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Differential geometry is a mathematical discipline that studies the geometry of smooth shapes and smooth spaces, otherwise known as smooth manifolds, using the techniques of differential calculus, integral calculus, linear algebra and multilinear algebra. The field has its origins in the study of spherical geometry as far back as antiquity, as it relates to astronomy and the geodesy of the Earth, and later in the study of hyperbolic geometry by Lobachevsky. The simplest examples of smooth spaces are the plane and space curves and surfaces in the three-dimensional Euclidean space, and the study of these shapes formed the basis for development of modern differential geometry during the 18th century and the 19th century.

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  • En matemàtiques, la geometria diferencial és la utilització de les eines del càlcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi són les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient per poder introduir la noció de derivació, i també, les funcions definides en aquestes varietats. La geometria diferencial troba la seva principal aplicació física en la teoria de la relativitat on permet la modelització d'una curvatura de l'espaitemps. Es pot igualment citar altres aplicacions de la física clàssica. En la mecànica dels medis continus, per exemple, és útil en la descripció de les deformacions dels cossos elàstics, en particular, de les bigues o de les estructures. (ca)
  • Diferenciální geometrie je část geometrie, která využívá ke studiu křivek, ploch a variet vyšší dimenze metody diferenciálního počtu. Při studiu geometrických útvarů se zaměřuje na vlastnosti, které nezávisejí na volbě soustavy souřadnic. Diferenciální geometrie se zabývá především lokálními vlastnostmi geometrických útvarů, tedy vlastností týkajících se dostatečně malých částí těchto útvarů (malý úsek křivky nebo malá oblast plochy), ačkoliv existují věty, které ukazují na souvislost lokálních invariantů a globální topologie (např. ). (cs)
  • Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar. (de)
  • في الرياضيات، الهندسة التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد الشعب قابل للمفاضلة أيضا، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية. أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي. (ar)
  • Η διαφορική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών χρησιμοποιεί τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού, , γραμμικής άλγεβρας και για να μελετήσει τα προβλήματα στη γεωμετρία. Η και και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τη διάρκεια του 18ου και του 19ου αιώνα. Από τα τέλη του 19ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία έχει εξελιχθεί σε ένα πεδίο που αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές στις . Η διαφορική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική τοπολογία και τις γεωμετρικές πτυχές της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Η συλλαμβάνει πολλές από τις βασικές ιδέες και τεχνικές, χαρακτηριστικές αυτού του τομέα. (el)
  • Diferenciala Geometrio estas matematika fako kiu uzas la metodojn de diferenciala kaj integrala infinitezima kalkulo, kaj ankaŭ lineara kaj , por studi problemojn pri geometrio. La teorio de ebenaj kaj spacaj kaj de en la tri-dimensia Eŭklida spaco formis la bazon por la 18-a kaj 19-a jarcentoj. Ekde la fino de la 19-a jarcento, diferenciala geometrio evoluis en kampo pli interesita pri geometriaj strukturoj sur glataj sternaĵoj. Estas rilata kun kaj kun la geometriaj aspektoj de la diferencialaj ekvacioj. Grigori Perelman-a pruvo de la Konjekto de Poincaré, uzante la teknikojn de , montris la potencon de la diferencialageometria metodo por problemoj pri topologio kaj reliefigis la gravan rolon de la analitikaj metodoj. Diferenciala geometrio havas sian precipan aplikon en la ĝenerala teorio de relativeco, kie ĝi permesas modeli kurbecon de spactempo. (eo)
