| dbo:abstract
|
- استُخدم المتناهي في الصغر في الرياضيات (بالإنجليزية: Infinitesimal) للتعبير عن قيم بالغة الضآلة، بحيثُ تعبر عن تغيير دقيق جدا لحالة، مثل تغير صغير جدا في درجة الحرارة أو تغير صغير جدا في الحجم. في الاستخدام الدارج؛ تعني هذه الصفة بأن التغير صغير للغاية، ولكنه لا يساوي صِفراً. قبل القرن التاسع عشر، لم يكن أيٌّ من المفاهيم الرياضية التي نعرفها اليوم معرفًا بطريقة دقيقة، رغمَ أن هذه المفاهيم كانت موجودة فعلاً. مؤسِّسوا علم التفاضل والتكامل؛ لَيبنيز ونيوتن وأويلر ولاغرانج وبرنولي وكثيرون غيرهم، استخدموا الأرقام الموحِلة بنفس الطريقة المعروضة هنا، ووصلوا إلى نتائجَ صحيحةٍ جوهرياً؛ رغم أنه لم يكن يوجد تعريف رياضي دقيق للرقم الموحل آنذاك (من المثير للاهتمام أنه لم يكن يوجد تعريفٌ رياضي دقيقٌ لمجموعة الأعداد الحقيقيَّة في ذلك الحين أيضًا). (ar)
- Els mètodes infinitesimals són una classe específica de problemes que requereixen la recerca dels passos del límit, els processos infinits i la continuïtat per tal de trobar la solució. L'aparició de magnituds incommensurables va significar l'explicació de problemes de forma racional. Aquests problemes estan relacionats amb la prolongació il·limitada del procés per trobar una mesura fixada, amb l'infinitament gran o petita que pot arribar a ser aquesta mesura, i amb què aquesta d'estar continguda un nombre infinit de cops en la magnitud que es compara. A aquest grup de problemes van ser agregats altres tipus com els de geometria, és a dir, els que determinaven la majoria de longituds, àrees i volums. Alguns grups de científics van buscar la resolució d'aquestes dificultats, aplicant a la matemàtica idees atomistes. Un exemple en seria Demòcrit, qui considerava que els cossos estaven formats pels àtoms, unitats indivisibles. Creia que els cossos es diferenciaven entre si per la forma, la posició i el mètode amb què s'enllaçaven aquestes partícules. Les seves opinions envers els infinitèsims matemàtics i la seva aplicació per definir algunes magnituds reflectien el seu ideal atomista. Tot i així, d'exemples atomístics que demostrin la part matemàtica n'hi ha pocs. Per contra, es coneixen més crítiques a aquests mètodes, com al cas de Zenó i les seves paradoxes. Les paradoxes més conegudes d'aquest són:
* La dicotomia: dicotomia és la divisió o bifurcació en dues parts. La paradoxa consisteix en la impossibilitat de realitzar moviment, ja que un segment o traç pot ser dividit un nombre infinit de vegades. Per tant s'han de superar de forma consecutiva infinits trams, cosa impossible.
* Aquil·les: la paradoxa de la tortuga, a la qual Aquil·les no pot atrapar. Per fer-ho hauria de travessar tots aquells punts pels que ha passat anteriorment la tortuga, i aquests són infinits, ja que es poden dividir per la meitat successivament.
* El vol de la fletxa: es considera impossible si es considera el temps com una suma d'instants i l'espai com una suma de punts.
* L'estadi: a més d'oposar-se al moviment, ja que el corredor ha de superar una sèrie infinita de punts, aquesta paradoxa també s'oposa al temps, ja que el temps que trigui a fer una volta es pot dividir sempre. Aquestes paradoxes van demostrar que és impossible utilitzar l'infinit per trobar demostracions exactes i solucions lògiques. Per fer-ho és necessari utilitzar els mètodes que contenen elements de pas al límit. Un dels mètodes més antics d'aquest gènere és el conegut mètode d'exhaustió d'Èudox. Hi ha exemples d'aquest mètode al llibre d'Euclides Els Elements i a altres obres d'Arquimedes. Aquest mètode s'aplicava al càlcul de les àrees de certes figures, a volums de cossos i longitud de corbes, entre altres. Per utilitzar-lo es realitzen les següents operacions: # per quadrar una figura B, primer s'inscriu una successió d'altres figures A1, A2...An... les àrees de les quals creixen i poden ser determinades. 1.
