| dbo:abstract
|
- Eine Zerlegung der Eins (auch: Teilung der Eins oder Zerlegung der Einheit) ist eine Konstruktion aus der Mathematik.Unter gewissen Gegebenheiten muss in der Mathematik zwischen einer lokalen und einer globalen Perspektive unterschieden werden. Zum Beispiel:
* Um in der Analysis das Flächenintegral zu definieren, oder allgemein über Mannigfaltigkeiten zu integrieren, müssen Koordinaten gewählt werden, was nur lokal möglich ist. Der Integrand muss also so zerlegt werden, dass er lokal integrierbar bleibt, außerhalb des Geltungsbereiches des Koordinatensystems aber zu Null wird.
* In der Differentialgeometrie werden auf Flächen oder Mannigfaltigkeiten Vektorfelder konstruiert. Es gibt oft nur lokal gültige Konstruktionen, die aber zu einer globalen zusammengefügt werden sollen. Zum Beispiel soll das Normalenfeld einer Untermannigfaltigkeit auf die gesamte Mannigfaltigkeit fortgesetzt werden,...
* In der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen kann die Lösung einer partiellen Differentialgleichung auf einem beliebigen Gebiet häufig mit Hilfe der Zerlegung der Eins durch Lösungen der Gleichung auf dem Ganzraum und dem (gestörten) Halbraum zusammengesetzt werden (sog. Lokalisierung). (de)
- Je diferenciala geometrio, dispartigo de unuo estas kolekto de funkcioj, kies sumo estas ĉie 1. Dispartigoj de unuo estas uzataj por difini mallokajn strukturojn loke: oni difinas lokajn strukturojn kaj difinas la mallokan strukturon kiel la sumon de la lokaj strukturoj ponditan per la dispartigo de unuo. (eo)
- En première approche, on peut dire qu'une partition de l'unité est une famille de fonctions positives telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d'elles vaille 1 : Plus précisément, si est l'espace topologique sur lequel sont définies les fonctions de la partition, on imposera que la somme des fonctions ait un sens, c'est-à-dire que pour tout , la famille soit sommable. De façon usuelle, on impose une condition encore plus forte, à savoir qu'en tout point de , seul un nombre fini des soient non nulles. On parle alors de partition localement finie. On impose en général aussi des conditions de régularité sur les fonctions de la partition, de façon habituelle soit simplement que les fonctions soient continues et alors on parle de partition continue de l'unité, soit indéfiniment dérivables et alors on parle de partition C∞ de l'unité. Ces conditions, en général précisées par le contexte, sont habituellement sous-entendues. Et on utilisera l'expression partition de l'unité pour désigner une partition continue de l'unité localement finie ou bien une partition C∞ de l'unité localement finie. Les partitions de l'unité sont utiles car elles permettent souvent d'étendre des propriétés locales à l'espace tout entier. Bien sûr, ce sont les théorèmes d'existence qui font de cette notion un outil pratique. (fr)
- In mathematics, a partition of unity of a topological space is a set of continuous functions from to the unit interval [0,1] such that for every point :
* there is a neighbourhood of where all but a finite number of the functions of are 0, and
* the sum of all the function values at is 1, i.e., Partitions of unity are useful because they often allow one to extend local constructions to the whole space. They are also important in the interpolation of data, in signal processing, and the theory of spline functions. (en)
- 数学において位相空間 X の 1 の分割（いちのぶんかつ、英: partition of unity）は、X から単位区間 [0, 1] への連続関数の集合 R であって、すべての点 に対して以下の二条件を満たすものである：
* の近傍が存在して R の関数の有限個を除くすべては 0 である；
* におけるすべての関数の値の和は 1 である、すなわち、 1 の分割は、しばしばそれによって局所的な構成を空間全体に拡張することができるから、有用である。またデータの内挿、信号処理、スプライン曲線の理論においても重要である。 (ja)
- 수학에서 단위 분할(單位分割, 영어: partition of unity)은 공간을 총합이 1인 일련의 함수들을 사용해 분할하는 방법이다. 국소적 작도를 대역적으로 확장할 때 쓰인다. (ko)
- In topologia, una partizione dell'unità relativa ad uno spazio topologico è una famiglia di funzioni continue che soddisfino le seguenti proprietà:
* per ogni
* in ogni punto, solo un numero finito di funzioni ha valore non nullo
* la somma di tutte queste funzioni è identicamente uno: Questa somma è finita in ogni punto (e quindi la definizione è indipendente dal concetto di somma infinita) per la condizione precedente. Una partizione dell'unità composta da quattro funzioni. La linea tratteggiata indica la somma delle funzioni in ogni punto L'esistenza di una partizione dell'unità è spesso data in relazione ad un particolare ricoprimento: si dice che la partizione è subordinata al ricoprimento di se il supporto di è contenuto in per ogni indice . Nel contesto della geometria differenziale si aggiunge la richiesta della liscezza delle funzioni : in questo caso per distinguere si parla di partizione differenziabile dell'unità. La paracompattezza dello spazio è una condizione necessaria all'esistenza di una partizione dell'unità. A seconda del contesto, può anche essere sufficiente. (it)
- Em matemática, uma partição da unidade em um espaço topológico X é uma família de funções contínuas de forma que, para cada ponto :
* existe uma vizinhança de x em que todas, exceto uma quantidade finita, das funções são identicamente zero.
