| dbo:abstract
|
- في الجبر الخطي، مبرهنة كايلي-هاميلتون (بالإنجليزية: Cayley–Hamilton theorem) تنص على أن كل مصفوفة مربعة معرفة على حلقة تبادلية (مجموعة الأعداد الحقيقية أو العقدية مثالين) تحقق المعادلة المميزة الخاصة بها. سميت هاته المبرهنة هكذا نسپة لعالمي الرياضيات اللذين وضعاها وهما أرثور كايلي وويليام هاميلتون. (ar)
- El teorema de Cayley-Hamilton és un resultat fonamental en l'àlgebra lineal segons el qual, donada una matriu A i el seu polinomi característic Q(x), aquest s'anul·la en avaluar-lo en A.És a dir, que Q(A)=0. És immediat que dins el polinomi, la matriu A és commutativa respecte a l'operació producte. Una formulació equivalent n'és l'afirmació que el polinomi característic de A és un múltiple del polinomi mínim de A o, cosa que és el mateix, que el polinomi característic de A és un element de l'ideal principal de polinomis anul·ladors de A. Rep el seu nom dels matemàtics Arthur Cayley i William Rowan Hamilton. (ca)
- Cayleyho-Hamiltonova věta je matematické tvrzení z oboru lineární algebry pojmenované po Arthurovi Cayleym a Williamu Hamiltonovi, které říká, že každá čtvercová matice nad komutativním okruhem (tedy speciálně například nad tělesem reálných čísel nebo tělesemkomplexním čísel) je kořenem svého charakteristického polynomu. V případě těles to znamená, že charakteristický polynom je dělitelný minimálním polynomem. Podrobněji řečeno znamená Cayleyho-Hamiltonova věta, že pro danou čtvercovou matici platí, že je kořenem polynomu , tedy polynomu, který vznikne výpočtem determinantu matice vzniklé rozdílem jednotkové matice řádu pronásobené skalární neznámou a matice . Za její zobecnění lze pokládat . (cs)
- Στη γραμμική άλγεβρα, το θεώρημα Κέιλεϊ – Χάμιλτον (πήρε το όνομά του από τους μαθηματικούς και Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον) αναφέρει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο (όπως είναι τα σώματα των πραγματικών ή των μιγαδικών αριθμών) ικανοποιεί τη δική του χαρακτηριστική εξίσωση. Αν Α είναι δοθείς πίνακας και είναι ο ταυτοτικός πίνακας, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A ορίζεται ως όπου είναι η ορίζουσα και ; είναι το βαθμωτό στοιχείο της βάσης δακτυλίου. Δεδομένου ότι οι καταχωρήσεις του πίνακα είναι (γραμμικά ή σταθερά) πολυώνυμα στο λ, η ορίζουσα είναι επίσης μια n-οστής τάξης κανονικού πολυωνύμου στο λ. Το θεώρημα Cayley–Hamilton δηλώνει ότι αντικαθιστώντας στον πίνακα A για λ σε αυτό το πολυώνυμο έχει ως αποτέλεσμα τον μηδενικό πίνακα, Οι δυνάμεις του Α, που λαμβάνονται από την αντικατάσταση των δυνάμεων του λ, καθορίζονται από τον επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό πινάκων: ο σταθερός όρος του δίνει ένα πολλαπλάσιο της δύναμης Α0, του οποίου η δύναμη ορίζεται ως ο ταυτοτικός πίνακας .Το θεώρημα επιτρέπει το Αn να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των χαμηλότερων δυνάμεων του πίνακα Α. Όταν ο δακτύλιος είναι ένα σώμα, το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον είναι ισοδύναμο με τη δήλωση ότι το ελάχιστο πολυώνυμο ενός τετραγωνικού πίνακα διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Το θεώρημα αποδείχτηκε για πρώτη φορά το 1853 αναφορικά με τους αντίστροφους όρους των γραμμικών συναρτήσεων των τετραδικών αριθμών, ένας μη-αντιμεταθετικός δακτύλιος, από τον Hamilton. Αυτό αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση ορισμένων πραγματικών πραγματικών ή μιγαδικών πινάκων. Το θεώρημα ισχύει γενικά για τετραδικούς πίνακες. Ο Cayley το 1858 το δήλωσε για και μικρότερους πίνακες, αλλά δημοσίευσε μια απόδειξη μόνο για τη περίπτωση. Η γενική περίπτωση αποδείχτηκε για πρώτη φορά από τον Frobenius το 1878. (el)
- Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. (de)
- In linear algebra, the Cayley–Hamilton theorem (named after the mathematicians Arthur Cayley and William Rowan Hamilton) states that every square matrix over a commutative ring (such as the real or complex numbers or the integers) satisfies its own characteristic equation. If A is a given n × n matrix and In is the n × n identity matrix, then the characteristic polynomial of A is defined as , where det is the determinant operation and λ is a variable for a scalar element of the base ring. Since the entries of the matrix are (linear or constant) polynomials in λ, the determinant is also a degree-n monic polynomial in λ, One can create an analogous polynomial in the matrix A instead of the scalar variable λ, defined as The Cayley–Hamilton theorem states that this polynomial expression is equal to the zero matrix, which is to say that . The theorem allows An to be expressed as a linear combination of the lower matrix powers of A. When the ring is a field, the Cayley–Hamilton theorem is equivalent to the statement that the minimal polynomial of a square matrix divides its characteristic polynomial. The theorem was first proven in 1853 in terms of inverses of linear functions of quaternions, a non-commutative ring, by Hamilton. This corresponds to the special case of certain 4 × 4 real or 2 × 2 complex matrices. The theorem holds for general quaternionic matrices. Cayley in 1858 stated it for 3 × 3 and smaller matrices, but only published a proof for the 2 × 2 case. The general case was first proved by Ferdinand Frobenius in 1878. (en)
