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- في الرياضيات، النقطة الملاصقة أو نقطة من الغالق أو نقطة تجمع هي تعميم لفكرة . نقول عن نقطة x أنها نقطة ملاصقة لمجموعة A في الفضاء الطوبولوجي إذا كانت كل مجموعة مفتوحة تحوي x أيضاً تحوي على الأقل نقطة من المجموعة A. حيث تكون النقطة x هي نقطة ملاصقة للمجموعة A إذا وفقط إذا كانت تنتمي لغالق المجموعة A. (ar)
- Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de . (ca)
- Limitní bod množiny v topologickém prostoru je bod , který lze „aproximovat“ body množiny v tom smyslu, že každé okolí bodu vzhledem k topologii na obsahuje také nějaký jiný bod množiny než samotný . Samotný limitní bod množiny prvkem množiny být nemusí. Limitní body množiny se nesmí zaměňovat s body uzávěru množiny , pro které každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny . Na rozdíl od limitních bodů, tímto bodem množiny může být i samotný bod . Limitní bod lze charakterizovat jako bod uzávěru, který není izolovaným bodem. Limitní body množiny se také nesmí zaměňovat s hraničními body množiny . Například je hraničním bodem množiny v se , ale není jejím limitním bodem. Naopak je limitním bodem intervalu v se standardní topologií, ale není hraničním bodem tohoto intervalu. Méně triviální příklad limitních bodů je ukázán na prvním obrázku. Tento koncept výhodně zobecňuje pojem limity a tvoří základ konceptů, jako je uzavřená množina nebo uzávěr množiny. Množina reálných čísel je uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své limitní body; a na operaci topologického uzávěru lze pohlížet jako na operaci, která doplňuje množinu jejími hromadnými body. Vzhledem k obvyklé eukleidovské topologii nemá posloupnost racionálních čísel žádnou limitu (tj. nekonverguje). Má však dva hromadné body: -1 a +1. Pokud tedy mluvíme o množinách, tyto body jsou limitními body množiny Existuje také blízce příbuzný koncept pro posloupnosti. Hromadný bod posloupnosti v topologickém prostoru je bod takový, že, pro každé okolí bodu existuje nekonečně mnoho přirozených čísel takových, že Tuto definici hromadného bodu lze zobecnit pro a filtry. Pro posloupnosti, sítě a filtry limitní bod není totéž co hromadný bod množiny. Podle definice limitní bod filtru, limitní bod posloupnosti nebo limitní bod sítě je bod, ke kterému konverguje (konvergentní posloupnost, příp. ). (cs)
- Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του σημείου συσσώρευσης είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του της συνάρτησης. (el)
- In mathematics, a limit point, accumulation point, or cluster point of a set in a topological space is a point that can be "approximated" by points of in the sense that every neighbourhood of with respect to the topology on also contains a point of other than itself. A limit point of a set does not itself have to be an element of There is also a closely related concept for sequences. A cluster point or accumulation point of a sequence in a topological space is a point such that, for every neighbourhood of there are infinitely many natural numbers such that This definition of a cluster or accumulation point of a sequence generalizes to nets and filters. The similarly named notion of a limit point of a sequence (respectively, a limit point of a filter, a limit point of a net) by definition refers to a point that the sequence converges to (respectively, the filter converges to, the net converges to). Importantly, although "limit point of a set" is synonymous with "cluster/accumulation point of a set", this is not true for sequences (nor nets or filters). That is, the term "limit point of a sequence" is not synonymous with "cluster/accumulation point of a sequence". The limit points of a set should not be confused with adherent points (also called points of closure) for which every neighbourhood of contains a point of (that is, any point belonging to closure of the set). Unlike for limit points, an adherent point of may be itself. A limit point can be characterized as an adherent point that is not an isolated point. Limit points of a set should also not be confused with boundary points. For example, is a boundary point (but not a limit point) of the set in with standard topology. However, is a limit point (though not a boundary point) of interval in with standard topology (for a less trivial example of a limit point, see the first caption). This concept profitably generalizes the notion of a limit and is the underpinning of concepts such as closed set and topological closure. Indeed, a set is closed if and only if it contains all of its limit points, and the topological closure operation can be thought of as an operation that enriches a set by uniting it with its limit points. (en)
- In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. Ein Häufungspunkt einer Folge (seltener: „Verdichtungspunkt“ oder „Häufungswert“) ist ein Punkt, der Grenzwert einer unendlichen Teilfolge ist. Beide Begriffe sind eng miteinander verwandt. Entsprechende, aber im Detail leicht unterschiedliche Definitionen gibt es in der Topologie.Der Begriff des Häufungspunkts spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik. Eine stärkere Bedingung gilt für einen Kondensationspunkt oder auch -Häufungspunkt (s. u.) einer Menge. (de)
- En topología, el concepto de punto de acumulación (también denominado punto límite o punto de aglomeración ) de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Informalmente hablando, un punto de acumulación de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser aproximado por puntos de S distintos a x tanto como se desee. Este concepto generaliza la noción de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación, y la operación topológica de cerradura puede considerarse como el resultado de agregar a un conjunto todos sus puntos de acumulación. (es)