* Les figures Ak es trien de forma que la diferència entre B i elles pugui ser tan petita com es vulgui. 2.
* Es fa la deducció de les figures inscrites (An) a través de l'existència de les figures descrites (B). 3.
* Implícitament es busca A, és a dir, el límit de la successió d'aquestes figures inscrites (An). 4.
* Es demostra per cada problema que A = B. És a dir, que el límit de la successió de figures inscrites (An) és igual a l'àrea de B. La demostració es realitza per reducció a l'absurd. Amb el mètode d'exhaustió es demostra la unicitat del límit. És útil per la recerca de límits, però no pot donar la solució sobre l'existència d'aquest concepte. Un exemple d'aquest mètode és el de la quadratura de la paràbola, que va exposar Arquimedes a les seves obres.El mètode d'exhaustió va ser un dels més difosos a la matemàtica antiga. Va ser molt utilitzat per personatges com l'anteriorment esmentat Arquimedes, i també inclòs per Euclides als Elements. Els passos del límit van obtenir amb aquest mètode la primera formalització teòrica. El valor lògic que va tenir va ser insuperable durant molts segles, i fins al XIX no van sorgir altres propostes per solucionar problemes concrets. Tot i així, la forma d'aquests nous raonaments va ser força imperfecte, ja que no seguia una pauta a l'hora de calcular-lo i no hi havia un sistema desenvolupat. La unicitat del límit s'havia de demostrar per cada problema partint des del principi. Aquesta insuficiència provenia del fet que la demostració que s'intentava introduir per una extensa classe de problemes significava que havia de precisar una sèrie de conceptes de naturalesa infinitesimal. Seria necessari donar una explicació racional al concepte d'aproximació infinitament propera o magnitud infinitament petita. Els matemàtics antics no van poder superar aquestes dificultats. Una altra varietat de mètode infinitesimal és el de la suma d'integrals. Els exemples que més caracteritzen aquest mètode es troben a moltes obres d'Arquimedes. S'aplica a casos com el càlcul del volum dels cossos de revolució. Per fer-ho, aquest cos es divideix en parts i cada part es va aproximant amb altres cossos inscrits, els volums dels quals poden ser calculats. Després es trien aquells cossos que s'acosten superior i inferiorment, de tal manera que la diferència de volums es pugui fer tan petita com es vulgui. L'última varietat de mètode infinitesimal són els problemes variacionals. Aquest tipus de problema apareix a una obra d'Arquimedes, a la proposició que tracta sobre l'esfera i el cilindre. Es consideren segments d'igual superfície de diferents esferes i es demostra que el segment que té forma de semiesfera té major volum. També va aparèixer aquest mètode a l'obra de Zenodor, a la teoria de les figures isoperimètriques. Aquesta va ser desenvolupada de forma rigorosa i en la seva plenitud pels polígons i cercles, mentre que va ser-ho en certa manera pels políedres, l'esfera i els cossos de revolució simples. Aquestes proposicions estaven molt difoses durant aquella època, sense tenir necessàriament un caràcter matemàtic i si filosòfic.Aquests mètodes van servir de punt de partida a moltes investigacions en èpoques posteriors, sobretot els utilitzats per Arquimedes. Els mètodes infinitesimals constitueixen la part de les matemàtiques antigues, que es formaven sota la pressió directe de les exigències científiques. Sortien dels límits dels sistemes matemàtics tancats, i van sorgir-hi nous recursos. La contradicció entre aquests mètodes i els tancats de l'antic mètodes van fonamentar la base de les ciències matemàtiques. L'aplicació pràctica que se’ls hi ha donat es pot veure en alguns exemples pràctics, sobretot utilitzats per Kepler. Kepler va mesurar l'òrbita el·líptica de la Lluna a través d'aquests mètodes, i també va mesurar l'àrea d'objectes cilíndrics com els barrils. És a dir, que l'ús dels infinitesimals va deixar de ser estrictament teòric en un futur, i va ser important per la seva aplicació no només en matemàtiques, sinó en física. Això és degut al poc interès dels grecs en ciències pràctiques. Exceptuant Arquimedes, els grans pensadors de l'època no s'interessaven en com facilitar el treball, ja que per això disposaven d'esclaus. (ca)
