HTML Microdata document

This HTML5 document contains 635 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbpedia-la	http://la.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
n42	https://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/
dbpedia-no	http://no.dbpedia.org/resource/
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
n43	http://ia.dbpedia.org/resource/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
n36	https://www.ams.org/notices/200407/
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-et	http://et.dbpedia.org/resource/
dbpedia-el	http://el.dbpedia.org/resource/
n56	https://global.dbpedia.org/id/
dbpedia-ro	http://ro.dbpedia.org/resource/
n45	https://www.gutenberg.org/ebooks/
dbp	http://dbpedia.org/property/
n88	http://ta.dbpedia.org/resource/
dbpedia-nn	http://nn.dbpedia.org/resource/
n54	http://ur.dbpedia.org/resource/
dbpedia-zh	http://zh.dbpedia.org/resource/
dbpedia-it	http://it.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ca	http://ca.dbpedia.org/resource/
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-id	http://id.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pnb	http://pnb.dbpedia.org/resource/
dbpedia-vo	http://vo.dbpedia.org/resource/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
dbpedia-eo	http://eo.dbpedia.org/resource/
n102	https://books.google.com/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ga	http://ga.dbpedia.org/resource/
n92	http://ml.dbpedia.org/resource/
n107	http://tl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-hr	http://hr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-th	http://th.dbpedia.org/resource/
n37	http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
dbpedia-is	http://is.dbpedia.org/resource/
n16	https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers/page/
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dbpedia-da	http://da.dbpedia.org/resource/
n11	http://scn.dbpedia.org/resource/
n77	http://lv.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ka	http://ka.dbpedia.org/resource/
n60	https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/
dbpedia-lb	http://lb.dbpedia.org/resource/
dbpedia-gl	http://gl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ms	http://ms.dbpedia.org/resource/
n17	http://gdz.sub.uni-goettingen.de/
n58	http://yi.dbpedia.org/resource/
n39	http://hy.dbpedia.org/resource/
dbpedia-hu	http://hu.dbpedia.org/resource/
n91	http://tg.dbpedia.org/resource/
dbpedia-lmo	http://lmo.dbpedia.org/resource/
n74	http://hi.dbpedia.org/resource/
dbpedia-cs	http://cs.dbpedia.org/resource/
n35	http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
yago-res	http://yago-knowledge.org/resource/
dbpedia-tr	http://tr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-be	http://be.dbpedia.org/resource/
n34	http://cv.dbpedia.org/resource/
n52	http://ba.dbpedia.org/resource/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
n61	http://dbpedia.org/resource/Wikt:
n72	https://www.ams.org/notices/199706/
n64	http://d-nb.info/gnd/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
dbpedia-kk	http://kk.dbpedia.org/resource/
n104	http://lt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fi	http://fi.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fa	http://fa.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sl	http://sl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sh	http://sh.dbpedia.org/resource/
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
dbpedia-cy	http://cy.dbpedia.org/resource/
n18	https://archive.org/details/
dbpedia-oc	http://oc.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
n65	http://ckb.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
gold	http://purl.org/linguistics/gold/
dbpedia-simple	http://simple.dbpedia.org/resource/
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-sk	http://sk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-af	http://af.dbpedia.org/resource/
n9	http://www.numdam.org/numdam-bin/
dbpedia-bg	http://bg.dbpedia.org/resource/
n69	https://web.archive.org/web/20081201083831/http:/www.numdam.org/numdam-bin/
n12	http://dbpedia.org/resource/File:
n14	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sv	http://sv.dbpedia.org/resource/
n50	http://mg.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sr	http://sr.dbpedia.org/resource/
n83	http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
n30	http://bn.dbpedia.org/resource/
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
n62	https://web.archive.org/web/20140222213905/http:/gdz.sub.uni-goettingen.de/
dbpedia-pms	http://pms.dbpedia.org/resource/
