| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, la construcció de Cayley-Dickson produeix una seqüència d'àlgebres sobre el cos dels nombres reals, cada una amb dimensió doble que l'anterior. Les àlgebres produïdes per aquest procés són conegudes com a àlgebres de Cayley-Dickson; atès que són una extensió dels nombres complexos, són nombres hipercomplexos. Totes aquestes àlgebres tenen els conceptes de norma i conjugat, sent la idea general que el producte d'un element i el seu conjugat hauria de ser el quadrat de la seva norma. La sorpresa és que per als primers passos, a més de tenir dimensió més alta, la següent àlgebra perd alguna propietat algebraica específica. (ca)
- In mathematics, the Cayley–Dickson construction, named after Arthur Cayley and Leonard Eugene Dickson, produces a sequence of algebras over the field of real numbers, each with twice the dimension of the previous one. The algebras produced by this process are known as Cayley–Dickson algebras, for example complex numbers, quaternions, and octonions. These examples are useful composition algebras frequently applied in mathematical physics. The Cayley–Dickson construction defines a new algebra as a Cartesian product of an algebra with itself, with multiplication defined in a specific way (different from the componentwise multiplication) and an involution known as conjugation. The product of an element and its conjugate (or sometimes the square root of this product) is called the norm. The symmetries of the real field disappear as the Cayley–Dickson construction is repeatedly applied: first losing order, then commutativity of multiplication, associativity of multiplication, and next alternativity. More generally, the Cayley–Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension. Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers). (en)
- Das Verdopplungsverfahren, auch bekannt als Cayley-Dickson-Verfahren, ist ein Verfahren zur Erzeugung hyperkomplexer Zahlen. Das neue Zahlensystem hat dabei doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangssystem. Die Bedeutung des Verdopplungsverfahrens liegt darin, dass es aus den reellen Zahlen nacheinander die komplexen Zahlen, die Quaternionen, die Oktonionen und die Sedenionen hervorbringt. (de)
- En matemáticas, la construcción de Cayley-Dickson produce una secuencia de álgebras sobre el cuerpo de los números reales, cada una con dimensión doble que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso son conocidas como álgebras de Cayley-Dickson; dado que son una extensión de los números complejos, son números hipercomplejos. Todas estas álgebras tienen los conceptos de norma y conjugado, siendo la idea general que el producto de un elemento y su conjugado debería ser el cuadrado de su norma. La sorpresa es que para los primeros pasos, además de tener dimensión más alta, la siguiente álgebra pierde alguna propiedad algebraica específica. (es)
- In matematica, la costruzione di Cayley-Dickson, che prende il nome dai matematici Arthur Cayley e Leonard Eugene Dickson, produce una sequenza di algebre sopra il campo dei numeri reali, ognuna delle quali ha dimensione doppia della precedente. Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson; poiché estendono i numeri complessi, vengono definite numeri ipercomplessi. Le algebre di Cayley-Dickson sono tutte dotate di norma e di un'operazione di coniugazione. In tutte le algebre il prodotto di un elemento e del suo coniugato è pari al quadrato della sua norma. I primi 3 passaggi (quaternioni, ottetti, sedenioni) hanno la sorprendente caratteristica di perdere a una a una tre proprietà dei numeri reali e complessi: la commutatività per i quaternioni, l'associatività per gli ottetti, e infine la proprietà dell'algebra alternativa. Tutte le algebre di Cayley-Dickson, tuttavia, mantengono l'associatività della potenza. L'operazione di somma rimane sempre commutativa e associativa. (it)
- En mathématiques, la construction de Cayley–Dickson, nommée d'après Arthur Cayley et Leonard Eugene Dickson, fournit une suite d'algèbres sur le corps des réels, chacune ayant le double de la dimension de sa prédécesseure, connues comme les algèbres de Cayley–Dickson. Les nombres complexes, les quaternions ou les octonions en sont des exemples. La construction de Cayley–Dickson définit la nouvelle algèbre comme le produit cartésien de l'algèbre de départ avec elle-même, muni d'une multiplication distincte de la multiplication composante par composante et d'une involution appelée conjugaison. Au fur et à mesure que cette construction est appliquée, les symétries du corps des réels disparaissent : d'abord le caractère ordonné avec les nombres complexes, puis la commutativité avec les quaternions, l'associativité avec les octonions, et l'alternativité avec les sédénions. (fr)