- Infinitezimální nebo nekonečně malé číslo je číslo, jehož absolutní hodnota je menší než jakékoliv kladné reálné číslo. Číslo x je infinitezimální právě tehdy, když pro každé celé číslo n je |nx| menší než 1, přitom nezáleží na velikosti n. V tomto případě je 1/x v absolutní hodnotě větší než jakékoliv reálné číslo. Nenulové infinitezimály tedy nejsou reálná čísla, takže „operace“ s nimi nejsou běžné. (cs)
- In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl. (de)
- Infinitezimo aŭ senfinecono estas nombro, kiu estas nefinie malgranda, sed ne nulo. Arĥimedo uzis senfineconojn en por kalkuli la areon de ebenaj regionoj kaj la volumenon de spacaj regionoj. Pli poste senfineconoj estis uzataj en la senfinecona kalkulo fare de Gottfried Leibnitz, Leonhard Euler kaj Joseph-Louis Lagrange. En la deknaŭa jarcento, Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind kaj aliaj formaligis la senfineconan kalkulon per la realnombra analizo, kiu per siaj konsideroj pri limvaloroj forigis la neceson uzi senfineconojn. Tamen la senfineconoj plu estis konsiderataj utilaj por plisimpligi klarigojn kaj kalkulojn. En la dudeka jarcento matematikistoj trovis matematike rigoran manieron difini senfineconojn: Por tio oni difinas plivastigojn de la kampo de realaj nombroj entenantajn senfine grandajn kaj senfine malgrandajn nombrojn. La plej konataj tiaj plivastigoj estas la hiperrealaj nombroj de kaj la de . (eo)
- Infinitesimoa edo infinitesimala limitea zero duen aldagaia edo funtzioa da. Bi infinitesimo x eta y, ordena bereko infinitesimoak dira baldin eta x/y zatiduraren limitea finitua bada, baina ez zero; horrez gain, zatiduraren limitea 1 baldin bada, infinitesimoak baliokideak dira. (eu)
- In mathematics, an infinitesimal number is a quantity that is closer to zero than any standard real number, but that is not zero. The word infinitesimal comes from a 17th-century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinity-th" item in a sequence. Infinitesimals do not exist in the standard real number system, but they do exist in other number systems, such as the surreal number system and the hyperreal number system, which can be thought of as the real numbers augmented with both infinitesimal and infinite quantities; the augmentations are the reciprocals of one another. Infinitesimal numbers were introduced in the development of calculus, in which the derivative was first conceived as a ratio of two infinitesimal quantities. This definition was not rigorously formalized. As calculus developed further, infinitesimals were replaced by limits, which can be calculated using the standard real numbers. Infinitesimals regained popularity in the 20th century with Abraham Robinson's development of nonstandard analysis and the hyperreal numbers, which, after centuries of controversy, showed that a formal treatment of infinitesimal calculus was possible. Following this, mathematicians developed surreal numbers, a related formalization of infinite and infinitesimal numbers that include both hyperreal cardinal and ordinal numbers, which is the largest ordered field. Vladimir Arnold wrote in 1990: Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently, present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it. The crucial insight for making infinitesimals feasible mathematical entities was that they could still retain certain properties such as angle or slope, even if these entities were infinitely small. Infinitesimals are a basic ingredient in calculus as developed by Leibniz, including the law of continuity and the transcendental law of homogeneity. In common speech, an infinitesimal object is an object that is smaller than any feasible measurement, but not zero in size—or, so small that it cannot be distinguished from zero by any available means. Hence, when used as an adjective in mathematics, infinitesimal means infinitely small, smaller than any standard real number. Infinitesimals are often compared to other infinitesimals of similar size, as in examining the derivative of a function. An infinite number of infinitesimals are summed to calculate an integral. The concept of infinitesimals was originally introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes used what eventually came to be known as the method of indivisibles in his work The Method of Mechanical Theorems to find areas of regions and volumes of solids. In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion. The 15th century saw the work of Nicholas of Cusa, further developed in the 17th century by Johannes Kepler, in particular, the calculation of the area of a