| dbo:abstract
|
- Una varietat diferenciable és un espai topològic separat V en el qual hi ha definida una família de funcions reals F = (V), que compleixen les següents condicions: si f és una funció f: V → R tal que per a tot punt p de V existeix una funció q de F que coincideix amb f en un cert entorn de p, aleshores f és de F; si f1, ..., fk són funcions de F, i si F és una funció diferenciable qualsevol sobre l'espai euclidià Rk, aleshores F (fk, ..., fn) pertany a F; per a tot punt p de V existeixen n funcions f1, ..., fn de F tals, que l'aplicació q → [f1(q), ..., fn(q) ] dona un homeomorfisme entre un cert entorn U de p i un obert de Rn. En geometria i topologia, una varietat diferenciable és un tipus especial de varietat topològica, a la qual podem estendre les nocions de càlcul diferencial que normalment fem servir a .En una varietat diferenciable M podrem definir el que és una funció diferenciable , i camps de tensors diferenciables (inclosos camps de vectors). L'estudi del càlcul en varietats diferenciables es coneix com a geometria diferencial. (ca)
- En diferenciala geometrio, glata sternaĵo estas sternaĵo, ekipita per elekto de preferataj bildigoj al samdimensia Eŭklida spaco (la glataj bildigoj). (eo)
- In der Mathematik sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten ein Oberbegriff für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die – aus der Sicht der Analysis – lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Im Unterschied zu topologischen Mannigfaltigkeiten ist es auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten möglich, über Ableitungen und verwandte Konzepte zu sprechen. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Hauptgegenstand der Differentialgeometrie und der Differentialtopologie. Sie spielen auch eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik, insbesondere in der klassischen Mechanik bei Systemen, die Zwangsbedingungen unterliegen, und bei der Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie. Es gibt zwei Herangehensweisen an differenzierbare Mannigfaltigkeiten:
* als Teilmengen eines höherdimensionalen euklidischen Raumes, die entweder durch Gleichungen oder durch Parametrisierungen beschrieben sind und im Artikel Untermannigfaltigkeit des behandelt werden
* als abstrakte Mannigfaltigkeiten, deren differenzierbare Struktur durch einen Atlas gegeben ist. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt. (de)
- In mathematics, a differentiable manifold (also differential manifold) is a type of manifold that is locally similar enough to a vector space to allow one to apply calculus. Any manifold can be described by a collection of charts (atlas). One may then apply ideas from calculus while working within the individual charts, since each chart lies within a vector space to which the usual rules of calculus apply. If the charts are suitably compatible (namely, the transition from one chart to another is differentiable), then computations done in one chart are valid in any other differentiable chart. In formal terms, a differentiable manifold is a topological manifold with a globally defined differential structure. Any topological manifold can be given a differential structure locally by using the homeomorphisms in its atlas and the standard differential structure on a vector space. To induce a global differential structure on the local coordinate systems induced by the homeomorphisms, their compositions on chart intersections in the atlas must be differentiable functions on the corresponding vector space. In other words, where the domains of charts overlap, the coordinates defined by each chart are required to be differentiable with respect to the coordinates defined by every chart in the atlas. The maps that relate the coordinates defined by the various charts to one another are called transition maps. The ability to define such a local differential structure on an abstract space allows one to extend the definition of differentiability to spaces without global coordinate systems. A locally differential structure allows one to define the globally differentiable tangent space, differentiable functions, and differentiable tensor and vector fields. Differentiable manifolds are very important in physics. Special kinds of differentiable manifolds form the basis for physical theories such as classical mechanics, general relativity, and Yang–Mills theory. It is possible to develop a calculus for differentiable manifolds. This leads to such mathematical machinery as the exterior calculus. The study of calculus on differentiable manifolds is known as differential geometry. "Differentiability" of a manifold has been given several meanings, including: continuously differentiable, k-times differentiable, smooth (which itself has many meanings), and analytic. (en)
- En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en .En una variedad diferenciable M podremos definir una función diferenciable , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial. (es)