- En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico. En términos matriciales, eso significa que : si A es una matriz cuadrada de orden n y si es su polinomio característico (polinomio de indeterminada λ), entonces al sustituir formalmente λ por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula: El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera. Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico. (es)
- En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En termes de matrice, cela signifie que si A est une matrice carrée d'ordre n et si est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique. Bien qu'il porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton, la première démonstration du théorème est donnée par Ferdinand Georg Frobenius en 1878, Cayley l'ayant principalement utilisé dans ses travaux, et Hamilton l'ayant démontré en dimension 2. (fr)
- 선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다. (ko)
- In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate). Più precisamente, se è la trasformazione lineare nello spazio -dimensionale (o, equivalentemente, una matrice ) e è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale: Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi. (it)
- 線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理（ケイリー・ハミルトンのていり、英: Cayley–Hamilton theorem）、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。 n次正方行列 A に対して、In を n次単位行列とすると、A の固有多項式は で定義される。ここで det は行列式を表し、λ は係数環の元（スカラー）である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式（1次式または定数）だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち の成立を述べるものである。 注置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積による冪に置き換わるから、特に p(λ) の定数項は A0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わる。 定理により、特に An は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環がのとき、ケイリー・ハミルトンの定理は「任意の正方行列 A の最小多項式は A の固有多項式を整除する（割り切る）」という主張に同値である。 この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した（それは「非可換」環である四元数を変数とする一次函数の逆を用いたものであった）。これは一般の定理において、実4次または複素2次という特別の場合に当たるものである。 ケイリー・ハミルトンの定理は、四元数係数の行列に対しても成立する。 1858年にケイリーは 3次およびそれより小さい行列に関して定理を述べているが、証明は 2次の場合のみを著している。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウスによる。 (ja)
- Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona Dokładniej; jeżeli jest macierzą oraz jest macierzą identycznościową to wielomian charakterystyczny jest zdefiniowany jako: gdzie oznacza wyznacznik. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer: Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy. (pl)
- De stelling van Cayley-Hamilton is een stelling in de lineaire algebra die stelt dat elke vierkante reële of complexe matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Arthur Cayley en William Hamilton. (nl)
- Inom linjär algebra innebär Cayley–Hamiltons sats (efter matematikerna Arthur Cayley och William Rowan Hamilton) att varje kvadratisk matris bestående av komplexa eller reella tal uppfyller sin egen karakteristiska ekvation. Det vill säga: om är en given n×n matris och In är identitetsmatrisen med dimensionerna n×n, så definieras A:s karakteristiska ekvation som där "det" betecknar determinanten. Cayley–Hamiltons sats innebär att om ersätts med i den karakteristiska ekvationen erhålls nollmatrisen: (sv)
- Em álgebra linear, o teorema de Cayley-Hamilton (cujo nome faz referência aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton) diz que o polinômio mínimo de uma matriz divide o seu polinômio característico. Em outras palavras, seja uma matriz e o seu polinômio característico, definido por: em que é a função determinante e é a matriz identidade de ordem Então O teorema Cayley–Hamilton é equivalente à afirmação de que o polinômio mínimo de uma matriz quadrada divide seu polinômio característico. (pt)
- 在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（英語：Cayley–Hamilton theorem）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。 明確地說：設為給定的矩陣，並設為單位矩陣，則的特徵多項式定義為： 其中表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言： 凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。 (zh)
- Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры,утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. (ru)
- Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю: Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від матриці як лінійні комбінації Твердження теореми є справедливим для матриць із елементами із будь-якого комутативного кільця з одиницею зокрема будь-якого поля. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في الجبر الخطي، مبرهنة كايلي-هاميلتون (بالإنجليزية: Cayley–Hamilton theorem) تنص على أن كل مصفوفة مربعة معرفة على حلقة تبادلية (مجموعة الأعداد الحقيقية أو العقدية مثالين) تحقق المعادلة المميزة الخاصة بها. سميت هاته المبرهنة هكذا نسپة لعالمي الرياضيات اللذين وضعاها وهما أرثور كايلي وويليام هاميلتون. (ar)
- Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. (de)
- 선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다. (ko)
- De stelling van Cayley-Hamilton is een stelling in de lineaire algebra die stelt dat elke vierkante reële of complexe matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Arthur Cayley en William Hamilton. (nl)