  • Differential geometry is a mathematical discipline that studies the geometry of smooth shapes and smooth spaces, otherwise known as smooth manifolds, using the techniques of differential calculus, integral calculus, linear algebra and multilinear algebra. The field has its origins in the study of spherical geometry as far back as antiquity, as it relates to astronomy and the geodesy of the Earth, and later in the study of hyperbolic geometry by Lobachevsky. The simplest examples of smooth spaces are the plane and space curves and surfaces in the three-dimensional Euclidean space, and the study of these shapes formed the basis for development of modern differential geometry during the 18th century and the 19th century. Since the late 19th century, differential geometry has grown into a field concerned more generally with geometric structures on differentiable manifolds. A geometric structure is one which defines some notion of size, distance, shape, volume, or other rigidifying structure. For example, in Riemannian geometry distances and angles are specified, in symplectic geometry volumes may be computed, in conformal geometry only angles are specified, and in gauge theory certain fields are given over the space. Differential geometry is closely related to, and is sometimes taken to include, differential topology, which concerns itself with properties of differentiable manifolds which do not rely on any additional geometric structure (see that article for more discussion on the distinction between the two subjects). Differential geometry is also related to the geometric aspects of the theory of differential equations, otherwise known as geometric analysis. Differential geometry finds applications throughout mathematics and the natural sciences. Most prominently the language of differential geometry was used by Albert Einstein in his theory of general relativity, and subsequently by physicists in the development of quantum field theory and the standard model of particle physics. Outside of physics, differential geometry finds applications in chemistry, economics, engineering, control theory, computer graphics and computer vision, and recently in machine learning. (en)
  • En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.​ Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.​ La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable. (es)
  • Matematikan, geometria diferentziala objektu geometrikoak (kurbak, gainazalak...) kalkulu diferentzialaren metodoak erabiliz aztertzen dituen geometriaren atala da. (eu)
  • In matematica, la geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici come curve, superfici e più in generale varietà differenziabili, tramite l'analisi matematica. Tramite il calcolo infinitesimale e la nozione di derivata, è quindi possibile introdurre e studiare nozioni di fondamentale importanza, quali quelle di campo vettoriale, forma differenziale, geodetica, curvatura. L'applicazione più notevole della geometria differenziale è la formulazione della relatività generale, a cui fornisce gli strumenti per modellizzare lo spaziotempo. (it)
  • En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés. La géométrie différentielle trouve sa principale application physique dans la théorie de la relativité générale où elle permet une modélisation d'une courbure de l'espace-temps. (fr)
  • Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die gekromde ruimten onderzoekt. Daarbij gaat de meeste aandacht naar het begrip afstand. Oorspronkelijk bestudeerde men differentieerbare krommen en oppervlakken in de driedimensionale reële ruimte. Een differentieerbare kromme is een afbeelding die onbeperkt continu differentieerbaar is, en waarvan de eerste afgeleide (snelheidsvector) nergens nul wordt. Een differentieerbaar oppervlak is een deelverzameling van waarvan met ieder punt minstens één kaart geassocieerd wordt. (Een kaart is een onbeperkt bijectie (diffeomorfisme) tussen een omgeving van dat punt naar een open deelverzameling van ) De raakruimte van een punt in een oppervlak is de verzameling van alle snelheidsvectoren (in dat punt) van in het oppervlak ingebedde krommen. (nl)
  • Geometria diferencial é o estudo da geometria usando o cálculo. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em física, notavelmente na teoria da relatividade, e também em cartografia. (pt)
  • 数学における微分幾何学(びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語:differential geometry)とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学(びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology)とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。 (ja)
  • Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego. Po powstaniu pierwszych elementów geometrii różniczkowej w pracach Leibniza, Newtona i starszych braci Bernoullich, XVIII w. był dla tej gałęzi geometrii okresem nowego, szerokiego rozwoju. Problem poszukiwania trajektorii postawił Jan Bernoulli (1697), który właśnie wprowadził ten termin (1698). Wiele artykułów poświęconych było badaniu krzywych, dla których dane były jakieś zależności między ich promieniem krzywizny a innymi wielkościami, związanymi z krzywą – promieniem wodzącym, odcinkiem normalnej itd. (pl)