circle by representing the latter as an infinite-sided polygon. Simon Stevin's work on the decimal representation of all numbers in the 16th century prepared the ground for the real continuum. Bonaventura Cavalieri's method of indivisibles led to an extension of the results of the classical authors. The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1. John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus. He exploited an infinitesimal denoted 1/∞ in area calculations. The use of infinitesimals by Leibniz relied upon heuristic principles, such as the law of continuity: what succeeds for the finite numbers succeeds also for the infinite numbers and vice versa; and the transcendental law of homogeneity that specifies procedures for replacing expressions involving unassignable quantities, by expressions involving only assignable ones. The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function. As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois-Reymond wrote a series of papers on infinitesimal-enriched continua based on growth rates of functions. Du Bois-Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois-Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals. Skolem developed the first non-standard models of arithmetic in 1934. A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955. The hyperreals implement an infinitesimal-enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity. The standard part function implements Fermat's adequality. (en)
- Lo infinitesimal o infinitésimo se refiere a una cantidad más cercana a cero que cualquier número real estándar pero diferente de cero. El término empezó como una noción informal y no rigurosa originalmente pensada como una "cantidad infinitamente pequeña", y originalmente fundamentó ciertos razonamientos del cálculo infinitesimal. En la crisis de los fundamentos matemáticos de principios del siglo XIX los infinitésimos fueron abandonados por los matemáticos, aunque siguieron siendo tratados informalmente en las ciencias aplicadas, y se suelen considerar como números en la práctica. Solo después de la segunda mitad del siglo XX apareció un enfoque totalmente riguroso de los números infinitesimales. El análisis no estándar introducido en los años 1960 por Abraham Robinson es un enfoque axiomático y riguroso que permite introducir infinitesimales (números hiperreales no nulos cuyo valor absoluto es más pequeño que cualquier número real estándar). Si bien los resultados que pueden lograrse mediante el análisis no estándar pueden ser alcanzados por la teoría estándar de los números reales, existen muchas demostraciones matemáticas y deducciones que son más simples y breves cuando se usan el análisis no estándar. El inverso multiplicativo de un infinitesimal es un número real no estándar ilimitado. (es)
- Les infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot « infinitésimal » vient de infinitesimus (latin du XVIIe siècle), ce qui signifiait à l'origine l'élément « infini-ème » dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. (fr)
- Dalam matematika, Infinitesimal atau Bilangan Infinitesimal adalah kuantitas yang mendekati angka nol daripada standar pada nilai bilangan riil, tetapi angka bukan nol. Mereka tidak terdapat sistem bilangan riil dengan nilai standar, tetapi ada banyak sistem bilangan lain, seperti dan , yang dapat dianggap sebagai bilangan riil yang ditambah dengan sistem jumlah infinitesimal, serta kuantitas tak hingga, yang merupakan kebalikan dari tak terhingga. Rumus yang terkenal dalam pengembangan kalkulus, di mana turunan dari awal dianggap sebagai rasio dua kuantitas pada Infinitesimal. Definisi ini, seperti kebanyakan matematika pada masa ke masa, tidak diformalkan dengan cara yang sangat ketat. Akibatnya, perlakuan formal selanjutnya dari kalkulus cenderung menjatuhkan sudut pandang yang sangat kecil yang mendukung nilai Limit, yang dapat dilakukan menggunakan riil standar. Infinitesimal mendapatkan kembali popularitas pada abad ke-20 dengan Abraham Robinson pengembangan dan , yang menunjukkan bahwa pengobatan formal dari kalkulus Infinitesimal, setelah kontroversi panjang tentang topik ini selama berabad-abad matematika. Berikut ini adalah pengembangan dari , formalisasi yang terkait erat dari bilangan tak hingga dan tak terhingga yang mencakup dan bilangan ordinal, dan yang merupakan bidang terurut terbesar. Wawasan dengan mengeksploitasi infinitesimal