- Dalam matematika, lipatan terdiferensialkan adalah sebuah jenis lipatan yang secara umumcukup mirip dengan untuk memungkinkan seseorang melakukan kalkulus. Setiap lipatan bisa digambarkan dengan sekumpulan grafik, yang juga dikenal sebagai atlas. Seseorang kemudian dapat menerapkan gagasan dari kalkulus saat mengerjakan dalam grafik individu, karena setiap grafik berada di dalam ruang linear yang menerapkan aturan kalkulus yang biasa. Jika grafiknya sesuai dan kompatibel (yaitu, jika transisi dari satu bagan ke grafik lain dapat dibedakan), maka perhitungan yang dilakukan dalam satu tabel dinyatakan valid dalam bagan terdiferensiasi lainnya. (in)
- En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace ℝn. Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales. La structure différentielle est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes. Cette structure permet par exemple de donner une définition globale de la notion d'application différentiable, ou de champ de vecteurs avec ses courbes intégrales. En revanche, à moins de munir la variété de structures supplémentaires (telle qu'une métrique riemannienne), les calculs de dérivées d'ordre 2, la notion de mesure d'une partie, n'admettent pas de généralisation naturelle. (fr)
- 미분기하학에서 매끄러운 다양체(영어: smooth manifold) 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다. (ko)
- Een differentieerbare variëteit is een variëteit waarop wiskundige analyse (differentiëren en integreren) mogelijk is. Een variëteit kan worden beschreven met behulp van een collectie van kaarten, die ook bekendstaat als een atlas. Op een differentieerbare variëteit kan men op de kaarten de differentiaal- en integraalrekening toepassen. De reden hiervoor is dat kaarten in euclidische ruimten liggen, waarop de gebruikelijke regels van de differentiaal- en integraalrekening van toepassing zijn. Als de kaarten voldoende compatibel zijn (wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is), dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart. Formeel is een differentieerbare variëteit een topologische variëteit met een globaal gedefinieerde differentieerbare structuur. Door gebruik te maken van homeomorfismen in zijn atlas en de standaard differentieerbare structuur op de euclidische ruimte kan aan elke topologische variëteit lokaal een differentieerbare structuur worden meegegeven. Om een globale differentieerbare structuur op te leggen aan het lokale door homeomorfismen geïnduceerde coördinatensysteem, moeten hun functiecomposities op kaartdoorsneden in de atlas differentieerbare functies in de euclidische ruimte zijn. Met andere woorden, waar de domeinen van de kaarten overlappen, zijn de coördinaten die door elke kaart worden gedefinieerd, verplicht differentieerbaar met betrekking tot de coördinaten die door elke kaart in de atlas worden gedefinieerd. De afbeeldingen die de coördinaten, gedefinieerd door verschillende kaarten, aan elkaar relateren, worden transitieafbeeldingen genoemd. Differentieerbaarheid betekent in verschillende contexten steeds iets anders: voorbeelden zijn: continue differentieerbaarheid, k-maal differentieerbare en holomorfe functies. Bovendien maakt de mogelijkheid om een dergelijke gedifferentieerde structuur op te leggen aan een abstracte ruimte het mogelijk om de definitie van differentieerbaarheid uit te breiden tot ruimten zonder globale coördinatenstelsels. Een differentiële structuur maakt het mogelijk om globaal differentieerbare raakruimten, differentieerbare functies en differentieerbaar en vectorvelden te definiëren. Differentieerbare variëteiten zijn zeer belangrijk in natuurkunde. Speciale soorten differentieerbare variëteiten vormen de basis voor natuurkundige theorieën zoals de klassieke mechanica, de algemene relativiteitstheorie en de Yang-Mills-theorie Het is mogelijk om voor differentieerbare variëteiten een calculus te ontwikkelen. Dit leidt tot zulke wiskundige machinerie als de uitwendige calculus. De studie van de calculus op differentieerbare variëteiten staat bekend als differentiaalmeetkunde. (nl)
- Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe. Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy co najmniej tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych – skalarnych, wektorowych itd. Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem. Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ). Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny). (pl)
- 数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、英: differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによってexterior calculus（外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。 (ja)
- In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale. (it)
- Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой.Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии.На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. (ru)