- 数学におけるケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう、英: Cayley–Dickson construction）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンに因んで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数（ケーリー・ディクソンだいすう、英: Cayley–Dickson algebras）として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。 これらの代数はすべて対合（または共役）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる。 最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質を一つ一つ失っていく。 より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである。 (ja)
- 추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.:160–164, §Ⅱ.2.5 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다. (ko)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, genereert de Cayley-Dickson-constructie, vernoemd naar Arthur Cayley en Leonard Eugene Dickson, een rij van algebra's over het lichaam van de reële getallen, elk met een dimensie gelijk aan twee keer de dimensie van de vorige. De algebra's die in dit proces worden gegenereerd staan bekend als Cayley-Dickson-algebra's. De constructie is speciaal bedoeld voor het achtereenvolgens genereren van de complexe getallen, de quaternionen en de octonionen. (nl)
- Em matemática , a construção de Cayley-Dickson , nomeada por Arthur Cayley e Leonard Eugene Dickson , produz uma sequência de álgebras sobre o campo dos números reais , cada um com o dobro da dimensão do anterior. As álgebras produzidas por esse processo são conhecidas como álgebras de Cayley-Dickson , por exemplo , números complexos , quaternions e octonions . Estes exemplos são álgebras de composição úteis frequentemente aplicadas em física matemática. A construção de Cayley-Dickson define uma nova álgebra semelhante à soma direta de uma álgebra com ela mesma, com a multiplicação definida de uma maneira específica (diferente da multiplicação fornecida pela soma direta genuína) e uma involução conhecida como conjugação . O produto de um elemento e seu conjugado (ou às vezes a raiz quadrada deste produto) é chamado de norma . As simetrias do campo real desaparecem à medida que a construção de Cayley-Dickson é aplicada repetidamente: primeiro perdendo a ordem , depois a comutatividade da multiplicação, a associatividade da multiplicação e a próxima alternativa . Mais geralmente, a construção de Cayley-Dickson leva qualquer álgebra com involução para outra álgebra com involução de duas vezes a dimensão. (pt)
- Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона. Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех . Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел). Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения. В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности. (ru)
- Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці. Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д. Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею. (uk)
- 在数系理论中，凯莱-迪克森构造以定义在实数集的代数结构为基础构造出新的代数系统序列。序列中每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍。所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。它扩展了复数的概念，属于超复数的范畴。 凯莱-迪克森构造的代数系统中，都有范数和共轭的概念。从广义的概念上讲，集合中的一个元素和它的共轭的乘积等于它的范数的平方。 一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了有一个更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- En matemàtiques, la construcció de Cayley-Dickson produeix una seqüència d'àlgebres sobre el cos dels nombres reals, cada una amb dimensió doble que l'anterior. Les àlgebres produïdes per aquest procés són conegudes com a àlgebres de Cayley-Dickson; atès que són una extensió dels nombres complexos, són nombres hipercomplexos. Totes aquestes àlgebres tenen els conceptes de norma i conjugat, sent la idea general que el producte d'un element i el seu conjugat hauria de ser el quadrat de la seva norma. La sorpresa és que per als primers passos, a més de tenir dimensió més alta, la següent àlgebra perd alguna propietat algebraica específica. (ca)
- Das Verdopplungsverfahren, auch bekannt als Cayley-Dickson-Verfahren, ist ein Verfahren zur Erzeugung hyperkomplexer Zahlen. Das neue Zahlensystem hat dabei doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangssystem. Die Bedeutung des Verdopplungsverfahrens liegt darin, dass es aus den reellen Zahlen nacheinander die komplexen Zahlen, die Quaternionen, die Oktonionen und die Sedenionen hervorbringt. (de)
