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- En matemàtiques, les primitives de certes funcions elementals no es poden expressar com a funcions elementals. Un exemple clàssic de funció d'aquest tipus és , la primitiva de la qual és (tret d'una constant) la , que es troba habitualment en estadística. Altres exemples són i . Cal dir que la noció de funció elemental és merament una qüestió de convencions. Es pot decidir d'afegir la funció error a la llista de funcions elementals i, amb aquesta nova llista, la primitiva de és elemental. Ara bé, no importa quant s'estengui la llista de funcions elementals, sempre hi haurà funcions a la llista tals que llurs primitives no hi seran. La maquinària de la teoria diferencial de Galois permet determinar quan la primitiva d'una funció elemental es pot expressar ó no com una funció elemental. La teoria diferencial de Galois és una teoria que es basa en el model de la teoria de Galois. Mentre que la teoria algebraica de Galois estudia les extensions d'un cos algebraic, la teoria diferencial de Galois estudia les extensions dels , és a dir cossos amb un operador derivació, D. La major part de la teoria diferencial de Galois és paral·lela a la teoria algebraica de Galois. Una diferència fonamental entre ambdues construccions és que els grups de Galois diferencials solen ser grups de matrius grups de Lie, mentre que en la teoria algebraica els grups de Galois solen ser finits. (ca)
- In mathematics, differential Galois theory studies the Galois groups of differential equations. (en)
- La théorie de Galois différentielle est une branche des mathématiques qui a pour objet l'étude des équations différentielles via des méthodes algébriques, plus particulièrement des méthodes issues de la théorie de Galois pour les équations algébriques. Elle admet plusieurs formulations différentes. La plus élémentaire est la (en). Elle concerne les équations différentielles linéaires, et consiste en la construction d'une théorie des extensions des corps différentiels analogue à la théorie classique des extensions de corps : l'exemple de base est le corps des fractions rationnelles à coefficients complexes, muni de la dérivation usuelle. Notamment, un analogue des corps de décomposition d'une équation donnée peut être défini, comme étant, en un certain sens, le plus petit corps différentiel contenant les solutions de l'équation. Le groupe de Galois différentiel de l'équation est alors défini comme le groupe des automorphismes de l'extension de corps différentiel. Il est naturellement muni d'une structure de groupe algébrique linéaire, et permet d'obtenir une correspondance de Galois entre sous-groupes fermés pour la topologie de Zariski du groupe de Galois, et sous-extensions de corps différentiel. Dans un contexte analytique, par exemple si le corps de base est le corps des fractions rationnelles à coefficients complexes muni de la dérivation usuelle, le groupe de monodromie d'une équation différentielle holomorphe en une singularité isolée s'identifie naturellement à un sous-groupe du groupe de Galois : il est défini par une action géométrique sur les espaces de solutions. Dans le cas où les singularités sont régulières, il s'agit même d'un sous-groupe dense pour la topologie de Zariski. Ce n'est toutefois pas un résultat général, et, pour des singularités irrégulières, d'autres sous-groupes du groupe de Galois remarquables d'un point de vue analytique peuvent être identifiés (voir ). Un autre point de vue est le point de vue dit (de), qui consiste à considérer non plus le groupe de Galois lui-même, mais la catégorie de ses représentations. Des développements plus récents, notamment dus à Bernard Malgrange et Jean-Pierre Ramis, permettent la définition d'une théorie de Galois pour les équations différentielles non linéaires. L'objet galoisien n'est plus alors qu'un groupoïde. (fr)
- 数学において、微分ガロア理論（びぶんガロアりろん）とは、微分体の拡大を研究する分野である。 (ja)
- Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. (ru)
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- In mathematics, differential Galois theory studies the Galois groups of differential equations. (en)
- 数学において、微分ガロア理論（びぶんガロアりろん）とは、微分体の拡大を研究する分野である。 (ja)
- Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. (ru)
- En matemàtiques, les primitives de certes funcions elementals no es poden expressar com a funcions elementals. Un exemple clàssic de funció d'aquest tipus és , la primitiva de la qual és (tret d'una constant) la , que es troba habitualment en estadística. Altres exemples són i . (ca)
- La théorie de Galois différentielle est une branche des mathématiques qui a pour objet l'étude des équations différentielles via des méthodes algébriques, plus particulièrement des méthodes issues de la théorie de Galois pour les équations algébriques. Un autre point de vue est le point de vue dit (de), qui consiste à considérer non plus le groupe de Galois lui-même, mais la catégorie de ses représentations. (fr)
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