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- Kompaktní množina, nebo také kompaktní prostor, je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice v topologii zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného objemu. V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina. Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní (v této množině), tuto vlastnost nazýváme . Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená, (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí). V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená. Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí. (cs)
- في الرياضيات، يطلق على مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي اسم فضاء متراص إذا كانت مغلقة ومحدودة. على سبيل المثال في مجموعة الأعداد الحقيقية R تكون المجموعة الجزئية [0, 1] هي مجموعة متراصة ولكن ذات المجموعة في مجموعة الأعداد الصحيحة لا تكون متراصة (لأنها ليست محدودة). بتعريف أكثر حداثة، يطلق على فضاء طوبولوجي اسم فضاء متراص إذا كان كل من أغطيته المفتوحة لها غطاء جزئي منتهي. (ar)
- En topologia, un subconjunt d'un espai topològic es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot tal que són tots oberts i , hi ha finit tal que . Noti's que, en particular, podria ser . En aquest cas es parla d'un espai compacte. Es verifica llavors que és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça. Que un espai sigui compacte és una propietat que intenta generalitzar la noció d'un subconjunt de l'espai euclidià tancat i fitat per mitjà de la idea que un espai no tingui "forats" i que no "faltin els punts finals", és a dir que l'espai no exclogui cap punt de "valor límit". Per exemple, l'interval "no tancat" (0,1) no seria compacte ja que exclou els valors límits de 0 i 1, que mentre que l'interval tancat [0,1] seria compacte. Similarment, l'espai de nombres racionals no és compacte ja que té un nombre infinit de "forats" que corresponen als nombres irracionals, i l'espai de nombres reals no és compacte ja que exclou els valors límits i . Tanmateix, la recta extensa de nombre reals seria compacte, ja que conté tots dos infinits. Hi ha moltes maneres de precisar en aquesta noció heurística. Els diferents plantejaments coincideixen en l'espai euclidià, però poden no ser equivalents en altres espais topològics. Una d'aquestes generalitzacions és la que diu que un espai topològic és si tota successió infinita de punts mostrejats en l'espai té una subsuccessió que convergeix en algun punt de l'espai. El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que un subconjunt de l'espai euclidià és compacte en aquest sentit successional si i només si és tancat i fitat. Per tant, si es tria un nombre infinit de punts en l'interval unitat tancat, [0, 1], alguns dels seus punts s'aproparan arbitràriament a algun nombre real en aquest espai. Per exemple, alguns dels nombres en la seqüència 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... s'acumulen en el 0 (mentre que d'altres ho fan a l'1). El mateix conjunt de punts no s'acumularien a cap punt de l'interval unitat obert (0, 1), així doncs l'interval unitat obert no és compacte. Tot i que subconjunts (subespais) de l'espai euclidià poden ser compactes, l'espai sencer en si no és compacte ja que no és fitat. Per exemple, considerant , la recta de nombres reals sencera, la successió de punts 0, 1, 2, 3, ..., no té cap subseqüència que convergeixi a cap nombre real. La idea d'espai compacte va ser introduïda formalment per Maurice Fréchet l'any 1906 per generalitzar el teorema de Bolzano–Weierstrass d'espais de punts geomètrics a espais de funcions. El i el exemplifiquen aplicacions d'aquesta noció d'espai compacte a l'anàlisi real clàssica. Seguint la seva introducció inicial, diferents nocions equivalents d'espais compactes, inclosa la d'espai successionalment compacte i la d'espai compacte de punts límit van ser desenvolupades en espais mètrics generals. En espais topològics generals, tanmateix, aquestes nocions d'espais compactes no són necessàriament equivalents. La noció més útil -i la definició estàndard del terme espai compacte- és descrita en termes de l'existència de famílies finites de conjunts oberts que recobreixen l'espai en el sentit que tot punt de l'espai pertany a algun conjunt contingut dins de la família. Aquesta noció més subtil, introduïda per Pàvel Aleksàndrov i Pàvel Urysohn l'any 1929, presenta els espais compactes com a generalitzacions de conjunts finits. S'utilitza sovint el terme conjunt compacte com a sinònim d'espai compacte, però sol fer referència també a subespais compactes d'espais topològics. (ca)