- 数学におけるケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう、英: Cayley–Dickson construction）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンに因んで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数（ケーリー・ディクソンだいすう、英: Cayley–Dickson algebras）として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。 これらの代数はすべて対合（または共役）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる。 最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質を一つ一つ失っていく。 より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである。 (ja)
- 추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.:160–164, §Ⅱ.2.5 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다. (ko)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, genereert de Cayley-Dickson-constructie, vernoemd naar Arthur Cayley en Leonard Eugene Dickson, een rij van algebra's over het lichaam van de reële getallen, elk met een dimensie gelijk aan twee keer de dimensie van de vorige. De algebra's die in dit proces worden gegenereerd staan bekend als Cayley-Dickson-algebra's. De constructie is speciaal bedoeld voor het achtereenvolgens genereren van de complexe getallen, de quaternionen en de octonionen. (nl)
- Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці. Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д. Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею. (uk)
- 在数系理论中，凯莱-迪克森构造以定义在实数集的代数结构为基础构造出新的代数系统序列。序列中每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍。所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。它扩展了复数的概念，属于超复数的范畴。 凯莱-迪克森构造的代数系统中，都有范数和共轭的概念。从广义的概念上讲，集合中的一个元素和它的共轭的乘积等于它的范数的平方。 一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了有一个更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。 (zh)
- In mathematics, the Cayley–Dickson construction, named after Arthur Cayley and Leonard Eugene Dickson, produces a sequence of algebras over the field of real numbers, each with twice the dimension of the previous one. The algebras produced by this process are known as Cayley–Dickson algebras, for example complex numbers, quaternions, and octonions. These examples are useful composition algebras frequently applied in mathematical physics. More generally, the Cayley–Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension. (en)
- En matemáticas, la construcción de Cayley-Dickson produce una secuencia de álgebras sobre el cuerpo de los números reales, cada una con dimensión doble que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso son conocidas como álgebras de Cayley-Dickson; dado que son una extensión de los números complejos, son números hipercomplejos. Todas estas álgebras tienen los conceptos de norma y conjugado, siendo la idea general que el producto de un elemento y su conjugado debería ser el cuadrado de su norma. (es)
- En mathématiques, la construction de Cayley–Dickson, nommée d'après Arthur Cayley et Leonard Eugene Dickson, fournit une suite d'algèbres sur le corps des réels, chacune ayant le double de la dimension de sa prédécesseure, connues comme les algèbres de Cayley–Dickson. Les nombres complexes, les quaternions ou les octonions en sont des exemples. (fr)
- In matematica, la costruzione di Cayley-Dickson, che prende il nome dai matematici Arthur Cayley e Leonard Eugene Dickson, produce una sequenza di algebre sopra il campo dei numeri reali, ognuna delle quali ha dimensione doppia della precedente. Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson; poiché estendono i numeri complessi, vengono definite numeri ipercomplessi. Le algebre di Cayley-Dickson sono tutte dotate di norma e di un'operazione di coniugazione. In tutte le algebre il prodotto di un elemento e del suo coniugato è pari al quadrato della sua norma. (it)
- Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона. В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности. (ru)
- Em matemática , a construção de Cayley-Dickson , nomeada por Arthur Cayley e Leonard Eugene Dickson , produz uma sequência de álgebras sobre o campo dos números reais , cada um com o dobro da dimensão do anterior. As álgebras produzidas por esse processo são conhecidas como álgebras de Cayley-Dickson , por exemplo , números complexos , quaternions e octonions . Estes exemplos são álgebras de composição úteis frequentemente aplicadas em física matemática. (pt)
|