n19	https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/
dbpedia-vi	http://vi.dbpedia.org/resource/
dbpedia-eu	http://eu.dbpedia.org/resource/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:

Statements

Subject Item: dbr:Group_(mathematics)
rdf:type: yago:Artifact100021939 yago:WikicatMathematicalStructures dbo:Building yago:YagoGeoEntity yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Structure104341686 owl:Thing yago:Whole100003553 yago:Object100002684 yago:WikicatAlgebraicStructures yago:PhysicalEntity100001930
rdfs:label: Grupp (matematik) Gruppo (matematica) Grupo (matemática) Group (mathematics) Talde (matematika) 군 (수학) Gruppe (Mathematik) Группа (математика) Grúpa (matamaitic) 群 Grupa (matematyka) Grupo (matemática) Ομάδα زمرة (رياضيات) Група (математика) Groupe (mathématiques) Grupo (algebro) Groep (wiskunde) Grup (matematika) Grup (matemàtiques) 群 (数学) Grupa
rdfs:comment: Гру́па — одне з найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента).У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описуватисиметрії різного ґатунку або як . Sa mhatamaitic, tacar eilimintí S faoin oibríocht *, má tá S iata faoi *; má tá an oibríocht * comhthiomsaitheach thar S, is é sin a*(b*c) = (a*b)*c do gach a, b, c i S; má tá eilimint céannachta e i S ionas gur a*e = e*a = a do gach a i S; agus má tá inbhéarta ag gach a i S, a-1, ionas gur a*a-1 = a-1*a = e. Má tá an oibríocht * cómhalartach freisin, is grúpa aibéalach an grúpa. Sampla amháin de ghrúpa is ea na slánuimhreacha faoi shuimiú. Sampla eile is ea 1, i, -1, -i faoi iolrú. Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é * rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric. 数学における群（ぐん、英: group）とは、最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。 Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemátic En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos). In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori . Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς. 在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構，並且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分別是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的中心原理。群與对称性有密切的联系。例如，對稱群描述了几何体的对称性：它是保持物體不變的變換的集合。李群应用于粒子物理的标准模型之中；庞加莱群也是李群，能表达狭义相对论中的对称性；点群能帮助理解分子化学中的对称现象。 In mathematics, a group is a set and an operation that combines any two elements of the set to produce a third element of the set, in such a way that the operation is associative, an identity element exists and every element has an inverse. These three axioms hold for number systems and many other mathematical structures. For example, the integers together with the addition operation form a group. The concept of a group and the axioms that define it were elaborated for handling, in a unified way, essential structural properties of very different mathematical entities such as numbers, geometric shapes and polynomial roots. Because the concept of groups is ubiquitous in numerous areas both within and outside mathematics, some authors consider it as a central organizing principle of contempor Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп. Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. 추상대수학에서 군(群, 영어: group)은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모노이드의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, 영어: group theory)이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론, 기하학, 수론에서 기원한다. In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento. Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. ). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup. Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes. Grupo estas esenca koncepto de moderna matematiko, unu el la plej gravaj kaj vaste uzataj algebraj strukturoj. En grupp är en typ av abstrakt algebraisk struktur vars studium kallas gruppteori. Grupper är närliggande till den moderna matematikens kategoriteori. Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur. In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling en een binaire operatie (groepsbewerking) die aan twee elementen van weer een element van toevoegt. De verzameling en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief; er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met de optelling als operatie. Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant. في الرياضيات، الزمرة (بالإنجليزية: Group)‏ هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محد
rdfs:seeAlso: dbr:Molecular_symmetry dbr:Mathematics dbr:List_of_publications