- Inom linjär algebra innebär Cayley–Hamiltons sats (efter matematikerna Arthur Cayley och William Rowan Hamilton) att varje kvadratisk matris bestående av komplexa eller reella tal uppfyller sin egen karakteristiska ekvation. Det vill säga: om är en given n×n matris och In är identitetsmatrisen med dimensionerna n×n, så definieras A:s karakteristiska ekvation som där "det" betecknar determinanten. Cayley–Hamiltons sats innebär att om ersätts med i den karakteristiska ekvationen erhålls nollmatrisen: (sv)
- Em álgebra linear, o teorema de Cayley-Hamilton (cujo nome faz referência aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton) diz que o polinômio mínimo de uma matriz divide o seu polinômio característico. Em outras palavras, seja uma matriz e o seu polinômio característico, definido por: em que é a função determinante e é a matriz identidade de ordem Então O teorema Cayley–Hamilton é equivalente à afirmação de que o polinômio mínimo de uma matriz quadrada divide seu polinômio característico. (pt)
- 在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（英語：Cayley–Hamilton theorem）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。 明確地說：設為給定的矩陣，並設為單位矩陣，則的特徵多項式定義為： 其中表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言： 凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。 (zh)
- Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры,утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. (ru)
- Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю: Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від матриці як лінійні комбінації Твердження теореми є справедливим для матриць із елементами із будь-якого комутативного кільця з одиницею зокрема будь-якого поля. (uk)
- El teorema de Cayley-Hamilton és un resultat fonamental en l'àlgebra lineal segons el qual, donada una matriu A i el seu polinomi característic Q(x), aquest s'anul·la en avaluar-lo en A.És a dir, que Q(A)=0. És immediat que dins el polinomi, la matriu A és commutativa respecte a l'operació producte. Una formulació equivalent n'és l'afirmació que el polinomi característic de A és un múltiple del polinomi mínim de A o, cosa que és el mateix, que el polinomi característic de A és un element de l'ideal principal de polinomis anul·ladors de A. (ca)
- Cayleyho-Hamiltonova věta je matematické tvrzení z oboru lineární algebry pojmenované po Arthurovi Cayleym a Williamu Hamiltonovi, které říká, že každá čtvercová matice nad komutativním okruhem (tedy speciálně například nad tělesem reálných čísel nebo tělesemkomplexním čísel) je kořenem svého charakteristického polynomu. V případě těles to znamená, že charakteristický polynom je dělitelný minimálním polynomem. Za její zobecnění lze pokládat . (cs)
- Στη γραμμική άλγεβρα, το θεώρημα Κέιλεϊ – Χάμιλτον (πήρε το όνομά του από τους μαθηματικούς και Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον) αναφέρει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο (όπως είναι τα σώματα των πραγματικών ή των μιγαδικών αριθμών) ικανοποιεί τη δική του χαρακτηριστική εξίσωση. Αν Α είναι δοθείς πίνακας και είναι ο ταυτοτικός πίνακας, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A ορίζεται ως (el)
- In linear algebra, the Cayley–Hamilton theorem (named after the mathematicians Arthur Cayley and William Rowan Hamilton) states that every square matrix over a commutative ring (such as the real or complex numbers or the integers) satisfies its own characteristic equation. (en)
- En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico. En términos matriciales, eso significa que : si A es una matriz cuadrada de orden n y si es su polinomio característico (polinomio de indeterminada λ), entonces al sustituir formalmente λ por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula: (es)
- En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En termes de matrice, cela signifie que si A est une matrice carrée d'ordre n et si est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. (fr)
- In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate). Più precisamente, se è la trasformazione lineare nello spazio -dimensionale (o, equivalentemente, una matrice ) e è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale: (it)
- Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona Dokładniej; jeżeli jest macierzą oraz jest macierzą identycznościową to wielomian charakterystyczny jest zdefiniowany jako: gdzie oznacza wyznacznik. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer: (pl)
- 線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理（ケイリー・ハミルトンのていり、英: Cayley–Hamilton theorem）、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。 n次正方行列 A に対して、In を n次単位行列とすると、A の固有多項式は で定義される。ここで det は行列式を表し、λ は係数環の元（スカラー）である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式（1次式または定数）だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち の成立を述べるものである。 注置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積による冪に置き換わるから、特に p(λ) の定数項は A0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わる。 定理により、特に An は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環がのとき、ケイリー・ハミルトンの定理は「任意の正方行列 A の最小多項式は A の固有多項式を整除する（割り切る）」という主張に同値である。 (ja)
|