adalah bahwa entitas masih dapat mempertahankan properti spesifik tertentu, seperti sudut atau kemiringan, meskipun entitas ini sangat kecil. Kata dari infinitesimal berasal dari mata uang abad ke-17 infinitesimus, yang awalnya merujuk pada item "tak terhingga " secara berurutan.Infinitesimal adalah bahan dasar dalam prosedur kalkulus Infinitesimal seperti yang dikembangkan oleh Gottfried Leibniz, termasuk dan . Dalam bahasa umum, objek Infinitesimal adalah objek yang lebih kecil daripada ukuran yang dapat diukur, tetapi tidak berukuran nol atau, sangat kecil sehingga tidak dapat dibedakan dari nol dengan cara apa pun yang tersedia. Karena, bila digunakan sebagai kata sifat dalam penggunaan matematika, "infinitesimal" berarti "sangat kecil", atau lebih kecil dari bilangan riil standar mana pun. Untuk memberi arti, infinitesimal sering dibandingkan dengan infinitesimal lain dengan ukuran yang sama (seperti dalam turunan). Tak terhingga banyak infinitesimals dijumlahkan untuk menghasilkan integral. Konsep infinitesimals awalnya diperkenalkan sekitar tahun 1670 oleh atau Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes menggunakan apa yang akhirnya dikenal sebagai dalam karyanya untuk menemukan daerah wilayah dan volume padatan. Dalam risalah resmi yang diterbitkan, Archimedes memecahkan masalah yang sama menggunakan metode penghabis. Abad ke-15 melihat karya , yang dikembangkan lebih lanjut pada abad ke 17 oleh Johannes Kepler, khususnya dalam penghitungan luas lingkaran dengan merepresentasikan yang terakhir sebagai hasil tak terhingga. bekerja pada representasi desimal dari semua bilangan pada abad ke 16 menyiapkan dasar untuk kontinum nyata. metode indivisibles menyebabkan perluasan hasil penulis klasik. Metode indivisibles yang terkait dengan figur geometris yang terdiri dari entitas 1. John Wallis infinitesimal berbeda dari tak terpisahkan dalam hal ia akan menguraikan sosok geometris menjadi blok bangunan tipis tak terhingga dari dimensi yang sama seperti gambar, menyiapkan dasar untuk metode umum pada kalkulus integral. Dia memanfaatkan sangat kecil yang dilambangkan dalam perhitungan luas. Penggunaan infinitesimal oleh Leibniz mengandalkan prinsip heuristik, seperti hukum kontinuitas.: yang berhasil untuk bilangan hingga berhasil juga untuk bilangan yang tak hingga dan sebaliknya; dan hukum homogenitas transendental yang menentukan prosedur untuk mengganti ekspresi yang melibatkan jumlah yang tidak dapat ditetapkan, dengan ekspresi yang hanya melibatkan yang dapat ditetapkan. Abad ke 18 melihat penggunaan rutin infinitesimal oleh ahli matematika seperti Leonhard Euler dan Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy dieksploitasi infinitesimals baik dalam mendefinisikan kontinuitas dalam dirinya , dan dalam mendefinisikan bentuk awal dari Fungsi delta Dirac. Saat Cantor dan Dedekind mengembangkan versi yang lebih abstrak dari kontinum Stevin, menulis serangkaian makalah tentang infinitesimal terus diperkaya berdasarkan tingkat pertumbuhan fungsi. Karya Du Bois-Reymond menginspirasi Émile Borel dan . Borel explicitly linked du Bois-Pekerjaan Reymond untuk pekerjaan Cauchy tentang tingkat pertumbuhan infinitesimal. Skolem mengembangkan model aritmatika non-standar pertama pada tahun 1934. Sebuah implementasi matematis dari hukum kontinuitas dan infinitesimal dicapai oleh Abraham Robinson pada tahun 1961, yang mengembangkan berdasarkan karya sebelumnya oleh pada tahun 1948 dan pada tahun 1955. mengimplementasikan sebuah infinitesimal kontinu yang diperkaya dan mengimplementasikan hukum kontinuitas Leibniz. mengimplementasikan Fermat. menulis pada tahun 1990: Saat ini, ketika mengajarkan analisis, tidak terlalu populer untuk membicarakan Infinitesimal. Akibatnya siswa saat ini tidak sepenuhnya menguasai bahasa ini. Namun demikian, itu masih perlu untuk dikuasai. — Vladimir Arnold (in)
- 수학에서 무한소(無限小, infinitesimal)란 일반적으로 모든 양수보다 작지만 0보다는 큰 상태를 가리킨다. 따라서, 이 수는 엄밀히 따지면 존재하지 않는다고 할 수 있고, 분수로 나타내면 1/무한대로 표현 가능하다. (ko)
- In de wiskunde is een infinitesimaal een object dat min of meer fungeert als getal en dat in de ordening van de reële getallen kleiner is dan ieder positief reëel getal, maar toch groter is dan nul. Infinitesimalen zijn aanvankelijk bedacht voordat men een goed begrip van limieten had. Zij fungeren eigenlijk als grootheden met limiet 0, waarmee gerekend wordt als waren ze nog net niet gelijk aan 0. Hanteert men daarbij de juiste rekenregels, dan ontstaat toch goed toepasbare theorie. In de wis- en natuurkunde worden vaak redeneringen met infinitesimalen gehouden. Infinitesimalen werden gebruikt om een eerste bruikbare differentiaal- en integraalrekening te ontwikkelen. Nog altijd worden daarom deze gebieden wel met infinitesimaalrekening aangeduid. (nl)