foaf:depiction: n14:Circle_as_Lie_group2.svg n14:Matrix_multiplication.svg n14:Ammonia-3D-balls-A.png n14:C60_Molecule.svg n14:Wallpaper_group-cm-6.jpg n14:K2PtCl4.png n14:Fundamental_group.svg n14:Cubane-3D-balls.png n14:Uniform_tiling_73-t2_colored.png n14:Rubik's_cube.svg n14:Group_D8_fv.svg n14:Group_D8_id.svg n14:Group_D8_f24.svg n14:Group_D8_fh.svg n14:Group_D8_90.svg n14:Group_D8_f13.svg n14:Group_D8_180.svg n14:Group_D8_270.svg n14:Cyclic_group.svg n14:Clock_group.svg
dcterms:subject: dbc:Symmetry dbc:Algebraic_structures dbc:Group_theory
dbo:wikiPageID: 19447
dbo:wikiPageRevisionID: 1122788608
dbo:wikiPageWikiLink: dbr:Prime_element dbr:Addition dbr:Factorial dbr:Commutator dbr:Arthur_Cayley dbr:Greatest_common_divisor dbr:Jacques_Tits dbr:Number_theory dbr:Cubane dbr:Geometric_group_theory dbr:Power_(mathematics) dbr:Algebra_over_a_field dbr:Curie_temperature dbr:Function_composition dbr:Graph_(discrete_mathematics) dbr:Erlangen_program dbr:Automorphism_group dbr:Morphism dbr:Function_(mathematics) dbr:Subset dbr:Mathematical_proof n12:Matrix_multiplication.svg dbr:Minkowski_space dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Class_group dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Grothendieck_group dbr:Quadratic_equation dbr:Geometric_transformation dbr:Phonon dbr:Polynomial_root dbr:Root_of_unity dbr:Mathematical_analysis dbr:Schur's_Lemma dbr:Ammonia dbr:Torsion_(algebra) dbr:Gravitation dbr:Transactions_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Applied_mathematics dbr:Remainder dbr:Classifying_space dbr:Algebraic_group dbr:Integer dbr:Icosahedral_symmetry dbr:Coding_theory dbr:Symmetries dbr:Elementary_particle dbr:Mathematical_induction dbr:Closure_(mathematics) dbr:Locally_compact_group dbr:Joseph_Liouville dbr:Ferdinand_Georg_Frobenius dbr:Geometric_invariant_theory dbr:Noether's_theorem dbr:Compact_group dbr:Homotopy n12:Cyclic_group.svg dbr:Computer-aided_proof dbr:Évariste_Galois dbr:Surjective dbc:Symmetry dbr:Claude_Chevalley dbr:Identity_operation dbr:Small_category dbr:Richard_Borcherds dbr:Mathematics dbr:Abelian_group dbr:Local_field dbr:Algebraic_topology dbr:Geometry dbr:Prentice_Hall dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Addison-Wesley dbr:Modular_function dbr:Dimension dbr:Rotation dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Notices_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Spontaneous_symmetry_breaking dbr:Complex_number dbc:Algebraic_structures dbr:CRC_Press dbr:Space dbr:Ordered_pair dbr:Locally_compact_topological_group dbr:Simple_module dbr:Diffie–Hellman dbr:Bijective dbr:Harmonic_analysis dbr:Algebra dbr:Topological_space dbr:Projective_geometry dbr:Division_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication dbr:Invariant_theory dbr:Phase_transition dbr:Groupoid dbr:Left_inverse_element dbr:Discrete_group dbr:World_Scientific dbr:Discrete_logarithm dbr:Daniel_Gorenstein dbr:Divisor dbr:Differential_Galois_theory dbr:Categories_for_the_Working_Mathematician dbr:Algebraic_geometry dbr:Potassium_tetrachloroplatinate dbr:Sporadic_group dbr:Differential_equation dbr:Proceedings_of_the_Royal_Society_A dbr:Equation_solving n12:Ammonia-3D-balls-A.png dbr:Element_(mathematics) dbr:Multiplication dbr:Binary_operation dbr:Intersection_(set_theory) dbr:Wallpaper_group dbr:Finite_set dbr:Invertible_matrix dbr:Splitting_field dbr:Neighbourhood_(mathematics) dbr:12-hour_clock dbr:P-adic_number dbr:Oxford_University_Press dbr:Lagrange's_theorem_(group_theory) dbr:Monodromy dbr:Classification_of_finite_simple_groups dbr:Permutation_group dbr:Galois_theory dbr:Krull_topology dbr:Coset n12:C60_Molecule.svg n12:Uniform_tiling_73-t2_colored.png dbr:Abstract_algebra dbr:Subgroup dbr:Axiom dbr:Public-key_cryptography dbr:Étale_cohomology dbr:Fundamental_group dbr:Module_(mathematics) dbr:Injective dbr:Group_homomorphism dbr:Group_object dbr:Dihedral_group dbr:Michael_Aschbacher dbr:Group_cohomology dbr:Universal_property dbr:Lie_group dbr:Epimorphism dbr:Monoid dbr:Group_isomorphism dbr:Walther_von_Dyck dbr:Zero dbr:Mathieu_group dbr:Polynomial_equation dbr:Buckminsterfullerene dbr:Set_(mathematics) dbr:Equilateral_triangle dbr:Real_number dbr:Cryptography dbr:Arity dbr:Euclidean_space dbr:Necessary_and_sufficient_conditions dbr:Unary_operation dbr:Tessellation dbr:Field_theory_(mathematics) dbr:Functor dbr:Nullary_operation dbr:Symmetry_group dbr:Computational_group_theory n61:μορφή dbr:Monster_group dbr:Dihedral_group_of_order_6 dbr:Fundamental_force dbr:University_of_Chicago_Press dbr:Ernst_Kummer dbr:Symmetry dbr:Classification_theorems dbr:Seifert–Van_Kampen_theorem