In mathematics, geometric topology is the study of manifolds and their embeddings. Low-dimensional topology, concerning questions of dimensions up to four, is a part of geometric topology.

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  • In mathematics, geometric topology is the study of manifolds and their embeddings. Low-dimensional topology, concerning questions of dimensions up to four, is a part of geometric topology. Some examples of topics in geometric topology are orientability, handle decompositions, local flatness, and the planar and higher-dimensional Schönflies theorems. Knot theory is the study of the 3-dimensional embeddings of circles. (en)
  • La topología geométrica (topología de dimensiones bajas) es el área de la topología y la topología algebraica que estudia problemas geométricos, topológicos y algebraicos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclídeos, desde dimensión cero hasta la cuarta. Sus métodos estan inspirados en la geometría y la topología de fenómenos físicos inclusive relativistas y cuánticos e idealizaciones abstractas modernas sobre el concepto de dimensiones: destacadamente y prominentemente, en tres y cuatro dimensiones. Para ésta ciencia -que estudia las variedades y los encajes y encajes propios entre ellas-, estos son algunos de los temas representativos de esta ciencia: la teoría de nudos; clasificación de 3 y 4-variedades; Complementos de nudos en la n-esfera, S^n; TQFT. La topología de dimensiones bajas (como también se le conoce) es considerada una ciencia de una gran interactividad entre todas la ramas de la matemática y con otras de la física. Una de las cuestiones importantes de esta rama (recién nresuelta por Perelman del 2006) es la célebre Conjetura de Poincaré, tanto como la conjetura de geometrización de Thruston. (es)
  • Die geometrische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Mannigfaltigkeiten und deren Einbettungen beschäftigt. Als stellvertretende Themen seien hier die Knotentheorie und Zopfgruppen genannt. Mit der Zeit wurde der Begriff immer mehr fast gleichbedeutend mit niedrigdimensionaler Topologie verwendet, wobei dies insbesondere zwei-, drei- und vierdimensionale Objekte betrifft. In der rasanten Entwicklung der Topologie nach 1945 wurde eine Unterscheidung zwischen den folgenden Gebieten getroffen: * die Algebraische Topologie, verkörpert durch die Homotopietheorie * die geometrische Topologie mit der Poincaré-Vermutung als ihrem größten ungelösten Problem * die Differentialtopologie die sich größtenteils mit differenzierbaren Strukturen, mit der Morsetheorie als natürlicher Technik, beschäftigt. Diese Gebiete basieren alle auf der allgemeinen oder mengentheoretischen Topologie, die das Studium von allgemeinen topologischen Räumen umfasst. Diese Unterteilung erscheint im Laufe der Jahre immer künstlicher. Etliche Fortschritte seit Beginn der 1960er führten dazu, dass sich die geometrische Topologie veränderte. Die Lösung der Poincaré-Vermutung in höheren Dimension durch Stephen Smale im Jahr 1961 ließ die Dimensionen drei und vier als die schwierigsten erscheinen. Und in der Tat erforderten sie neue Methoden, während die Freiheiten in den höheren Dimension bedeuteten, dass Fragestellungen auf in der Chirurgie-Theorie (en. surgery) verfügbare, berechnende Methoden zurückgeführt werden konnten. Die von William Thurston in den späten 1970ern formulierte Geometrisierungsvermutung stellte ein Grundgerüst zu Verfügung, das aufzeigte wie stark Geometrie und Topologie in niedrigen Dimensionen miteinander verbunden sind. Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten verwendete ein breites Spektrum an Werkzeugen aus vorher nur schwach miteinander in Beziehung stehen Teilgebieten der Mathematik. Vaughan Jones Entdeckung der Jones-Polynome in den frühen 1980ern führte nicht nur die Knotentheorie in neue Richtungen, sondern gab auch den immer noch ungeklärten Beziehungen zwischen niedrig-dimensionaler Topologie und mathematischer Physik Auftrieb. (de)
  • A topologia de baixa dimensão, ou topologia geométrica, é a área da topologia dedicada ao estudo das variedades de dimensão inferior ou igual a 4. Inclui a teoria dos nós. O problema mais famoso desta área é a Conjectura de Poincaré. (pt)
  • 几何拓扑学是数学中研究流形以及它们的嵌入的分支，俱代表性的主题有紐結理論和辫子群。紐結理論和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。 1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： *代数拓扑学（伦移等问题） *几何拓扑学（在这里庞加莱猜想是最大的未解决的问题） *微分拓扑学研究可微分结构等等 这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。 1960年代初开始的许多研究成果导致几何拓扑学本身变化了。1961年史提芬·斯梅爾解决了高维中的庞加莱猜想，这使得三维和四维显得尤其困难。事实上这些困难的解决需要新的技术，而与此同时高维提供的自由度使得换球术的问题也成为可计算的问题了。威廉·瑟斯顿在1970年代末提出的几何化猜想提供了在低维中几何与拓扑之间的关系的理论基础。瑟斯顿使用过去在数学中只是很弱地互相关联的分支的不同技术解决了Haken流体的几何化问题。1980年代初沃恩·琼斯发现的琼斯多项式为扭结理论提供了新的方向，同时也给数学物理与低维拓扑学之间至今为止依然不明了的关系提供了新的推动。 这些发展使得几何拓扑学被更好地引用于数学的其它领域了。 (zh)
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  • In mathematics, geometric topology is the study of manifolds and their embeddings. Low-dimensional topology, concerning questions of dimensions up to four, is a part of geometric topology. (en)
  • La topología geométrica (topología de dimensiones bajas) es el área de la topología y la topología algebraica que estudia problemas geométricos, topológicos y algebraicos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclídeos, desde dimensión cero hasta la cuarta. (es)
  • Die geometrische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Mannigfaltigkeiten und deren Einbettungen beschäftigt. Als stellvertretende Themen seien hier die Knotentheorie und Zopfgruppen genannt. Mit der Zeit wurde der Begriff immer mehr fast gleichbedeutend mit niedrigdimensionaler Topologie verwendet, wobei dies insbesondere zwei-, drei- und vierdimensionale Objekte betrifft. (de)
  • A topologia de baixa dimensão, ou topologia geométrica, é a área da topologia dedicada ao estudo das variedades de dimensão inferior ou igual a 4. (pt)
  • 几何拓扑学是数学中研究流形以及它们的嵌入的分支，俱代表性的主题有紐結理論和辫子群。紐結理論和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。 (zh)
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  • Geometric topology (en)
  • Topología geométrica (es)
  • Geometrische Topologie (de)
  • Topologia de baixa dimensão (pt)
  • 几何拓扑学 (zh)
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