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| - A tessellation or tiling of the plane is a collection of plane figures that fills the plane with no overlaps and no gaps. One may also speak of tessellations of the parts of the plane or of other surfaces. Generalizations to higher dimensions are also possible. Tessellations frequently appeared in the art of M. C. Escher. Tessellations are seen throughout art history, from ancient architecture to modern art.
In Latin, tessella was a small cubical piece of clay, stone or glass used to make mosaics. The word "tessella" means "small square" (from "tessera", square, which in its turn is from the Greek word for "four"). It corresponds with the everyday term tiling which refers to applications of tessellation, often made of glazed clay. (en)
- Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos los cuales son que no queden huecos y no se superpongan o traslapen las figuras.
Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas sobre una figura inicial.
Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. (es)
- In der Mathematik wird mit einer Parkettierung der (euklidischen) Ebene, auch als Pflasterung, Belegung, Zerlegung, Kachelung oder Tessellation bezeichnet, eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Parkettsteine anschaulich ausgedrückt. (de)
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Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d'intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation (à l'exclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages d'espaces non euclidien, les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher (pavages d'espaces hyperboliques).
= Pavages périodiques =
Les pavages périodiques du plan ou de l'espace sont connus depuis l'antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture.
En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d'atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Fedorov (Université de Saint-Petersbourg) a montré qu'il existait seulement 17 types de pavages périodiques du plan (deux pavages sont de même type s'ils sont invariant par le même groupe d'isométrie, c'est-à-dire par rotations, symétries axiales et translations). Tous ces types, sauf deux, peuvent être réalisés par des pavages dont les tuiles sont toutes des polygones réguliers. L'Alhambra de Grenade est réputé contenir des mosaïques illustrant tous ces types de pavages.
= Pavages apériodiques =
On a longtemps pensé que les seuls pavages par translations du plan étaient nécessairement périodiques.
Notamment, Hao Wang a conjecturé en 1961 que c'était le cas, et en a déduit qu'on pouvait concevoir un programme informatique qui déciderait si un jeu de tuiles donné permettait de paver ou non le plan. Cependant, en 1964, Robert Berger (un élève de Wang) a trouvé un ensemble de 20426 tuiles ne pouvant paver qu'apériodiquement le plan. La conjecture est donc fausse : savoir si un jeu de tuiles peut paver ou non le plan est indécidable.
Des jeux toujours plus petits de tuiles ne pavant qu'apériodiquement ont depuis été trouvés :
* en 1976, Raphael Robinson simplifie le jeu de tuiles de Robert Berger en un jeu de 24 tuiles (6 à rotation près);
* en 1974, Roger Penrose, trouve un jeu de 20 tuiles (2 à rotation près);
* en 1996, Karel Culik et Jarkko Kari ont trouvé (par une méthode complètement différente) un jeu de 13 tuiles.
On peut noter qu'en 1994 John Horton Conway et Charles Radin ont trouvé un jeu comportant une infinité de tuiles mais qui, à rotation près, se réduit à une unique tuile : un triangle rectangle de côtés 1, 2 et \sqrt 5. Le pavage obtenu est connu sous le nom de Pinwheel.
= Pavages quasipériodiques =
Parmi les pavages apériodiques, certains le sont moins que d'autres...en d'autres termes, on peut quantifier le degré d'apériodicité. (fr)
- In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.
Tali figure geometriche, (che come è facile immaginare vengono dette "tasselli"), sono spesso poligoni, regolari o non, ma possono invece avere lati curvilinei, o non avere affatto vertici. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi).
In matematica sono state molto studiate anche le tassellazioni dello spazio, dove i tasselli sono solidi. (it)
- 平面充填（へいめんじゅうてん）とは充填の一種で、平面内を多角形などで隙間なく敷き詰める操作である。平面敷き詰め、タイル貼りともいう。敷き詰めたものを平面充填形という。 (ja)
- Tesselering er et matematikkbegrep for å fylle ut en flate med flere mindre, slik at de ikke har gap seg imellom, og heller ikke overlapper. Begrepet kan også brukes tilsvarende for andre overflater, f.eks. kuleskall (fotballmønstre). M.C. Escher brukte mange varianter av tesselering i sin grafikk, men han var verken først eller sist til det i kunsthistorien.