- Στα μαθηματικά, ειδικά στη γενική τοπολογία και στη , ένας συμπαγής χώρος είναι ένας μαθηματικός τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε των σημείων που διαλέξαμε από το χώρο πρέπει τελικά να τον πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο σημείο του χώρου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της πληρότητας, σημειώνεται κατωτέρω, οι οποίες είναι ισοδύναμες σε καλές περιπτώσεις. Η έκδοση που μόλις περιγράφηκε είναι γνωστή ως . Το δίνει μια αντίστοιχη συνθήκη για τη διαδοχική συμπάγεια κατά την εξέταση των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου: ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ένα κλειστό διάστημα ή ένα ορθογώνιο. Έτσι, αν κάποιος επιλέξει έναν άπειρο αριθμό σημείων στο κλειστό ), ορισμένα από αυτά τα σημεία πρέπει να τα πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο πραγματικό αριθμό σε αυτό το χώρο. Για παράδειγμα, ορισμένοι από τους αριθμούς 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... τους παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο μηδέν. (Επίσης, μερικοί τους παίρνουν αυθαίρετα κοντά στο 1.) Σημειώνεται ότι το ίδιο σύνολο των σημείων δεν θα έχουν, ως ένα σημείο συσσώρευσης, οποιοδήποτε σημείο ενός ανοικτού μοναδιαίου διαστήματος,ως εκ τούτου,αυτός ο χώρος δεν μπορεί να είναι συμπαγής. Ο Ευκλείδειος χώρος μόνος του δεν είναι συμπαγής, δεδομένου ότι δεν οριοθετείται. Συγκεκριμένα, θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., της οποίας καμία υπο-ακολουθία δεν παίρνουμε τελικά αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό. Εκτός από τα κλειστά και φραγμένα υποσύνολα του Ευκλείδιου χώρο, χαρακτηριστικά παραδείγματα των συμπαγών χώρων περιλαμβάνουν χώρους που δεν αποτελούνται από γεωμετρικά σημεία, αλλά από συναρτήσεις. Ο όρος συμπάγειας εισήχθη στα μαθηματικά από τον Maurice Fréchet το 1906 ως απόσταξη αυτής της έννοιας. Συμπαγές σε αυτή τη γενικότερη κατάσταση παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στην μαθηματική ανάλυση, επειδή πολλά κλασικά και σημαντικά θεωρήματα της ανάλυσης του 19ου αιώνα, όπως το , είναι εύκολα γενικευμένη σε αυτή την κατάσταση. Μια τυπική εφαρμογή παράχθηκε από το , και ιδίως , όπου κάποιος είναι σε θέση να συμπεράνει την ύπαρξη μιας συνάρτησης με κάποιες απαιτούμενες ιδιότητες ως οριακή περίπτωση κάποιων πιο στοιχειώδη κατασκευών. Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, συμπεριλαμβανομένου τη διαδοχική συμπάγεια και την , μπορεί να αναπτυχθεί στους γενικούς μετρικούς χώρους. Στους γενικούς τοπολογικούς χώρους οι διαφορετικές έννοιες της συμπάγειας δεν είναι απαραίτητα ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια, εισήχθη από τον και τον το 1929,η οποία προϋποθέτει την ύπαρξη ορισμένων πεπερασμένων οικογενειών των που καλύπτουν το χώρο με την αίσθηση ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να βρίσκεται σε ένα σύνολο που περιέχεται στην οικογένεια. Αυτός ο πιο λεπτός ορισμός εμφανίζει τους συμπαγές χώρους ως . Σε χώρους που είναι συμπαγής σε αυτήν την τελευταία έννοια , είναι συχνά δυνατό να επιδιορθώσει από κοινού τις πληροφορίες που βρίσκονται τοπικώς-δηλαδή, σε μια γειτονιά του κάθε σημείου-σε αντίστοιχες δηλώσεις που κατέχουν όλο το χώρο, και πολλά είναι αυτού του χαρακτήρα. (el)
- Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist. Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums wie das Intervall . Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen (nicht beschränkt) oder (nicht abgeschlossen). (de)
- En topologio, kompakta spaco estas topologia spaco, sur kiu lokaj strukturoj (difinitaj laŭ iu kovraĵo — fibra fasko, ktp.) povas esti ĉiam konsiderata finie, ĉar la kovraĵo estas ĉiam anstataŭebla per finia subkovraĵo. Tial, kompakta spaco estas iasence “finie malgranda” kaj tial ofte facile traktebla. Sub malfortaj kondiĉoj (nome, aksiomo de Hausdorff) ĉiu kompakta subaro estas fermita subaro. En metrika spaco, ĉiu kompakta subaro estas . (eo)
