| dbo:abstract
|
- Unter Operatorenrechnung versteht man in der Elektrotechnik und der Systemtheorie der Nachrichtentechnik verschiedene historisch gewachsene mathematische Kalküle zur Beschreibung des Verhaltens von linearen zeitinvarianten Systemen. Anstelle der „klassischen“ Beschreibung durch Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme und deren aufwändiger Lösung beschreibt die Operatorenrechnung das Verhalten der elementaren Bauelemente und der komplexen Systeme durch Operatoren und führt damit die Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen zurück. Grundlegend wird in der Applikation heutzutage von Transformationen, wie z. B. der Laplace-, Fourier- oder Z-Transformation, gesprochen. Mathematisch liegt dabei ein in den Dimensionen endlicher Funktionenvektorraum vor, welcher sich immer auch explizit algebraisch formulieren lässt. Ein System wird dabei durch den folgenden einfachen algebraischen Zusammenhang beschrieben: In allen Operatorenrechnungen verschwindet der Unterschied zwischen den Signalen und den Systemcharakteristiken. Beide werden gleichwertig durch die jeweiligen Operatoren repräsentiert. Die unterschiedlichen Operatorenrechnungen entstanden in der nachfolgend gegebenen historischen Reihenfolge: (de)
- في الرياضيات نظرية المؤثرات هي دراسة المؤثرات الخطية على فضاء الدوال، بدايةً بالمؤثر التفاضلي والمؤثر التكاملي. يمكن تعريف المؤثر بشكل تجريدي من خلال خصائصه، مثل أو ، وأحيانًا توضع المؤثرات غير الخطية في الاعتبار. دراسة المؤثرات تعتمد بشكل كبير على طوبولوجيا فضاءات الدوال وتعتبر إحدى فروع التحليل الدالي. إذا شكلت مجموعة من المؤثرات جبر على حقل، فإن هذا يعتبر جبر المؤثرات وهو جزء من نظرية المؤثرات. (ar)
- En matemáticas, la teoría de operadores es el estudio de las aplicaciones lineales sobre espacios funcionales, comenzando con un operador diferencial y un operador integral. Los operadores se pueden presentar de forma abstracta por sus características, como operador lineal acotado u operador cerrado, y también se efectuan consideraciones sobre las aplicaciones no lineales. El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios de funciones, es una rama del análisis funcional. Si una colección de operadores forma un álgebra sobre un cuerpo, entonces es un álgebra de operadores. La descripción de álgebras de operadores es parte de la teoría de operadores. (es)
- In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators. The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis. If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra. The description of operator algebras is part of operator theory. (en)
- In matematica, la teoria degli operatori è un settore dell'analisi funzionale che si occupa degli operatori (ovvero funzioni) che sono lineari e sono definiti tra spazi di funzioni, come ad esempio gli operatori differenziali e integrali. Di particolare interesse sono gli operatori limitati, gli operatori chiusi e quelli normali; questi ultimi includono gli operatori autoaggiunti, emisimmetrici e unitari. In generale, il loro studio è fortemente legato alla topologia operatoriale definita negli spazi in cui vivono. Se un insieme di operatori forma un'algebra su di un campo, si tratta di un'. (it)
- 연산자 이론 혹은 작용소 이론이란 수학에서 유계 작용소들과 그 성질을 연구하는 함수해석학의 세부 분야이다. 크게 두 분야로 나눌 수 있지만 서로 매우 큰 관련이 있다. 유계 연산자들에 대한 (Spectral theory)으로 확장할 수 있다. (ko)
- De operatorentheorie of theorie van lineaire operatoren is een onderdeel van de functionaalanalyse, op haar beurt een tak van de wiskunde. (nl)
- 数学における作用素論（さようそろん、英: Operator theory）は、微分作用素や積分作用素をはじめとする線型作用素の研究である。各作用素は、有界性や閉性などといった特徴によって抽象的に表すことができ、またなども視野に含むこともあり得る。そのような研究は函数空間の位相に非常に依存しており、函数解析学の一分科を成す。 作用素の集合が体上の多元環を成すならば、それを作用素環と呼ぶ。作用素環を記述することもまた作用素論の一部である。 (ja)
- A teoria dos operadores é o ramo da análise funcional que lida com operadores lineares limitados e suas propriedades. A teoria estende a para operadores limitados, podendo ser ramificada em dois ramos, de forma bem geral, embora ocorram consideráveis sopreposições entre eles. (pt)
- Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах. Отображение из векторного пространства в векторное пространство называется линейным оператором если для любых и в и любых скаляров и . Часто пишут вместо . Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдется положительное вещественное число такое что для всех в . Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора и обозначается . Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор. Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства в нормированное пространство обозначается . В случае когда пишут вместо . Если — гильбертово пространство, то обычно пишут вместо . На можно ввести структуру векторного пространства через и , где , , а — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой превращается в нормированное пространство. В частности, и для любых и произвольного скаляра . Пространство является банаховым тогда и только тогда когда — банахово. Пусть и — нормированные пространства, и . Композиция и обозначается и называется произведением операторов и . При этом и .Если — банахово пространство, то , оснащённое произведением, является банаховой алгеброй. В теории операторов можно выделить несколько основных разделов: 1.
* Спектральная теория изучает спектр оператора. 2.
* Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы. 3.
* Операторы на специальных нормированных пространствах. 4.
* На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др. 5.
* На функциональных пространствах: дифференциальные, , интегральные, и ; операторы , , и др. 6.
* На банаховых решётках: , и др. 7.
* Совокупности операторов (то есть, подмножества ): операторные алгебры, и др. 8.
* Теория инвариантных подпространств. (ru)
- Теорія операторів — розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості неперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор — це аналог звичайної функції або матриці в скінченновимірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах. Відображення з векторного простору у векторний простір називається лінійним оператором, якщо для будь-яких і із і будь-яких скалярів і . Часто пишуть замість . Лінійний оператор з нормованого простору в нормований простір називається обмеженим, якщо знайдеться додатне дійсне число таке, що для всіх . Найменша така константа , яка задовольняє цій умові, називається нормою оператора і позначається . Неважко бачити, що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді, коли він неперервний. Під терміном «оператор» у функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор. Множина всіх (обмежених лінійних) операторів із нормованого простору в нормований простір позначається . У випадку, коли пишуть замість . Якщо — Гільбертів простір, то зазвичай пишуть замість . На можна ввести структуту векторного простору через і , де , а — довільний скаляр. З введеною вище операторною нормою, перетворюється на нормований простір. Зокрема, і для будь-яких і довільного скаляра . Простір є Банаховим тоді і тільки тоді, коли — Банахів. Нехай , і — нормовані простори, і . Композиція і позначається і називається «добутком» операторів та . Відмітимо, що і . Якщо — Банахів простір, то з введеним вище множенням є Банаховою алгеброю. У «теорії операторів» можна виділити декілька основних розділів: 1.
* Спектральна теорія вивчає спектр оператора. 2.
* Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, Фредгольмові оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори тощо. Вивчають також необмежені оператори і частково визначені оператори, зокрема замкнуті оператори. 3.
* Оператори на спеціальних нормованих просторах. 4.
* На Гільбертових просторах вивчають , , унітарні, додатні оператори та ін. 5.
* На функціональних просторах: диференціальні, псевдодиференціальні, інтегральні, і псевдоінтегральні оператори; оператори множення, підстановки, підстановки з вагою та ін. 6.
* На Банахових решітках: додатні оператори, регулярні оператори тощо. 7.
* Сукупності операторів (тобто, підмножини ): операторна алгебра, операторні напівгрупи та ін. 8.
