| dbo:abstract
|
- In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute. The n-dimensional unit sphere — called the n-sphere for brevity, and denoted as Sn — generalizes the familiar circle (S1) and the ordinary sphere (S2). The n-sphere may be defined geometrically as the set of points in a Euclidean space of dimension n + 1 located at a unit distance from the origin. The i-th homotopy group πi(Sn) summarizes the different ways in which the i-dimensional sphere Si can be mapped continuously into the n-dimensional sphere Sn. This summary does not distinguish between two mappings if one can be continuously deformed to the other; thus, only equivalence classes of mappings are summarized. An "addition" operation defined on these equivalence classes makes the set of equivalence classes into an abelian group. The problem of determining πi(Sn) falls into three regimes, depending on whether i is less than, equal to, or greater than n:
* For 0 < i < n, any mapping from Si to Sn is homotopic (i.e., continuously deformable) to a constant mapping, i.e., a mapping that maps all of Si to a single point of Sn. Therefore the homotopy group is the trivial group.
* When i = n, every map from Sn to itself has a degree that measures how many times the sphere is wrapped around itself. This degree identifies the homotopy group πn(Sn) with the group of integers under addition. For example, every point on a circle can be mapped continuously onto a point of another circle; as the first point is moved around the first circle, the second point may cycle several times around the second circle, depending on the particular mapping.
* The most interesting and surprising results occur when i > n. The first such surprise was the discovery of a mapping called the Hopf fibration, which wraps the 3-sphere S3 around the usual sphere S2 in a non-trivial fashion, and so is not equivalent to a one-point mapping. The question of computing the homotopy group πn+k(Sn) for positive k turned out to be a central question in algebraic topology that has contributed to development of many of its fundamental techniques and has served as a stimulating focus of research. One of the main discoveries is that the homotopy groups πn+k(Sn) are independent of n for n ≥ k + 2. These are called the stable homotopy groups of spheres and have been computed for values of k up to 64. The stable homotopy groups form the coefficient ring of an extraordinary cohomology theory, called stable cohomotopy theory. The unstable homotopy groups (for n < k + 2) are more erratic; nevertheless, they have been tabulated for k < 20. Most modern computations use spectral sequences, a technique first applied to homotopy groups of spheres by Jean-Pierre Serre. Several important patterns have been established, yet much remains unknown and unexplained. (en)
- En el campo matemático de topología algebraica, los grupos de homotopía de esferas describen cómo esferas de variadas dimensiones pueden envolverse unas a otras. Son ejemplos de invariantes topológicas, las cuales reflejan, en términos algebraicos, la estructura de esferas vistas como espacios topológicos, olvidando detalles geométricos precisos. A diferencia de los grupos de homología, los cuales son también invariantes topológicas, los grupos de homotopía son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular. El esfera n-dimensional unitaria — llamada el n-esfera por brevedad, y escrita como Sn — generaliza el círculo (S1) y la esfera (S2). La n-esfera puede ser definida geométricamente como el conjunto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión n + 1 ubicado a distancia 1 del origen.
* Datos: Q3118090 (es)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères). (fr)
- Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна. Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания . Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères). (fr)
- En el campo matemático de topología algebraica, los grupos de homotopía de esferas describen cómo esferas de variadas dimensiones pueden envolverse unas a otras. Son ejemplos de invariantes topológicas, las cuales reflejan, en términos algebraicos, la estructura de esferas vistas como espacios topológicos, olvidando detalles geométricos precisos. A diferencia de los grupos de homología, los cuales son también invariantes topológicas, los grupos de homotopía son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular.
* Datos: Q3118090 (es)
- In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute. The problem of determining πi(Sn) falls into three regimes, depending on whether i is less than, equal to, or greater than n: (en)
- Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна. (ru)
|