- In mathematics, specifically general topology, compactness is a property that seeks to generalize the notion of a closed and bounded subset of Euclidean space by making precise the idea of a space having no "punctures" or "missing endpoints", i.e. that the space not exclude any limiting values of points. For example, the open interval (0,1) would not be compact because it excludes the limiting values of 0 and 1, whereas the closed interval [0,1] would be compact. Similarly, the space of rational numbers is not compact, because it has infinitely many "punctures" corresponding to the irrational numbers, and the space of real numbers is not compact either, because it excludes the two limiting values and . However, the extended real number line would be compact, since it contains both infinities. There are many ways to make this heuristic notion precise. These ways usually agree in a metric space, but may not be equivalent in other topological spaces. One such generalization is that a topological space is sequentially compact if every infinite sequence of points sampled from the space has an infinite subsequence that converges to some point of the space. The Bolzano–Weierstrass theorem states that a subset of Euclidean space is compact in this sequential sense if and only if it is closed and bounded. Thus, if one chooses an infinite number of points in the closed unit interval [0, 1], some of those points will get arbitrarily close to some real number in that space. For instance, some of the numbers in the sequence 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... accumulate to 0 (while others accumulate to 1). The same set of points would not accumulate to any point of the open unit interval (0, 1), so the open unit interval is not compact. Although subsets (subspaces) of Euclidean space can be compact, the entire space itself is not compact, since it is not bounded. For example, considering (the real number line), the sequence of points 0, 1, 2, 3, ... has no subsequence that converges to any real number. Compactness was formally introduced by Maurice Fréchet in 1906 to generalize the Bolzano–Weierstrass theorem from spaces of geometrical points to spaces of functions. The Arzelà–Ascoli theorem and the Peano existence theorem exemplify applications of this notion of compactness to classical analysis. Following its initial introduction, various equivalent notions of compactness, including sequential compactness and limit point compactness, were developed in general metric spaces. In general topological spaces, however, these notions of compactness are not necessarily equivalent. The most useful notion — and the standard definition of the unqualified term compactness — is phrased in terms of the existence of finite families of open sets that "cover" the space in the sense that each point of the space lies in some set contained in the family. This more subtle notion, introduced by Pavel Alexandrov and Pavel Urysohn in 1929, exhibits compact spaces as generalizations of finite sets. In spaces that are compact in this sense, it is often possible to patch together information that holds locally — that is, in a neighborhood of each point — into corresponding statements that hold throughout the space, and many theorems are of this character. The term compact set is sometimes used as a synonym for compact space, but also often refers to a of a topological space. (en)
- Topologian, espazio trinko bat bere mugako puntu posible guztiak dituen espazio bat da. (eu)
- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique. Le nom de cette propriété rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème qui porte leur nom établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
- En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La noción de compacidad es una versión más general de esta propiedad. Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto. (es)
- Dalam matematika, khususnya topologi umum, kekompakan (bahasa Inggris: compactness) adalah sifat yang memperumum gagasan subhimpunan dan subhimpunan dari ruang Euklides. Gagasan tersebut dapat menjadi presisi dengan mengatakan tak ada "bulatan kosong" atau "titik akhir yang hilang" di dalam suatu ruang, dalam artian bahwa harus ada nilai limit dari titik di ruang. Sebagai contoh, interval (0,1) bukan kompak sebab interval tersebut tidak punya nilai limit dari 0 dan 1, sedangkan [0,1] kompak sebab mempunyai nilai limit dari 0 dan 1. Dengan cara yang serupa, ruang bilangan rasional bukan kompak sebab ada bulatan kosong yang tak berhingga banyaknya nilai-nilai limit dari bilangan irasional. Ruang bilangan real bukan kompak sebab tidak mempunyai nilai limit dari dan , tetapi adalah kompak sebab mengandung nilai limit dari tak terhingga. (in)
