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- En geometría, la recta proyectiva real es la aplicación del concepto de recta proyectiva sobre los números reales. Es una extensión de la idea habitual de recta que se ha introducido históricamente para resolver un problema planteado por el dibujo en perspectiva: dos rectas paralelas no se cruzan, pero parecen cruzarse "en el infinito". Para solucionar este problema se han introducido puntos en el infinito, de forma que en un plano proyectivo real, dos líneas rectas proyectivas distintas se encuentran exactamente en un punto. El conjunto de estos puntos en el infinito, el "horizonte" de la perspectiva visual en el plano, es una verdadera recta proyectiva. Es el conjunto de direcciones que emanan de un observador situado en un punto cualquiera, con direcciones opuestas identificadas entre sí. Un ejemplo de una recta proyectiva real es la , que a menudo se denomina "la" recta proyectiva. Formalmente, una recta proyectiva real P(R) se define como el conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales. Los automorfismos de una recta proyectiva real se denominan transformaciones proyectivas, homografías o . Forman el grupo lineal proyectivo PGL(2, R). Cada elemento de PGL(2, R) puede ser definido por una matriz real no singular de 2×2, y dos matrices definen el mismo elemento de PGL(2, R) si una es el producto de la otra por un número real distinto de cero. Topológicamente, las rectas proyectivas reales son homeomórficas a circunferencias. El análogo complejo de una recta proyectiva real es una recta proyectiva compleja; es decir, una esfera de Riemann. (es)
- In geometry, a real projective line is a projective line over the real numbers. It is an extension of the usual concept of a line that has been historically introduced to solve a problem set by visual perspective: two parallel lines do not intersect but seem to intersect "at infinity". For solving this problem, points at infinity have been introduced, in such a way that in a real projective plane, two distinct projective lines meet in exactly one point. The set of these points at infinity, the "horizon" of the visual perspective in the plane, is a real projective line. It is the set of directions emanating from an observer situated at any point, with opposite directions identified. An example of a real projective line is the projectively extended real line, which is often called the projective line. Formally, a real projective line P(R) is defined as the set of all one-dimensional linear subspaces of a two-dimensional vector space over the reals. The automorphisms of a real projective line are called projective transformations, homographies, or linear fractional transformations. They form the projective linear group PGL(2, R). Each element of PGL(2, R) can be defined by a nonsingular 2×2 real matrix, and two matrices define the same element of PGL(2, R) if one is the product of the other and a nonzero real number. Topologically, real projective lines are homeomorphic to circles. The complex analog of a real projective line is a complex projective line; that is, a Riemann sphere. (en)
- In de reële analyse wordt de reële projectieve lijn (ook wel de een-punt van de reële lijn, of de projectief uitgebreide reële getallen genoemd), is de verzameling , ook aangeduid door en door . Het symbool geeft het punt op oneindig weer, een geïdealiseerd punt dat de twee "uiteinden" van de reële lijn overbrugt. (nl)
- 初等幾何学における実射影直線（じつしゃえいちょくせん、英: real projective line）は、通常の直線の概念の拡張で、歴史的には透視図法に基づいて設定された問題を解決するために導入された。例えば平行線は決して交わらないが、透視図では「無限遠」で交叉するように見える。この問題の解決に際して無限遠点が導入され、そうして得られたにおいて、相異なる二つの射影直線はただ一点のみで交わる。このような無限遠点全体の成す集合は、平面透視図法における「地平線」であり、それ自身がひとつの実射影直線となる。これは任意の点に位置する観測者から発せられた方向を持つ円の、反対にある点を同一視したものである。実射影直線のモデルとしてがある。透視図に地平線を表す直線を描くことで、無限遠に余分な点が地平線へ伸びる平行線の集まりを表現するために追加される。 厳密には、実射影直線は実数体上二次元のベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す空間として定義される。これにより、2 × 2 の正則行列全体の成す一般線型群が自然に作用する。このとき中心に属する行列の作用は自明となるから、射影一般線型群 PGL(2, R) もまた射影直線に自然に作用する。これらは射影直線上の幾何学的変換群である。射影直線を実数直線位無限遠点を加えたものとして表すとき、射影線型群の元は一次分数変換として作用する。これら実射影直線上の変換は射影変換と呼ばれる。 位相幾何学的には、実射影直線は円周に同相（位相的円周）である。実射影直線は双曲平面の境界を成すが、双曲平面上の任意の等距変換は境界である実射影直線上の幾何学的変換を一意的に誘導し、逆もまた成り立つ。さらに言えば、双曲平面上の任意の調和函数は、等距変換群の作用と両立する仕方で、射影直線上の分布のポワソン積分として与えられる。この位相的円周上には無数の両立可能な射影構造を持ち、そのような構造を持つ空間は（無限次元）と呼ばれる。実射影直線の複素数版は複素射影直線、いわゆるリーマン球面である。 (ja)
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- In de reële analyse wordt de reële projectieve lijn (ook wel de een-punt van de reële lijn, of de projectief uitgebreide reële getallen genoemd), is de verzameling , ook aangeduid door en door . Het symbool geeft het punt op oneindig weer, een geïdealiseerd punt dat de twee "uiteinden" van de reële lijn overbrugt. (nl)
- En geometría, la recta proyectiva real es la aplicación del concepto de recta proyectiva sobre los números reales. Es una extensión de la idea habitual de recta que se ha introducido históricamente para resolver un problema planteado por el dibujo en perspectiva: dos rectas paralelas no se cruzan, pero parecen cruzarse "en el infinito". Para solucionar este problema se han introducido puntos en el infinito, de forma que en un plano proyectivo real, dos líneas rectas proyectivas distintas se encuentran exactamente en un punto. El conjunto de estos puntos en el infinito, el "horizonte" de la perspectiva visual en el plano, es una verdadera recta proyectiva. Es el conjunto de direcciones que emanan de un observador situado en un punto cualquiera, con direcciones opuestas identificadas entre s (es)
- In geometry, a real projective line is a projective line over the real numbers. It is an extension of the usual concept of a line that has been historically introduced to solve a problem set by visual perspective: two parallel lines do not intersect but seem to intersect "at infinity". For solving this problem, points at infinity have been introduced, in such a way that in a real projective plane, two distinct projective lines meet in exactly one point. The set of these points at infinity, the "horizon" of the visual perspective in the plane, is a real projective line. It is the set of directions emanating from an observer situated at any point, with opposite directions identified. (en)
- 初等幾何学における実射影直線（じつしゃえいちょくせん、英: real projective line）は、通常の直線の概念の拡張で、歴史的には透視図法に基づいて設定された問題を解決するために導入された。例えば平行線は決して交わらないが、透視図では「無限遠」で交叉するように見える。この問題の解決に際して無限遠点が導入され、そうして得られたにおいて、相異なる二つの射影直線はただ一点のみで交わる。このような無限遠点全体の成す集合は、平面透視図法における「地平線」であり、それ自身がひとつの実射影直線となる。これは任意の点に位置する観測者から発せられた方向を持つ円の、反対にある点を同一視したものである。実射影直線のモデルとしてがある。透視図に地平線を表す直線を描くことで、無限遠に余分な点が地平線へ伸びる平行線の集まりを表現するために追加される。 (ja)
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