I latin var tessella en liten bit av keramikk, stein, glass eller metall til bruk i mosaikk. Tessela betyr «liten firkant» og er en forvanskning av det greske ordet for 4 (tetra).
Image:Wallpaper group-p3-1.jpg|Tesselert brolegging med sementstein.]]
Image:Finite element triangulation.svg|Tesselert sirkelflate
Image:Tile 3,6.svg|trekanter
Image:Tile 6,3.svg|like elementer (hexagoner)
Image:Tile 3bb.svg|Ulike elementer
Image:Tile 3636.svg|Ulike elementer
Image:Tile 3464.svg|Flere elementer
Image:Tile 46b.svg|også flere elementer
Image:Wallpaper_group-p6m-1.jpg|Persia, glasert keramikkflis (no)
- Tesselacja to wypełnianie powierzchni lub przestrzeni (na ogół trójwymiarowej) za pomocą powtarzającego się motywu. Zwie się ją równnież kafelkowaniem lub parkietażem.
Istnieje 17 regularnych tesselacji powierzchni, które można otrzymać za pomocą przekształceń geometrycznych płaszczyzny (translacji, obrotu, odbicia) i ich złożeń. 15 spośród nich składają się z wieloboków regularnych (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt, ośmiokąt i dziesięciokąt).
W 1974 roku matematyk brytyjski Roger Penrose zaprezentował pierwsze przykłady tesselacji nieperiodycznych płaszczyzny: Parkiety Penrose'a.
M.C. Escher wyznaczył tesselacje przestrzeni hiperbolicznych, a także liczne tesselacje płaszczyzny. (pl)
- Тесселя́ция — общее название для методов, позволяющих разбить произвольный полигон на правильные (выпуклые) полигоны или на треугольники.
Категория:Трёхмерная графика (ru)
- Tessellation (av latin: tessella, "(kvadratisk) mosaikbit"), utfyllnad av ett plan med geometriska figurer utan överlappningar eller mellanrum. Tessellation kan generaliseras till flera dimensioner. (sv)
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| rdfs:comment
| - A tessellation or tiling of the plane is a collection of plane figures that fills the plane with no overlaps and no gaps. One may also speak of tessellations of the parts of the plane or of other surfaces. Generalizations to higher dimensions are also possible. Tessellations frequently appeared in the art of M. C. Escher. Tessellations are seen throughout art history, from ancient architecture to modern art. (en)
- Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos los cuales son que no queden huecos y no se superpongan o traslapen las figuras. Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas sobre una figura inicial. (es)
- In der Mathematik wird mit einer Parkettierung der (euklidischen) Ebene, auch als Pflasterung, Belegung, Zerlegung, Kachelung oder Tessellation bezeichnet, eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Parkettsteine anschaulich ausgedrückt. (de)
- Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d'intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation (à l'exclusion des rotations ou symétries). (fr)
- In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni. (it)
- 平面充填（へいめんじゅうてん）とは充填の一種で、平面内を多角形などで隙間なく敷き詰める操作である。平面敷き詰め、タイル貼りともいう。敷き詰めたものを平面充填形という。 (ja)
- Tesselering er et matematikkbegrep for å fylle ut en flate med flere mindre, slik at de ikke har gap seg imellom, og heller ikke overlapper. Begrepet kan også brukes tilsvarende for andre overflater, f.eks. kuleskall (fotballmønstre). M.C. Escher brukte mange varianter av tesselering i sin grafikk, men han var verken først eller sist til det i kunsthistorien. (no)
- Tesselacja to wypełnianie powierzchni lub przestrzeni (na ogół trójwymiarowej) za pomocą powtarzającego się motywu. Zwie się ją równnież kafelkowaniem lub parkietażem. (pl)
- Тесселя́ция — общее название для методов, позволяющих разбить произвольный полигон на правильные (выпуклые) полигоны или на треугольники. (ru)
- Tessellation (av latin: tessella, "(kvadratisk) mosaikbit"), utfyllnad av ett plan med geometriska figurer utan överlappningar eller mellanrum. Tessellation kan generaliseras till flera dimensioner. (sv)
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![[RDF Data]](http://dbpedia.org/statics/sw-cube.png)