* a soma das funções em x é 1, ou seja . (pt)
- Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт. С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии. (ru)
- Розбиття одиниці — конструкція, що використовується в топології і диференціальній геометрії для зручності роботи з многовидами як множиною карт. З допомогою розбиття одиниці можна ввести Ріманову метрику на паракомпактному многовиді, як і означити інтеграл від диференціальної форми. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Je diferenciala geometrio, dispartigo de unuo estas kolekto de funkcioj, kies sumo estas ĉie 1. Dispartigoj de unuo estas uzataj por difini mallokajn strukturojn loke: oni difinas lokajn strukturojn kaj difinas la mallokan strukturon kiel la sumon de la lokaj strukturoj ponditan per la dispartigo de unuo. (eo)
- In mathematics, a partition of unity of a topological space is a set of continuous functions from to the unit interval [0,1] such that for every point :
* there is a neighbourhood of where all but a finite number of the functions of are 0, and
* the sum of all the function values at is 1, i.e., Partitions of unity are useful because they often allow one to extend local constructions to the whole space. They are also important in the interpolation of data, in signal processing, and the theory of spline functions. (en)
- 数学において位相空間 X の 1 の分割（いちのぶんかつ、英: partition of unity）は、X から単位区間 [0, 1] への連続関数の集合 R であって、すべての点 に対して以下の二条件を満たすものである：
* の近傍が存在して R の関数の有限個を除くすべては 0 である；
* におけるすべての関数の値の和は 1 である、すなわち、 1 の分割は、しばしばそれによって局所的な構成を空間全体に拡張することができるから、有用である。またデータの内挿、信号処理、スプライン曲線の理論においても重要である。 (ja)
- 수학에서 단위 분할(單位分割, 영어: partition of unity)은 공간을 총합이 1인 일련의 함수들을 사용해 분할하는 방법이다. 국소적 작도를 대역적으로 확장할 때 쓰인다. (ko)
- Em matemática, uma partição da unidade em um espaço topológico X é uma família de funções contínuas de forma que, para cada ponto :
* existe uma vizinhança de x em que todas, exceto uma quantidade finita, das funções são identicamente zero.
* a soma das funções em x é 1, ou seja . (pt)
- Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт. С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии. (ru)
- Розбиття одиниці — конструкція, що використовується в топології і диференціальній геометрії для зручності роботи з многовидами як множиною карт. З допомогою розбиття одиниці можна ввести Ріманову метрику на паракомпактному многовиді, як і означити інтеграл від диференціальної форми. (uk)
- Eine Zerlegung der Eins (auch: Teilung der Eins oder Zerlegung der Einheit) ist eine Konstruktion aus der Mathematik.Unter gewissen Gegebenheiten muss in der Mathematik zwischen einer lokalen und einer globalen Perspektive unterschieden werden. Zum Beispiel: (de)
- En première approche, on peut dire qu'une partition de l'unité est une famille de fonctions positives telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d'elles vaille 1 : On impose en général aussi des conditions de régularité sur les fonctions de la partition, de façon habituelle soit simplement que les fonctions soient continues et alors on parle de partition continue de l'unité, soit indéfiniment dérivables et alors on parle de partition C∞ de l'unité. (fr)
- In topologia, una partizione dell'unità relativa ad uno spazio topologico è una famiglia di funzioni continue che soddisfino le seguenti proprietà:
* per ogni
* in ogni punto, solo un numero finito di funzioni ha valore non nullo
* la somma di tutte queste funzioni è identicamente uno: Questa somma è finita in ogni punto (e quindi la definizione è indipendente dal concetto di somma infinita) per la condizione precedente. Una partizione dell'unità composta da quattro funzioni. La linea tratteggiata indica la somma delle funzioni in ogni punto (it)
|