- In matematica gli infinitesimi sono delle entità numeriche infinitamente piccole, introdotte da Gottfried Leibniz che ne fece il fondamento del calcolo infinitesimale. Gli infinitesimi permettono di risolvere in modo generale problemi come quello della velocità istantanea in fisica e quello della tangente a una curva in geometria, entrambe viste come rapporto tra infinitesimi, alias derivata. Anche il problema del calcolo di aree con contorno curvilineo, ovvero dell'area sottesa al grafico di una funzione, si affronta con l'uso degli infinitesimi. L'area è infatti vista come la somma di infinite aree infinitesime, un procedimento di somma che ebbe il nome di integrale. Gli infinitesimi davano però luogo a problemi logici e nel XIX secolo Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass rifondarono l'analisi matematica eliminandone ogni riferimento; derivate e integrali venivano così ad essere definiti come limiti e non come rapporti o somme di entità infinitesime. Nella seconda metà del XX secolo gli infinitesimi sono stati recuperati, in una prospettiva rigorosa, da Abraham Robinson, nella formulazione di quella che lui chiamò analisi non standard. Infinitesimi (ε) e infiniti (ω) sulla linea dei numeri iperreali (ε = 1 / ω) (it)
- 数学における無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。 術語 "infinitesimal" は、17世紀の造語 羅: infinitesimus（もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉）に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである。無限小はライプニッツがやなどをもとに展開した解析における基本的な材料である。よくある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容（動）詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること（例えば微分商）が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。 シラクサのアルキメデスは、自身の著書『方法』において不可分の方法と呼ばれる手法を応分に用いて領域の面積や立体の体積を求めた。正式に出版された論文では、アルキメデスは同じ問題を取り尽くし法を用いて証明している。15世紀にはニコラウス・クザーヌスの業績として（17世紀にはケプラーがより詳しく調べているが）、特に円を無限個の辺を持つ多角形と見做して円の面積を計算する方法が見受けられる。16世紀における、任意の実数の十進表示に関するシモン・ステヴィンの業績によって、実連続体を考える下地はすでにでき上がっていた。カヴァリエリの不可分の方法は、過去の数学者たちの結果を拡張することに繋がった。この不可分の方法は幾何学的な図形を 1 の量に分解することと関係がある。ジョン・ウォリスの無限小は不可分とは異なり、図形をもとの図形と同じ次元の無限に細い構成要素に分解するものとして、積分法の一般手法の下地を作り上げた。面積の計算においてウォリスは無限小を "1⁄∞" と書いている。 ライプニッツによる無限小の利用は、「有限な数に対して成り立つものは無限な数に対しても成り立ち、逆もまた然り」や（割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針）というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは自身の著書 『解析教程』で、無限小を「連続量」(continuity) ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。カントールとデデキントがステヴィンの連続体をより抽象的な対象として定義したのと同様に、は函数の増大率に基づく「無限小で豊饒化された連続体」(infinitesimal-enriched continuum) に関する一連の論文を著した。デュ・ボア＝レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にが、および1955年にが成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。ロビンソンの超実数 (hyperreals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、はフェルマーの (adequality, pseudoequality) の定式化である。 ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている: Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である） (ja)
- Nieskończenie małe – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:
* historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie;
* w : podzbiór ciała uporządkowanego zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci (gdzie rozumie się jako -krotną sumę jedności ciała ), czyli zbiór: Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ:
* w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy,
* istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego),
* da się zdefiniować funkcję moduł jako:gdzie oznacza element przeciwny do względem działania addytywnego. (pl)
- Infinitesimal (ou infinitésimo), na matemática, é definido como uma quantidade que está mais perto de zero do que qualquer número real, mas diferente de zero. Infinitesimais não pertencem aos números reais, mas eles existem em outros sistemas de números como os números hiper-reais e os números surreais. Esses sistemas podem ser pensados como extensões da linha dos números reais, em que tanto infinitesimais quanto infinitos podem ser considerados quantidades significantes, já que, nos reais, quantidades com diferença de um infinitesimal devem ser consideradas iguais. Os números infinitesimais foram usados na definição da derivada desenvolvida por Leibniz, em que uma derivada poderia ser pensada como uma razão de dois infinitesimais. A definição não foi formalizada por ele. Com isso, os infinitesimais foram substituídos pelos limites, que podiam ser calculados com números reais. (pt)
- Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (пределу которой равен) нулю. Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (предел которой равен) бесконечности определённого знака. В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел. (ru)
- Infinitesimal är nylatin och en neologism som betyder 'ytterst litet'. Inom matematiken är infinitesimal ett oändligt litet tal. Hur litet tal man än tänker sig är ändå talet mindre men det är ändå alltid större än noll. Infinitesimaler har historisk betydelse inom matematisk analys och i modern tid inom icke-standardanalys. (sv)
- Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля. Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування. (uk)
- 無窮小量（英語：Infinitesimal）是數學分析中的一個概念，用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Infinitezimální nebo nekonečně malé číslo je číslo, jehož absolutní hodnota je menší než jakékoliv kladné reálné číslo. Číslo x je infinitezimální právě tehdy, když pro každé celé číslo n je |nx| menší než 1, přitom nezáleží na velikosti n. V tomto případě je 1/x v absolutní hodnotě větší než jakékoliv reálné číslo. Nenulové infinitezimály tedy nejsou reálná čísla, takže „operace“ s nimi nejsou běžné. (cs)
- In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl. (de)
- Infinitesimoa edo infinitesimala limitea zero duen aldagaia edo funtzioa da. Bi infinitesimo x eta y, ordena bereko infinitesimoak dira baldin eta x/y zatiduraren limitea finitua bada, baina ez zero; horrez gain, zatiduraren limitea 1 baldin bada, infinitesimoak baliokideak dira. (eu)
- Les infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot « infinitésimal » vient de infinitesimus (latin du XVIIe siècle), ce qui signifiait à l'origine l'élément « infini-ème » dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. (fr)
- 수학에서 무한소(無限小, infinitesimal)란 일반적으로 모든 양수보다 작지만 0보다는 큰 상태를 가리킨다. 따라서, 이 수는 엄밀히 따지면 존재하지 않는다고 할 수 있고, 분수로 나타내면 1/무한대로 표현 가능하다. (ko)
- Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (пределу которой равен) нулю. Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (предел которой равен) бесконечности определённого знака. В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел. (ru)
- Infinitesimal är nylatin och en neologism som betyder 'ytterst litet'. Inom matematiken är infinitesimal ett oändligt litet tal. Hur litet tal man än tänker sig är ändå talet mindre men det är ändå alltid större än noll. Infinitesimaler har historisk betydelse inom matematisk analys och i modern tid inom icke-standardanalys. (sv)
- Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля. Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування. (uk)
- 無窮小量（英語：Infinitesimal）是數學分析中的一個概念，用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現。 (zh)
- استُخدم المتناهي في الصغر في الرياضيات (بالإنجليزية: Infinitesimal) للتعبير عن قيم بالغة الضآلة، بحيثُ تعبر عن تغيير دقيق جدا لحالة، مثل تغير صغير جدا في درجة الحرارة أو تغير صغير جدا في الحجم. في الاستخدام الدارج؛ تعني هذه الصفة بأن التغير صغير للغاية، ولكنه لا يساوي صِفراً. (ar)
- Els mètodes infinitesimals són una classe específica de problemes que requereixen la recerca dels passos del límit, els processos infinits i la continuïtat per tal de trobar la solució. L'aparició de magnituds incommensurables va significar l'explicació de problemes de forma racional. Aquests problemes estan relacionats amb la prolongació il·limitada del procés per trobar una mesura fixada, amb l'infinitament gran o petita que pot arribar a ser aquesta mesura, i amb què aquesta d'estar continguda un nombre infinit de cops en la magnitud que es compara. Les paradoxes més conegudes d'aquest són: (ca)
- Infinitezimo aŭ senfinecono estas nombro, kiu estas nefinie malgranda, sed ne nulo. Arĥimedo uzis senfineconojn en por kalkuli la areon de ebenaj regionoj kaj la volumenon de spacaj regionoj. Pli poste senfineconoj estis uzataj en la senfinecona kalkulo fare de Gottfried Leibnitz, Leonhard Euler kaj Joseph-Louis Lagrange. En la deknaŭa jarcento, Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind kaj aliaj formaligis la senfineconan kalkulon per la realnombra analizo, kiu per siaj konsideroj pri limvaloroj forigis la neceson uzi senfineconojn. Tamen la senfineconoj plu estis konsiderataj utilaj por plisimpligi klarigojn kaj kalkulojn. (eo)