  • Дифференциа́льная геоме́трия — раздел математики, изучающий гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами.Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности. Основные подразделы дифференциальной геометрии: * дифференциальная геометрия кривых, * дифференциальная геометрия поверхностей, * риманова геометрия, * псевдориманова геометрия, * , * симплектическая геометрия, * теория поверхностей, * финслерова геометрия. Часто дифференциальная геометрия рассматривается как неделимый раздел вместе с дифференциальной топологией.Различиями между этими разделами могут быть наличие или отсутствие дополнительных структур на гладком многообразии, но может быть также наличие или отсутствие локальных инвариантов:в дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.Например, симплектическая структура таких инвариантов не имеет, и наряду с симплектической геометрией рассматривается «симплектическая топология». Математическая предметная классификация выделяет для дифференциальной геометрии раздел верхнего уровня 53, а дифференциальную топологию относит в качестве блока второго уровня 57Rxx в разделе «Многообразия и клеточные комплексы». (ru)
  • Differentialgeometri är studiet av differentierbara mångfalder, det vill säga topologiska rum som lokalt ser ut som en öppen delmängd i , vilket möjliggör nyttjandet av metoder från matematisk analys. Den har många tillämpningar i fysik, särskilt i relativitetsteorin. Centralt inom differentialgeometrin är studiet av riemannska mångfalder (se även riemanngeometri): geometriska objekt som exempelvis ytor som lokalt liknar ett euklidiskt rum och därför medger definition av analytiska koncept som tangentvektorer, tangentrum, differentierbarhet, vektorfält och tensorfält. En riemannsk mångfald är utrustad med en metrik, som möjliggör mätning av avstånd och vinklar lokalt och definierar begrepp som , krökning och torsion. En allmän differentierbar mångfald behöver dock inte ha en metrik. På en sådan mångfald kan man fortfarande definiera analytiska begrepp som integraler, differentialekvationer, differentialformer och dessas yttre derivator osv. Exempelvis gäller den generella formen av Stokes sats på en (orienterbar) differentierbar mångfald: (sv)
  • 微分幾何研究微分流形的幾何性質,是現代數學中的一主流研究方向,也是廣義相對論的基礎,與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。 (zh)
  • Диференціа́льна геоме́трія (англ. Differential geometry) — це математична дисципліна яка застосовує методи математичного аналізу для вивчення гладких кривих, поверхонь і, в найзагальнішому вигляді, їхніх -вимірних аналогів, які називаються многовидами. До ґрунтовних понять диференціальної геометрії належать дотична пряма й площина, довжина, площа, а також кривина ліній і поверхонь. (uk)
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  • Diferenciální geometrie je část geometrie, která využívá ke studiu křivek, ploch a variet vyšší dimenze metody diferenciálního počtu. Při studiu geometrických útvarů se zaměřuje na vlastnosti, které nezávisejí na volbě soustavy souřadnic. Diferenciální geometrie se zabývá především lokálními vlastnostmi geometrických útvarů, tedy vlastností týkajících se dostatečně malých částí těchto útvarů (malý úsek křivky nebo malá oblast plochy), ačkoliv existují věty, které ukazují na souvislost lokálních invariantů a globální topologie (např. ). (cs)
  • Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar. (de)
  • في الرياضيات، الهندسة التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد الشعب قابل للمفاضلة أيضا، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية. أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي. (ar)
  • Matematikan, geometria diferentziala objektu geometrikoak (kurbak, gainazalak...) kalkulu diferentzialaren metodoak erabiliz aztertzen dituen geometriaren atala da. (eu)
  • In matematica, la geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici come curve, superfici e più in generale varietà differenziabili, tramite l'analisi matematica. Tramite il calcolo infinitesimale e la nozione di derivata, è quindi possibile introdurre e studiare nozioni di fondamentale importanza, quali quelle di campo vettoriale, forma differenziale, geodetica, curvatura. L'applicazione più notevole della geometria differenziale è la formulazione della relatività generale, a cui fornisce gli strumenti per modellizzare lo spaziotempo. (it)
  • En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés. La géométrie différentielle trouve sa principale application physique dans la théorie de la relativité générale où elle permet une modélisation d'une courbure de l'espace-temps. (fr)