- 光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。 (zh)
- Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений . Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En diferenciala geometrio, glata sternaĵo estas sternaĵo, ekipita per elekto de preferataj bildigoj al samdimensia Eŭklida spaco (la glataj bildigoj). (eo)
- En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en .En una variedad diferenciable M podremos definir una función diferenciable , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial. (es)
- Dalam matematika, lipatan terdiferensialkan adalah sebuah jenis lipatan yang secara umumcukup mirip dengan untuk memungkinkan seseorang melakukan kalkulus. Setiap lipatan bisa digambarkan dengan sekumpulan grafik, yang juga dikenal sebagai atlas. Seseorang kemudian dapat menerapkan gagasan dari kalkulus saat mengerjakan dalam grafik individu, karena setiap grafik berada di dalam ruang linear yang menerapkan aturan kalkulus yang biasa. Jika grafiknya sesuai dan kompatibel (yaitu, jika transisi dari satu bagan ke grafik lain dapat dibedakan), maka perhitungan yang dilakukan dalam satu tabel dinyatakan valid dalam bagan terdiferensiasi lainnya. (in)
- 미분기하학에서 매끄러운 다양체(영어: smooth manifold) 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다. (ko)
- In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale. (it)
- Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой.Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии.На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. (ru)
- 光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。 (zh)
- Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений . Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю. (uk)
- Una varietat diferenciable és un espai topològic separat V en el qual hi ha definida una família de funcions reals F = (V), que compleixen les següents condicions: si f és una funció f: V → R tal que per a tot punt p de V existeix una funció q de F que coincideix amb f en un cert entorn de p, aleshores f és de F; si f1, ..., fk són funcions de F, i si F és una funció diferenciable qualsevol sobre l'espai euclidià Rk, aleshores F (fk, ..., fn) pertany a F; per a tot punt p de V existeixen n funcions f1, ..., fn de F tals, que l'aplicació q → [f1(q), ..., fn(q) ] dona un homeomorfisme entre un cert entorn U de p i un obert de Rn. (ca)
- In mathematics, a differentiable manifold (also differential manifold) is a type of manifold that is locally similar enough to a vector space to allow one to apply calculus. Any manifold can be described by a collection of charts (atlas). One may then apply ideas from calculus while working within the individual charts, since each chart lies within a vector space to which the usual rules of calculus apply. If the charts are suitably compatible (namely, the transition from one chart to another is differentiable), then computations done in one chart are valid in any other differentiable chart. (en)
- In der Mathematik sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten ein Oberbegriff für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die – aus der Sicht der Analysis – lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Im Unterschied zu topologischen Mannigfaltigkeiten ist es auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten möglich, über Ableitungen und verwandte Konzepte zu sprechen. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Hauptgegenstand der Differentialgeometrie und der Differentialtopologie. Sie spielen auch eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik, insbesondere in der klassischen Mechanik bei Systemen, die Zwangsbedingungen unterliegen, und bei der Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie. (de)
- En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. En revanche, à moins de munir la variété de structures supplémentaires (telle qu'une métrique riemannienne), les calculs de dérivées d'ordre 2, la notion de mesure d'une partie, n'admettent pas de généralisation naturelle. (fr)
- Een differentieerbare variëteit is een variëteit waarop wiskundige analyse (differentiëren en integreren) mogelijk is. Een variëteit kan worden beschreven met behulp van een collectie van kaarten, die ook bekendstaat als een atlas. Op een differentieerbare variëteit kan men op de kaarten de differentiaal- en integraalrekening toepassen. De reden hiervoor is dat kaarten in euclidische ruimten liggen, waarop de gebruikelijke regels van de differentiaal- en integraalrekening van toepassing zijn. Als de kaarten voldoende compatibel zijn (wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is), dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart. (nl)
- 数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、英: differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 (ja)
- Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe. Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem. (pl)
|