- 数学において、コンパクト（英: compact, /kəmˈpækt/）は位相空間の性質であり、上の有界閉集合が満たす性質を抽象化する事により定義される。なおブルバキでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト（英: quasi-compact）と呼び、準コンパクトでハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいるので注意が必要である。位相空間Xの部分集合Yに対し、YのXにおける閉包がコンパクトであるときYはXで相対コンパクト（英: relatively compact）であるという。 (ja)
- 수학에서 콤팩트 공간(영어: compact space) 또는 옹골 공간은 대략 경계 없이 무한히 뻗어나가지 않는 공간이다. 유클리드 공간의 부분 집합의 경우, 이는 닫힌 유계 집합과 동치이다. (ko)
- In matematica, in particolare in topologia, uno spazio compatto è uno spazio topologico tale che ogni suo ricoprimento aperto contiene un sottoricoprimento finito. In alcuni contesti (ad esempio in geometria algebrica) si preferisce usare il termine spazio quasi compatto per indicare il concetto appena definito e riservare il termine spazio compatto per indicare uno spazio topologico quasi compatto e di Hausdorff. Un insieme contenuto in uno spazio topologico si dice compatto se è uno spazio compatto nella topologia indotta. Un insieme in uno spazio topologico si dice inoltre σ-compatto se è costituito dall'unione numerabile di insiemi compatti. Intuitivamente, i punti di un insieme compatto non possono essere troppo dispersi: per esempio, uno spazio metrico è compatto se e solo se ogni successione di punti possiede una sottosuccessione che converge ad un punto dell'insieme stesso. In generale, ogni sottoinsieme infinito di uno spazio topologico compatto possiede un punto di accumulazione. (it)
- In de algemene- en metrische topologie, deelgebieden binnen de wiskunde, is een compacte ruimte een abstracte wiskundige ruimte, waarin indien men, intuïtief gesproken, een oneindig aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een gesloten- en begrensde deelverzameling (zoals een gesloten interval van een rechthoek) van een Euclidische ruimte is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekendstaat als de stelling van Bolzano-Weierstrass, terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel gelijkmatige stappen in enige gegeven richting kan zetten zonder ooit heel dicht in de buurt te komen van enig ander punt van de ruimte. Typische voorbeelden van compacte ruimten zijn, afgezien van de gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte, ruimten die niet uit punten, maar uit functieruimten bestaan. De aanduiding 'compact' werd in 1906 door Maurice Fréchet in de wiskunde geïntroduceerd als een distillatie van dit concept. Compactheid in deze meer algemene zin speelt een uiterst belangrijke rol in de wiskundige analyse, omdat veel klassieke en belangrijke stellingen uit de 19e-eeuwse analyse, zoals de extreme waardestelling, eenvoudig naar deze situatie veralgemeend kunnen worden. Een typische toepassing wordt gegeven door de stelling van Arzelà-Ascoli en in het bijzonder de existentiestelling van Peano, waarin men in staat is om het bestaan van een functie met enige vereiste eigenschappen te concluderen als een limietgeval van enige meer algemene constructie. Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid zoals sequentiële en limietpunt compactheid, kunnen in de algemene metrische ruimten worden ontwikkeld. In het algemeen zijn in topologische ruimten de verschillende noties van compactheid echter niet noodzakelijkerwijs gelijkwaardig, en de meest bruikbare notie, in 1929 geïntroduceerd door Pavel Aleksandrov en Pavel Urysohn, involveert het bestaan van zekere eindige families van open verzamelingen, die de ruimte in die zin "afdekken" dat elk punt van die ruimte in enige verzameling moet liggen die deel uitmaakt van deze familie. Deze meer subtiele definitie laat compacte ruimten zien als veralgemeningen van eindige verzamelingen. In ruimten, die in deze laatste zin compact zijn, is het vaak mogelijk om informatie samen te voegen, die lokaal van toepassing is. Dat is in een omgeving van elk punt, in corresponderende beweringen die van toepassing zijn door de gehele ruimte, en vele stellingen zijn van deze aard. (nl)
- Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie). Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą. W niektórych źródłach (np. ) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi. (pl)
- Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств. (ru)
- Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, , e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje ( e - 1923). (pt)
- Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття. В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин. В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в . (uk)
- Inom matematiken är kompakthet en egenskap hos topologiska rum och delmängder till topologiska rum. En delmängd av de reella eller komplexa talen, eller en delmängd av ett ändligtdimensionellt inre produktrum över dessa, är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad, enligt Heine–Borels sats, och tas ibland som definitionen av kompakt över dessa rum. I allmännare fall gäller dock inte denna karaktärisering av kompakta mängder. (sv)
- 在数学中，如果欧几里得空间 Rn 的子集是閉集合且是有界的，那么称它是紧致的。例如，在R中，单位区间[0, 1]是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间[0, 1)也不是（它不是闭合的）。 另一個定義方式是如果對於一个度量空間的所有开覆盖，都可以找到有限的子覆盖，則稱此度量空間是紧致的。根據海涅-博雷尔定理，这个定义在欧几里得空间中等价于“閉集且有界”。 注意：某些作者如布尔巴基使用术语“预紧致”，并把“紧致”保留给是豪斯多夫空间并且“预紧致”的拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。 (zh)
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- في الرياضيات، يطلق على مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي اسم فضاء متراص إذا كانت مغلقة ومحدودة. على سبيل المثال في مجموعة الأعداد الحقيقية R تكون المجموعة الجزئية [0, 1] هي مجموعة متراصة ولكن ذات المجموعة في مجموعة الأعداد الصحيحة لا تكون متراصة (لأنها ليست محدودة). بتعريف أكثر حداثة، يطلق على فضاء طوبولوجي اسم فضاء متراص إذا كان كل من أغطيته المفتوحة لها غطاء جزئي منتهي. (ar)
- En topologio, kompakta spaco estas topologia spaco, sur kiu lokaj strukturoj (difinitaj laŭ iu kovraĵo — fibra fasko, ktp.) povas esti ĉiam konsiderata finie, ĉar la kovraĵo estas ĉiam anstataŭebla per finia subkovraĵo. Tial, kompakta spaco estas iasence “finie malgranda” kaj tial ofte facile traktebla. Sub malfortaj kondiĉoj (nome, aksiomo de Hausdorff) ĉiu kompakta subaro estas fermita subaro. En metrika spaco, ĉiu kompakta subaro estas . (eo)
- Topologian, espazio trinko bat bere mugako puntu posible guztiak dituen espazio bat da. (eu)
- En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La noción de compacidad es una versión más general de esta propiedad. Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto. (es)
- 数学において、コンパクト（英: compact, /kəmˈpækt/）は位相空間の性質であり、上の有界閉集合が満たす性質を抽象化する事により定義される。なおブルバキでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト（英: quasi-compact）と呼び、準コンパクトでハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいるので注意が必要である。位相空間Xの部分集合Yに対し、YのXにおける閉包がコンパクトであるときYはXで相対コンパクト（英: relatively compact）であるという。 (ja)
- 수학에서 콤팩트 공간(영어: compact space) 또는 옹골 공간은 대략 경계 없이 무한히 뻗어나가지 않는 공간이다. 유클리드 공간의 부분 집합의 경우, 이는 닫힌 유계 집합과 동치이다. (ko)
- Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie). Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą. W niektórych źródłach (np. ) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi. (pl)
- Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств. (ru)
- Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, , e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje ( e - 1923). (pt)
- Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття. В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин. В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в . (uk)
- Inom matematiken är kompakthet en egenskap hos topologiska rum och delmängder till topologiska rum. En delmängd av de reella eller komplexa talen, eller en delmängd av ett ändligtdimensionellt inre produktrum över dessa, är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad, enligt Heine–Borels sats, och tas ibland som definitionen av kompakt över dessa rum. I allmännare fall gäller dock inte denna karaktärisering av kompakta mängder. (sv)
- 在数学中，如果欧几里得空间 Rn 的子集是閉集合且是有界的，那么称它是紧致的。例如，在R中，单位区间[0, 1]是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间[0, 1)也不是（它不是闭合的）。 另一個定義方式是如果對於一个度量空間的所有开覆盖，都可以找到有限的子覆盖，則稱此度量空間是紧致的。根據海涅-博雷尔定理，这个定义在欧几里得空间中等价于“閉集且有界”。 注意：某些作者如布尔巴基使用术语“预紧致”，并把“紧致”保留给是豪斯多夫空间并且“预紧致”的拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。 (zh)