  • Geometria diferencial é o estudo da geometria usando o cálculo. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em física, notavelmente na teoria da relatividade, e também em cartografia. (pt)
  • 数学における微分幾何学(びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語:differential geometry)とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学(びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology)とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。 (ja)
  • 微分幾何研究微分流形的幾何性質,是現代數學中的一主流研究方向,也是廣義相對論的基礎,與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。 (zh)
  • Диференціа́льна геоме́трія (англ. Differential geometry) — це математична дисципліна яка застосовує методи математичного аналізу для вивчення гладких кривих, поверхонь і, в найзагальнішому вигляді, їхніх -вимірних аналогів, які називаються многовидами. До ґрунтовних понять диференціальної геометрії належать дотична пряма й площина, довжина, площа, а також кривина ліній і поверхонь. (uk)
  • En matemàtiques, la geometria diferencial és la utilització de les eines del càlcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi són les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient per poder introduir la noció de derivació, i també, les funcions definides en aquestes varietats. (ca)
  • Η διαφορική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών χρησιμοποιεί τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού, , γραμμικής άλγεβρας και για να μελετήσει τα προβλήματα στη γεωμετρία. Η και και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τη διάρκεια του 18ου και του 19ου αιώνα. (el)
  • Diferenciala Geometrio estas matematika fako kiu uzas la metodojn de diferenciala kaj integrala infinitezima kalkulo, kaj ankaŭ lineara kaj , por studi problemojn pri geometrio. La teorio de ebenaj kaj spacaj kaj de en la tri-dimensia Eŭklida spaco formis la bazon por la 18-a kaj 19-a jarcentoj. Ekde la fino de la 19-a jarcento, diferenciala geometrio evoluis en kampo pli interesita pri geometriaj strukturoj sur glataj sternaĵoj. Diferenciala geometrio havas sian precipan aplikon en la ĝenerala teorio de relativeco, kie ĝi permesas modeli kurbecon de spactempo. (eo)
  • Differential geometry is a mathematical discipline that studies the geometry of smooth shapes and smooth spaces, otherwise known as smooth manifolds, using the techniques of differential calculus, integral calculus, linear algebra and multilinear algebra. The field has its origins in the study of spherical geometry as far back as antiquity, as it relates to astronomy and the geodesy of the Earth, and later in the study of hyperbolic geometry by Lobachevsky. The simplest examples of smooth spaces are the plane and space curves and surfaces in the three-dimensional Euclidean space, and the study of these shapes formed the basis for development of modern differential geometry during the 18th century and the 19th century. (en)
  • En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.​ (es)
  • Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die gekromde ruimten onderzoekt. Daarbij gaat de meeste aandacht naar het begrip afstand. Oorspronkelijk bestudeerde men differentieerbare krommen en oppervlakken in de driedimensionale reële ruimte. Een differentieerbare kromme is een afbeelding De raakruimte van een punt in een oppervlak is de verzameling van alle snelheidsvectoren (in dat punt) van in het oppervlak ingebedde krommen. (nl)
  • Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego. (pl)
  • Differentialgeometri är studiet av differentierbara mångfalder, det vill säga topologiska rum som lokalt ser ut som en öppen delmängd i , vilket möjliggör nyttjandet av metoder från matematisk analys. Den har många tillämpningar i fysik, särskilt i relativitetsteorin. Centralt inom differentialgeometrin är studiet av riemannska mångfalder (se även riemanngeometri): geometriska objekt som exempelvis ytor som lokalt liknar ett euklidiskt rum och därför medger definition av analytiska koncept som tangentvektorer, tangentrum, differentierbarhet, vektorfält och tensorfält. En riemannsk mångfald är utrustad med en metrik, som möjliggör mätning av avstånd och vinklar lokalt och definierar begrepp som , krökning och torsion. (sv)
  • Дифференциа́льная геоме́трия — раздел математики, изучающий гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами.Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности. Основные подразделы дифференциальной геометрии: * дифференциальная геометрия кривых, * дифференциальная геометрия поверхностей, * риманова геометрия, * псевдориманова геометрия, * , * симплектическая геометрия, * теория поверхностей, * финслерова геометрия. (ru)
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