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- In mathematics, Koszul duality, named after the French mathematician Jean-Louis Koszul, is any of various kinds of dualities found in representation theory of Lie algebras, abstract algebras (semisimple algebra) and topology (e.g., equivariant cohomology). The prototype example, due to Joseph Bernstein, Israel Gelfand, and Sergei Gelfand, is the rough duality between the derived category of a symmetric algebra and that of an exterior algebra. The importance of the notion rests on the suspicion that Koszul duality seems quite ubiquitous in nature. (en)
- 수학에서 코쥘 쌍대성(Koszul雙對性, 영어: Koszul duality)은 결합 대수와 결합 대수 사이의, 또는 보다 일반적으로 오퍼라드와 오퍼라드 사이의 쌍대성 이론이다. 대략, 이차 오퍼라드(二次operad, 영어: quadratic operad) 는 이항 연산만을 가지며, 3항 이하 대수적 공리만을 갖는 오퍼라드이다. 이 경우,
* 는 오퍼라드의 이항 연산들의 공간이다.
* 는 이 이항 연산들이 만족시키는 대수적 공리들의 공간이다.
* 는 사용되는 스칼라의 환이며, 예를 들어 체 또는 사원수환 등을 사용할 수 있다. 각 이차 오퍼라드에 대하여 코쥘 쌍대 오퍼라드(Koszul雙對operad, 영어: Koszul-dual operad)를 정의할 수 있으며, 이 역시 이차 오퍼라드이다. 각 오퍼라드에 대하여, 이차 대수(二次代數, 영어: quadratic algebra)와 이차 초대수(二次超代數, 영어: quadratic superalgebra)를 정의할 수 있다. 이들은 대략 정수 등급을 갖는 생성원들로 생성되며, 그 속에서 성립하는 모든 관계가 2항 관계인 대수들이다. (이차 대수와 이차 초대수의 차이는, 이차 초대수의 경우 홀수 차수와 홀수 차수 사이에 코쥘 부호 규칙을 적용하지만, 이차 대수의 경우 이러한 추가 마이너스 부호를 붙이지 않는다는 것이다.) 이 경우, 이차 오퍼라드의 이차 대수의 개념은 그 코쥘 쌍대 오퍼라드의 이차 초대수의 개념과 동치이다. (ko)
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- In mathematics, Koszul duality, named after the French mathematician Jean-Louis Koszul, is any of various kinds of dualities found in representation theory of Lie algebras, abstract algebras (semisimple algebra) and topology (e.g., equivariant cohomology). The prototype example, due to Joseph Bernstein, Israel Gelfand, and Sergei Gelfand, is the rough duality between the derived category of a symmetric algebra and that of an exterior algebra. The importance of the notion rests on the suspicion that Koszul duality seems quite ubiquitous in nature. (en)
- 수학에서 코쥘 쌍대성(Koszul雙對性, 영어: Koszul duality)은 결합 대수와 결합 대수 사이의, 또는 보다 일반적으로 오퍼라드와 오퍼라드 사이의 쌍대성 이론이다. 대략, 이차 오퍼라드(二次operad, 영어: quadratic operad) 는 이항 연산만을 가지며, 3항 이하 대수적 공리만을 갖는 오퍼라드이다. 이 경우,
* 는 오퍼라드의 이항 연산들의 공간이다.
* 는 이 이항 연산들이 만족시키는 대수적 공리들의 공간이다.
* 는 사용되는 스칼라의 환이며, 예를 들어 체 또는 사원수환 등을 사용할 수 있다. 각 이차 오퍼라드에 대하여 코쥘 쌍대 오퍼라드(Koszul雙對operad, 영어: Koszul-dual operad)를 정의할 수 있으며, 이 역시 이차 오퍼라드이다. (ko)
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