- In mathematics, an infinitesimal number is a quantity that is closer to zero than any standard real number, but that is not zero. The word infinitesimal comes from a 17th-century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinity-th" item in a sequence. Vladimir Arnold wrote in 1990: Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently, present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it. (en)
- Lo infinitesimal o infinitésimo se refiere a una cantidad más cercana a cero que cualquier número real estándar pero diferente de cero. El término empezó como una noción informal y no rigurosa originalmente pensada como una "cantidad infinitamente pequeña", y originalmente fundamentó ciertos razonamientos del cálculo infinitesimal. En la crisis de los fundamentos matemáticos de principios del siglo XIX los infinitésimos fueron abandonados por los matemáticos, aunque siguieron siendo tratados informalmente en las ciencias aplicadas, y se suelen considerar como números en la práctica. Solo después de la segunda mitad del siglo XX apareció un enfoque totalmente riguroso de los números infinitesimales. (es)
- Dalam matematika, Infinitesimal atau Bilangan Infinitesimal adalah kuantitas yang mendekati angka nol daripada standar pada nilai bilangan riil, tetapi angka bukan nol. Mereka tidak terdapat sistem bilangan riil dengan nilai standar, tetapi ada banyak sistem bilangan lain, seperti dan , yang dapat dianggap sebagai bilangan riil yang ditambah dengan sistem jumlah infinitesimal, serta kuantitas tak hingga, yang merupakan kebalikan dari tak terhingga. menulis pada tahun 1990: — Vladimir Arnold (in)
- In matematica gli infinitesimi sono delle entità numeriche infinitamente piccole, introdotte da Gottfried Leibniz che ne fece il fondamento del calcolo infinitesimale. Gli infinitesimi permettono di risolvere in modo generale problemi come quello della velocità istantanea in fisica e quello della tangente a una curva in geometria, entrambe viste come rapporto tra infinitesimi, alias derivata. Nella seconda metà del XX secolo gli infinitesimi sono stati recuperati, in una prospettiva rigorosa, da Abraham Robinson, nella formulazione di quella che lui chiamò analisi non standard. (it)
- 数学における無限小（むげんしょう、英: infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。 術語 "infinitesimal" は、17世紀の造語 羅: infinitesimus（もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉）に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである。無限小はライプニッツがやなどをもとに展開した解析における基本的な材料である。よくある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容（動）詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること（例えば微分商）が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。 ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている: (ja)
- In de wiskunde is een infinitesimaal een object dat min of meer fungeert als getal en dat in de ordening van de reële getallen kleiner is dan ieder positief reëel getal, maar toch groter is dan nul. Infinitesimalen zijn aanvankelijk bedacht voordat men een goed begrip van limieten had. Zij fungeren eigenlijk als grootheden met limiet 0, waarmee gerekend wordt als waren ze nog net niet gelijk aan 0. Hanteert men daarbij de juiste rekenregels, dan ontstaat toch goed toepasbare theorie. In de wis- en natuurkunde worden vaak redeneringen met infinitesimalen gehouden. (nl)
- Nieskończenie małe – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:
* historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie;
* w : podzbiór ciała uporządkowanego zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci (gdzie rozumie się jako -krotną sumę jedności ciała ), czyli zbiór: Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ: (pl)
- Infinitesimal (ou infinitésimo), na matemática, é definido como uma quantidade que está mais perto de zero do que qualquer número real, mas diferente de zero. Infinitesimais não pertencem aos números reais, mas eles existem em outros sistemas de números como os números hiper-reais e os números surreais. Esses sistemas podem ser pensados como extensões da linha dos números reais, em que tanto infinitesimais quanto infinitos podem ser considerados quantidades significantes, já que, nos reais, quantidades com diferença de um infinitesimal devem ser consideradas iguais. (pt)
|