dbr:Clockwise dbr:Group_representation dbr:Finitely_generated_group dbr:Quotient_group n12:Circle_as_Lie_group2.svg n12:K2PtCl4.png dbr:Linear_group dbr:Symmetry_(mathematics) dbr:Leopold_Kronecker dbr:Quotient_by_an_equivalence_relation dbr:Differentiable_manifold dbr:Haar_measure dbr:Mathematische_Annalen dbr:Group_theory dbr:Root_of_a_function dbr:Camille_Jordan dbr:Geometric_shape dbr:Absolute_Galois_group dbr:Poincaré_group dbr:Lorentz_transformation dbr:Singular_cohomology n12:Cubane-3D-balls.png dbr:Permutation dbr:Left_identity dbr:Category_(mathematics) dbr:Dover_Publications dbr:Bézout's_identity dbr:Associative_property dbr:Identity_element dbr:Associativity dbr:Natural_number dbr:Issai_Schur dbr:Representative_(mathematics) dbr:Bracket dbr:Spacetime dbr:List_of_group_theory_topics dbr:Joseph-Louis_Lagrange dbr:(2,3,7)_triangle_group dbr:Diffeomorphism dbr:Winding_number dbr:Vertex_(graph_theory) dbr:Richard_Brauer dbr:Paolo_Ruffini_(mathematician) dbr:Monomorphism dbr:Special_orthogonal_group dbr:Modular_representation_theory dbr:Gauge_theory dbr:Walter_Feit dbr:Nth_root dbr:Cayley's_theorem n12:Rubik's_cube.svg dbr:MathSciNet dbr:Abuse_of_notation dbr:Category_of_groups dbr:William_Burnside dbr:Princeton_University_Press dbr:Number dbr:Étale_fundamental_group dbr:Special_relativity dbr:Inverse_element dbr:Symmetric_group dbr:Quintic_equation dbr:Rotation_matrix dbr:Empty_set dbr:Goldstone_boson dbr:Sophus_Lie dbr:Physics dbr:Augustin_Louis_Cauchy dbr:Category_of_topological_spaces dbr:Cayley_graph dbr:N-ary_group dbr:Free_group dbr:Summation dbr:American_Mathematical_Society dbr:Simple_group dbr:Presentation_of_a_group dbr:Prime_number dbr:Center_(group_theory) dbr:If_and_only_if dbr:Henri_Poincaré dbr:Point_group dbr:Quantum_mechanics dbr:Mathematics_Magazine dbr:Continuous_function dbr:Standard_Model dbr:Ring_(mathematics) dbr:Molecular_symmetry dbr:Felix_Klein dbr:Adele_ring dbr:Group_axioms dbr:Cambridge_University_Press n12:Clock_group.svg dbr:Ancient_Greek dbr:Diagonal dbr:Up_to dbr:Fraction_(mathematics) dbr:Ferroelectric dbr:Smooth_map dbr:Order_of_a_group dbr:Open_subset dbr:Sporadic_groups dbr:Forward_error_correction dbr:Unit_(ring_theory) dbr:Conserved_quantities dbr:Field_(mathematics) dbr:Computer_algebra_system dbr:List_of_small_groups dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Springer-Verlag dbr:Cubic_equation dbr:Vector_space dbr:University_of_Chicago dbr:Field_extension dbr:Square dbr:Primitive_root_modulo_n dbr:Matrix_group dbr:Translation_(geometry) dbr:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n dbr:Hermann_Weyl dbr:Computer_graphics dbr:Sylow_theorems dbr:Monstrous_moonshine dbc:Group_theory dbr:Normal_subgroup dbr:Semidirect_product dbr:Antiderivative dbr:Field_of_fractions dbr:Reflection_(mathematics) dbr:Union_(set_theory) dbr:Chemistry dbr:Extension_problem dbr:Congruence_(geometry) dbr:Fundamental_groupoid dbr:Hyperbolic_group dbr:Solvable_group dbr:Quartic_equation dbr:Glossary_of_topology dbr:Galois_group dbr:Particle_physics dbr:Hyperbolic_plane dbr:John_G._Thompson dbr:Quantum_field_theories dbr:Lattice_of_subgroups dbr:Partition_of_a_set dbr:Topological_field dbr:Computer_science dbr:Topological_group dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups dbr:Finite_group dbr:Plane_(geometry) dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Classical_Mechanics_(textbook) dbr:Existential_quantifier dbr:Schwarzschild_metric dbr:Algorithm dbr:Octahedral_symmetry dbr:Fundamental_theorem_of_Galois_theory dbr:First_isomorphism_theorem dbr:Pure_mathematics dbr:List_of_finite_simple_groups dbr:Time dbr:Group_table dbr:Subgroup_test dbr:Direct_product dbr:Stack_(mathematics) dbr:John_Wiley_&_Sons dbr:Simple_algebra dbr:Disquisitiones_Arithmeticae dbr:Multiplicative_group dbr:Rational_number dbr:Élie_Cartan dbr:Fermat's_Last_Theorem dbr:Null-homotopic dbr:Mechanics dbr:Commutative n12:Group_D8_fv.svg n12:Group_D8_id.svg dbr:Bijection dbr:Symmetry_in_mathematics dbr:CD_player n12:Group_D8_90.svg n12:Group_D8_f13.svg n12:Group_D8_f24.svg n12:Group_D8_fh.svg dbr:Crystallography dbr:Armand_Borel n12:Group_D8_180.svg n12:Group_D8_270.svg dbr:Jordan–Hölder_theorem dbr:Space_group dbr:Local_symmetry dbr:Mathematical_object dbr:Representation_theory dbr:Zero_of_a_function dbr:Frucht's_theorem