* Теорія інваріантних підпросторів. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في الرياضيات نظرية المؤثرات هي دراسة المؤثرات الخطية على فضاء الدوال، بدايةً بالمؤثر التفاضلي والمؤثر التكاملي. يمكن تعريف المؤثر بشكل تجريدي من خلال خصائصه، مثل أو ، وأحيانًا توضع المؤثرات غير الخطية في الاعتبار. دراسة المؤثرات تعتمد بشكل كبير على طوبولوجيا فضاءات الدوال وتعتبر إحدى فروع التحليل الدالي. إذا شكلت مجموعة من المؤثرات جبر على حقل، فإن هذا يعتبر جبر المؤثرات وهو جزء من نظرية المؤثرات. (ar)
- In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators. The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis. If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra. The description of operator algebras is part of operator theory. (en)
- In matematica, la teoria degli operatori è un settore dell'analisi funzionale che si occupa degli operatori (ovvero funzioni) che sono lineari e sono definiti tra spazi di funzioni, come ad esempio gli operatori differenziali e integrali. Di particolare interesse sono gli operatori limitati, gli operatori chiusi e quelli normali; questi ultimi includono gli operatori autoaggiunti, emisimmetrici e unitari. In generale, il loro studio è fortemente legato alla topologia operatoriale definita negli spazi in cui vivono. Se un insieme di operatori forma un'algebra su di un campo, si tratta di un'. (it)
- 연산자 이론 혹은 작용소 이론이란 수학에서 유계 작용소들과 그 성질을 연구하는 함수해석학의 세부 분야이다. 크게 두 분야로 나눌 수 있지만 서로 매우 큰 관련이 있다. 유계 연산자들에 대한 (Spectral theory)으로 확장할 수 있다. (ko)
- De operatorentheorie of theorie van lineaire operatoren is een onderdeel van de functionaalanalyse, op haar beurt een tak van de wiskunde. (nl)
- 数学における作用素論（さようそろん、英: Operator theory）は、微分作用素や積分作用素をはじめとする線型作用素の研究である。各作用素は、有界性や閉性などといった特徴によって抽象的に表すことができ、またなども視野に含むこともあり得る。そのような研究は函数空間の位相に非常に依存しており、函数解析学の一分科を成す。 作用素の集合が体上の多元環を成すならば、それを作用素環と呼ぶ。作用素環を記述することもまた作用素論の一部である。 (ja)
- A teoria dos operadores é o ramo da análise funcional que lida com operadores lineares limitados e suas propriedades. A teoria estende a para operadores limitados, podendo ser ramificada em dois ramos, de forma bem geral, embora ocorram consideráveis sopreposições entre eles. (pt)
- Unter Operatorenrechnung versteht man in der Elektrotechnik und der Systemtheorie der Nachrichtentechnik verschiedene historisch gewachsene mathematische Kalküle zur Beschreibung des Verhaltens von linearen zeitinvarianten Systemen. Anstelle der „klassischen“ Beschreibung durch Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme und deren aufwändiger Lösung beschreibt die Operatorenrechnung das Verhalten der elementaren Bauelemente und der komplexen Systeme durch Operatoren und führt damit die Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen zurück. Grundlegend wird in der Applikation heutzutage von Transformationen, wie z. B. der Laplace-, Fourier- oder Z-Transformation, gesprochen. (de)
- En matemáticas, la teoría de operadores es el estudio de las aplicaciones lineales sobre espacios funcionales, comenzando con un operador diferencial y un operador integral. Los operadores se pueden presentar de forma abstracta por sus características, como operador lineal acotado u operador cerrado, y también se efectuan consideraciones sobre las aplicaciones no lineales. El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios de funciones, es una rama del análisis funcional. (es)
- Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах. В частности, и для любых и произвольного скаляра . Пространство является банаховым тогда и только тогда когда — банахово. В теории операторов можно выделить несколько основных разделов: (ru)
- Теорія операторів — розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості неперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор — це аналог звичайної функції або матриці в скінченновимірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах. Зокрема, і для будь-яких і довільного скаляра . Простір є Банаховим тоді і тільки тоді, коли — Банахів. У «теорії операторів» можна виділити декілька основних розділів: (uk)
|