- En topologia, un subconjunt d'un espai topològic es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot tal que són tots oberts i , hi ha finit tal que . Noti's que, en particular, podria ser . En aquest cas es parla d'un espai compacte. Es verifica llavors que és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça. S'utilitza sovint el terme conjunt compacte com a sinònim d'espai compacte, però sol fer referència també a subespais compactes d'espais topològics. (ca)
- Kompaktní množina, nebo také kompaktní prostor, je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice v topologii zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného objemu. V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina. (cs)
- Στα μαθηματικά, ειδικά στη γενική τοπολογία και στη , ένας συμπαγής χώρος είναι ένας μαθηματικός τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε των σημείων που διαλέξαμε από το χώρο πρέπει τελικά να τον πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο σημείο του χώρου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της πληρότητας, σημειώνεται κατωτέρω, οι οποίες είναι ισοδύναμες σε καλές περιπτώσεις. Η έκδοση που μόλις περιγράφηκε είναι γνωστή ως . Το δίνει μια αντίστοιχη συνθήκη για τη διαδοχική συμπάγεια κατά την εξέταση των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου: ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ένα κλειστό διάστημα ή ένα ορθογώνιο. Έτσι, αν κάποιος επιλέξει έναν άπειρο αριθμό σημείων στο κλειστό ), ορισμένα από αυτά τα σημεία πρέπει να τα πάρουμε αυθαίρετα κοντά (el)
- In mathematics, specifically general topology, compactness is a property that seeks to generalize the notion of a closed and bounded subset of Euclidean space by making precise the idea of a space having no "punctures" or "missing endpoints", i.e. that the space not exclude any limiting values of points. For example, the open interval (0,1) would not be compact because it excludes the limiting values of 0 and 1, whereas the closed interval [0,1] would be compact. Similarly, the space of rational numbers is not compact, because it has infinitely many "punctures" corresponding to the irrational numbers, and the space of real numbers is not compact either, because it excludes the two limiting values and . However, the extended real number line would be compact, since it contains both infin (en)
- Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist. (de)
- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
- Dalam matematika, khususnya topologi umum, kekompakan (bahasa Inggris: compactness) adalah sifat yang memperumum gagasan subhimpunan dan subhimpunan dari ruang Euklides. Gagasan tersebut dapat menjadi presisi dengan mengatakan tak ada "bulatan kosong" atau "titik akhir yang hilang" di dalam suatu ruang, dalam artian bahwa harus ada nilai limit dari titik di ruang. Sebagai contoh, interval (0,1) bukan kompak sebab interval tersebut tidak punya nilai limit dari 0 dan 1, sedangkan [0,1] kompak sebab mempunyai nilai limit dari 0 dan 1. Dengan cara yang serupa, ruang bilangan rasional bukan kompak sebab ada bulatan kosong yang tak berhingga banyaknya nilai-nilai limit dari bilangan irasional. Ruang bilangan real bukan kompak sebab tidak mempunyai nilai limit dari dan , tetapi adalah kompa (in)
- In matematica, in particolare in topologia, uno spazio compatto è uno spazio topologico tale che ogni suo ricoprimento aperto contiene un sottoricoprimento finito. In alcuni contesti (ad esempio in geometria algebrica) si preferisce usare il termine spazio quasi compatto per indicare il concetto appena definito e riservare il termine spazio compatto per indicare uno spazio topologico quasi compatto e di Hausdorff. (it)
- In de algemene- en metrische topologie, deelgebieden binnen de wiskunde, is een compacte ruimte een abstracte wiskundige ruimte, waarin indien men, intuïtief gesproken, een oneindig aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een gesloten- en begrensde deelverzameling (zoals een gesloten interval van een rechthoek) van een Euclidische ruimte is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekendstaat als de stelling van Bolzano-Weierstrass, terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel gelijkmatige stappen in enige gegeven richting kan zetten zonder ooit heel dicht in de buurt te komen (nl)
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