dbo:wikiPageExternalLink: n9:fitem%3Fid=CM_1939__6__239_0 n16:2 n17:index.php%3Fid=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 n18:galoisdreamgroup0000kuga n19:publications.html%3Fpg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=20&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=pubyear&yrop=eq&arg3=2020&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche%7Ctitle=List n18:etalecohomology00miln n35:pageviewer-idx%3Fc=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 n36:fea-aschbacher.pdf n37:ATpage.html n42:home.html n45:8746 n18:linearrepresenta1977serr n60:15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf n62:index.php%3Fid=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 n69:fitem%3Fid=CM_1939__6__239_0 n72:seress.pdf n18:traitdessubstit00jordgoog n18:gravitationcosmo00stev_0 n83:text-idx%3Fc=umhistmath;idno=AAN9280 n102:books%3Fid=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 n102:books%3Fid=1LW4s1RDRHQC&pg=PR2
owl:sameAs: dbpedia-ko:군_(수학) n11:Gruppu_(matimatica) wikidata:Q83478 dbpedia-cs:Grupa dbpedia-nn:Matematisk_gruppe dbpedia-ca:Grup_(matemàtiques) dbpedia-et:Rühm_(matemaatika) dbpedia-sv:Grupp_(matematik) dbpedia-he:חבורה_(מבנה_אלגברי) dbpedia-vi:Nhóm_(toán_học) dbpedia-lmo:Grupp_(matemàtica) n30:গ্রুপ_(গণিত) dbpedia-nl:Groep_(wiskunde) dbpedia-it:Gruppo_(matematica) dbpedia-fr:Groupe_(mathématiques) n34:Ушкăн_(математика) dbpedia-tr:Grup_(matematik) n39:Խումբ dbpedia-de:Gruppe_(Mathematik) dbpedia-hr:Grupa_(matematika) n43:Gruppo_(mathematica) dbpedia-uk:Група_(математика) dbpedia-hu:Csoport_(matematika) dbpedia-no:Gruppe_(matematikk) dbpedia-el:Ομάδα dbpedia-lb:Grupp_(Algeber) n50:Vory_(matematika) freebase:m.04xl4 n52:Төркөм_(математика) dbpedia-pl:Grupa_(matematyka) n54:گروہ_(ریاضی) dbpedia-ru:Группа_(математика) n56:4zTkD dbpedia-sl:Grupa n58:גרופע_(מאטעמאטיק) dbpedia-eu:Talde_(matematika) dbpedia-sr:Група_(математика) n64:4022379-6 n65:گرووپ_(ماتماتیک) dbpedia-oc:Grop_(matematicas) dbpedia-th:กรุป_(คณิตศาสตร์) dbpedia-ja:群_(数学) dbpedia-sh:Grupa_(matematika) dbpedia-simple:Group_(mathematics) dbpedia-kk:Топ_(математика) n74:समूह_(गणितशास्त्र) dbpedia-vo:Grup dbpedia-af:Groep_(wiskunde) n77:Grupa_(matemātika) dbpedia-id:Grup_(matematika) dbpedia-da:Gruppe_(matematik) dbpedia-ar:زمرة_(رياضيات) dbpedia-ro:Grup_(matematică) dbpedia-pms:Strop dbpedia-es:Grupo_(matemática) dbpedia-eo:Grupo_(algebro) dbpedia-ms:Kumpulan_(matematik) n88:குலம்_(கணிதம்) dbpedia-ka:ჯგუფი_(მათემატიკა) dbpedia-fa:گروه_(ریاضیات) n91:Гурӯҳ_(риёзиёт) n92:ഗ്രൂപ്പ് dbpedia-fi:Ryhmä_(algebra) dbpedia-zh:群 dbpedia-gl:Grupo_(matemáticas) dbpedia-pt:Grupo_(matemática) dbpedia-cy:Grŵp_(mathemateg) dbpedia-sk:Grupa_(matematika) dbpedia-la:Caterva_(mathematica) dbpedia-pnb:گروہ_(ریاضی) n104:Grupė_(algebra) dbpedia-bg:Група_(алгебра) yago-res:Group_(mathematics) n107:Grupo_(matematika) dbpedia-is:Grúpa dbpedia-ga:Grúpa_(matamaitic) dbpedia-be:Група_(алгебра)
dbp:wikiPageUsesTemplate: dbt:Color_box dbt:Math dbt:Short_description dbt:MathWorld dbt:About dbt:Group_navbox dbt:Harvnb dbt:TOClimit dbt:Reflist dbt:Group-like_structures dbt:Efn dbt:Algebraic_structures dbt:Block_indent dbt:MacTutor dbt:Quote_box dbt:Main dbt:Citation dbt:Multiple_image dbt:Portal dbt:Mvar dbt:Lang_Algebra dbt:Authority_control dbt:See_also dbt:Clear dbt:Group_theory_sidebar dbt:Notelist dbt:Weibel_IHA dbt:Hatnote dbt:Featured_article dbt:Harvard_citations dbt:Sfn dbt:Algebra
dbo:thumbnail: n14:Rubik's_cube.svg?width=300
dbp:align: right
dbp:alt: A circle is shrunk to a point, another one does not completely shrink because a hole inside prevents this. A periodic wallpaper
dbp:caption: The fundamental group of a plane minus a point consists of loops around the missing point. This group is isomorphic to the integers. A periodic wallpaper pattern gives rise to a wallpaper group.
dbp:class: HistTopics
dbp:direction: vertical
dbp:id: Development_group_theory
dbp:image: Wallpaper group-cm-6.jpg Fundamental group.svg
dbp:quote: The axioms for a group are short and natural... Yet somehow hidden behind these axioms is the monster simple group, a huge and extraordinary mathematical object, which appears to rely on numerous bizarre coincidences to exist. The axioms for groups give no obvious hint that anything like this exists.
dbp:source: Richard Borcherds in Mathematicians: An Outer View of the Inner World
dbp:title: Group The development of group theory
dbp:urlname: Group
dbp:width: 150 180 33.0
dbp:mode: cs2
