rossmann y Hall. (es)
- In matematica, la formula di Baker–Campbell–Hausdorff è la soluzione dell'equazione: per due grandezze e non commutanti (ad esempio matrici quadrate). Questa formula collega i gruppi di Lie con le algebre di Lie esprimendo il logaritmo del prodotto di due elementi del gruppo di Lie come un elemento dell'algebra di Lie in coordinate canoniche. La soluzione coinvolge le parentesi di Lie degli elementi e ; la sua scrittura, interrotta al terzo ordine, è: Questa formula prende il nome da Henry Frederick Baker, John Edward Campbell e Felix Hausdorff. (it)
|