dbo:abstract: 数学における群（ぐん、英: group）とは、最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。 Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador central da matemática contemporânea. Grupos compartilham um parentesco fundamental com a noção de simetria. Um grupo de simetria guarda informações sobre as simetrias de um objeto geométrico. Ele consiste do conjunto de transformações que preservam o objeto inalterado e a operação de combinar duas dessas transformações aplicando-as uma após a outra. Tais grupos de simetria, particularmente os grupos de Lie contínuos, têm um importante papel em muitas disciplinas. Grupos de matrizes, por exemplo, podem ser usados para compreender leis físicas fundamentais da relatividade especial e fenômenos em química molecular. O conceito de grupo emergiu do estudo de equações de polinômios com Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições vindas de outros ramos da matemática, como teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e se estabeleceu firmemente por volta de 1870. A teoria dos grupos moderna - uma área muito ativa de pesquisa - estuda os grupos em si mesmos. Para explorá-los, matemáticos formularam várias noções para quebrar grupos em partes menores e mais compreensíveis, como subgrupos, grupos quocientes e grupos simples. Além das propriedades abstratas, matemáticos estudam as diferentes maneiras em que um grupo pode ser expresso concretamente (as representações do grupo), tanto de um ponto-de-vista teorético quanto prático-computacional. Em particular, uma teoria ricamente desenvolvida é a dos grupos finitos, que culminou com a monumental classificação dos grupos simples finitos, completada em 1983. Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes. La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformations géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences. Ces derniers, par exemple, sont les groupes de symétries utilisés dans le modèle standard de la physique des particules. Les groupes généraux linéaires sont, quant à eux, utilisés en physique fondamentale, afin de comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie. Le concept de groupe fit son apparition dans l'étude des équations polynomiales. En effet, c'est Évariste Galois qui, durant les années 1830, utilisa pour la première fois le terme « groupe » dans un sens technique similaire à ce qui est utilisé de nos jours, faisant de lui un des fondateurs de la théorie des groupes. À la suite de contributions d'autres domaines des mathématiques, comme la théorie des nombres et la géométrie, la notion de groupe fut généralisée et plus fermement établie autour des années 1870. La théorie des groupes moderne, une branche des mathématiques toujours active, se concentre donc sur la structure de groupes abstraits, indépendamment de leur utilisation extra-mathématique. Ce faisant, les mathématiciens ont défini, au fil des années, plusieurs notions permettant de fragmenter des groupes en des objets plus petits et plus compréhensibles ; les sous-groupes, groupes quotients, sous-groupes normaux et les groupes simples en sont quelques exemples. En plus d'étudier ces types de structures, les théoriciens de groupes s'intéressent aussi aux différentes façons dont un groupe peut être exprimé concrètement, autant du point du vue de la théorie des représentations que du point de vue computationnel. La théorie des fut développée avec, comme point culminant, la classification des groupes finis simples, achevée en 2004. Depuis le milieu des années 1980, la théorie géométrique des groupes, qui s'intéresse aux groupes de type fini en tant qu'objets géométriques, est devenue un champ particulièrement actif de la théorie des groupes. Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute. Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup. Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori . Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. ). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup. في الرياضيات، الزمرة (بالإنجليزية: Group)‏ هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر. ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة. نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين. 추상대수학에서 군(群, 영어: group)은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모노이드의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, 영어: group theory)이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론, 기하학, 수론에서 기원한다. Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur. Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který dokázal, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel, algebraické topologii a dalších matematických oborech. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec. Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – ve fyzice, informatice a chemii. Reprezentace grup hrají důležitou úlohu v teoriích jako jsou částicová fyzika, kvantová teorie pole anebo teorie strun. V informatice se grupy vyskytují například v kryptografii, kódování anebo zpracování obrazu, chemie používá grupy pro popis symetrií molekul a krystalových mřížek v krystalografii. Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant. Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests es troben els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició. Grupo estas esenca koncepto de moderna matematiko, unu el la plej gravaj kaj vaste uzataj algebraj strukturoj. Гру́па — одне з найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента).У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описуватисиметрії різного ґатунку або як . In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling en een binaire operatie (groepsbewerking) die aan twee elementen van weer een element van toevoegt. De verzameling en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief; er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met de optelling als operatie. De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde. Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep codeert symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object: Hij bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten, en als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue Lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie en symmetrie-fenomenen in de moleculaire scheikunde, te begrijpen. Het concept van een groep is ontstaan uit de studie van vergelijkingen. Évariste Galois in de jaren 1830 was een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, quotiëntgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt (haar groepsrepresentaties), zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie. Sa mhatamaitic, tacar eilimintí S faoin oibríocht *, má tá S iata faoi *; má tá an oibríocht * comhthiomsaitheach thar S, is é sin a*(b*c) = (a*b)*c do gach a, b, c i S; má tá eilimint céannachta e i S ionas gur a*e = e*a = a do gach a i S; agus má tá inbhéarta ag gach a i S, a-1, ionas gur a*a-1 = a-1*a = e. Má tá an oibríocht * cómhalartach freisin, is grúpa aibéalach an grúpa. Sampla amháin de ghrúpa is ea na slánuimhreacha faoi shuimiú. Sampla eile is ea 1, i, -1, -i faoi iolrú. Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é * rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric. 在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構，並且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分別是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的中心原理。群與对称性有密切的联系。例如，對稱群描述了几何体的对称性：它是保持物體不變的變換的集合。李群应用于粒子物理的标准模型之中；庞加莱群也是李群，能表达狭义相对论中的对称性；点群能帮助理解分子化学中的对称现象。群的概念产生自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，有自己独特的研究方法。為了研究群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群论還研究表示群的各種具體方式（群表示论和）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在2004年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的，成为了群论中一个特别活跃的分支。 In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento. Tali assiomi sono soddisfatti da numerose strutture algebriche, come ad esempio i numeri interi con l'operazione di addizione, ma essi sono molto più generali e prescindono dalla natura particolare del gruppo considerato. In questo modo diviene possibile lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, riconoscendone alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Il ruolo chiave dei gruppi in numerose aree interne ed esterne alla matematica ne fa uno dei concetti fondamentali della matematica moderna. Il concetto di gruppo nacque dagli studi sulle equazioni polinomiali, iniziati da Évariste Galois negli anni trenta del XIX secolo. In seguito a contributi provenienti da altri settori della matematica come la teoria dei numeri e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e definita stabilmente attorno al 1870. La moderna teoria dei gruppi - una disciplina matematica molto attiva - si occupa dello studio astratto dei gruppi. Mathematical Reviews conta 3.224 articoli di ricerca di teoria dei gruppi e sue generalizzazioni pubblicati nel solo 2005. I matematici hanno sviluppato varie nozioni per spezzare i gruppi in parti più piccole e più facili da studiare, come i sottogruppi e i quozienti. Oltre a studiare le loro proprietà astratte, i teorici dei gruppi si occupano anche dei differenti modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente, da un punto di vista sia teorico, sia . Una teoria particolarmente ricca è stata sviluppata per i gruppi finiti, culminata con la monumentale classificazione dei gruppi semplici finiti, completata nel 1983. Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп. Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом.Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат.Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры.Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях. Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц. Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты. In mathematics, a group is a set and an operation that combines any two elements of the set to produce a third element of the set, in such a way that the operation is associative, an identity element exists and every element has an inverse. These three axioms hold for number systems and many other mathematical structures. For example, the integers together with the addition operation form a group. The concept of a group and the axioms that define it were elaborated for handling, in a unified way, essential structural properties of very different mathematical entities such as numbers, geometric shapes and polynomial roots. Because the concept of groups is ubiquitous in numerous areas both within and outside mathematics, some authors consider it as a central organizing principle of contemporary mathematics. In geometry groups arise naturally in the study of symmetries and geometric transformations: The symmetries of an object form a group, called the symmetry group of the object, and the transformations of a given type form a general group. Lie groups appear in symmetry groups in geometry, and also in the Standard Model of particle physics. The Poincaré group is a Lie group consisting of the symmetries of spacetime in special relativity. Point groups describe symmetry in molecular chemistry. The concept of a group arose in the study of polynomial equations, starting with Évariste Galois in the 1830s, who introduced the term group (French: groupe) for the symmetry group of the roots of an equation, now called a Galois group. After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870. Modern group theory—an active mathematical discipline—studies groups in their own right. To explore groups, mathematicians have devised various notions to break groups into smaller, better-understandable pieces, such as subgroups, quotient groups and simple groups. In addition to their abstract properties, group theorists also study the different ways in which a group can be expressed concretely, both from a point of view of representation theory (that is, through the representations of the group) and of computational group theory. A theory has been developed for finite groups, which culminated with the classification of finite simple groups, completed in 2004. Since the mid-1980s, geometric group theory, which studies finitely generated groups as geometric objects, has become an active area in group theory. In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik. Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen. Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren. Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen. En grupp är en typ av abstrakt algebraisk struktur vars studium kallas gruppteori. Grupper är närliggande till den moderna matematikens kategoriteori. En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos). La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas. Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς. Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της συμμετρίας. Για παράδειγμα μια κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός : η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα σωματιδιακής φυσικής, οι χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της , οι μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στην ειδική σχετικότητα. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις , με τον Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) στο 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη θεωρία ομάδων —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι , οι και οι . Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από όσο και από πλευρά. Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις , η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων που ανακοινώθηκε το 1983 και ολοκληρώθηκε το 2004. Από τα μέσα του 1980, η γεωμετρική θεωρία ομάδων, η οποία μελετά τη δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί γραφημάτων έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω και της σχέσης της με την αλγεβρική τοπολογία.
gold:hypernym: dbr:Structure
prov:wasDerivedFrom: wikipedia-en:Group_(mathematics)?oldid=1122788608&ns=0
dbo:wikiPageLength: 99066
foaf:isPrimaryTopicOf: wikipedia-en:Group_(mathematics)