- En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – pour la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation. (fr)
- Dalam matematika, titik limit dari himpunan dalam suatu ruang topologis adalah suatu titik anggota yang dapat "didekati" dengan titik dari dalam artian bahwa semua persekitaran dari – pada topologi – memuat titik dari yang berbeda dari . Titik limit dari himpunan tidak perlu merupakan anggota himpunan . Titik limit jangan dikelirukan dengan titik batas Konsep ini merampatkan pengertian limit, dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti dan ketertutupan. Suatu himpunan dikatakan tutup jika dan hanya jika himpunan itu memuat semua titik limitnya, dan penutup suatu himpunan dapat dianggap sebagai gabungan himpunan itu dengan titik limitnya (in)
- In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is een ophopingspunt, ook verdichtingspunt of limietpunt, van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) waar in elke omgeving van dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling liggen. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en euclidische ruimten. (nl)
- 일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다. (ko)
- In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia. (it)
- 数学における集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。 任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば最少で一つの集積点を含む必要がある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。 (ja)
- Em matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto. Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho. (pt)
- En gränspunkt till en mängd eller följd är inom topologi en sorts punkt som kan "approximeras" av punkter i mängden eller följden. Det finns olika och delvis motstridiga definitioner av gränspunkt, och det finns också många olika finare distinktioner av begreppet. Låt vara ett icke-tomt topologiskt rum. En punkt är en gränspunkt till en mängd om varje öppen mängd som innehåller punkten, också har minst en punkt, , gemensam med mängden . Ibland används även termen hopningspunkt för dessa punkter, men den termen ges oftast en annan innebörd. En gränspunkt till en mängd är en omega-ackumuleringspunkt till mängden om varje öppen mängd som innehåller punkten , också har ett uppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden . En gränspunkt till en mängd är en kondensationspunkt till mängden om varje öppen mängd som innehåller punkten , också har ett överuppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden . En punkt är en gränspunkt till en följd av termer om varje öppen mängd som innehåller punkten , också innehåller nästan alla termer i följden, med undantag av ändligt många. En punkt kallas ofta en hopningspunkt och ibland en ackumuleringspunkt till en följd av termer om varje öppen mängd som innehåller punkten , också innehåller ett uppräkneligt oändligt antal termer ur följden. (sv)
- Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru przestrzeni topologicznej T1 taki punkt dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty. Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru. (pl)
- Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. (ru)
- 极限点（英語：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。 这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。 (zh)
- Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини. (uk)
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- في الرياضيات، النقطة الملاصقة أو نقطة من الغالق أو نقطة تجمع هي تعميم لفكرة . نقول عن نقطة x أنها نقطة ملاصقة لمجموعة A في الفضاء الطوبولوجي إذا كانت كل مجموعة مفتوحة تحوي x أيضاً تحوي على الأقل نقطة من المجموعة A. حيث تكون النقطة x هي نقطة ملاصقة للمجموعة A إذا وفقط إذا كانت تنتمي لغالق المجموعة A. (ar)
- Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de . (ca)
- Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του σημείου συσσώρευσης είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του της συνάρτησης. (el)
- In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. Ein Häufungspunkt einer Folge (seltener: „Verdichtungspunkt“ oder „Häufungswert“) ist ein Punkt, der Grenzwert einer unendlichen Teilfolge ist. Beide Begriffe sind eng miteinander verwandt. Entsprechende, aber im Detail leicht unterschiedliche Definitionen gibt es in der Topologie.Der Begriff des Häufungspunkts spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik. Eine stärkere Bedingung gilt für einen Kondensationspunkt oder auch -Häufungspunkt (s. u.) einer Menge. (de)
- En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – pour la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation. (fr)
- In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is een ophopingspunt, ook verdichtingspunt of limietpunt, van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) waar in elke omgeving van dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling liggen. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en euclidische ruimten. (nl)
- 일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다. (ko)
- In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia. (it)
- 数学における集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。 任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば最少で一つの集積点を含む必要がある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。 (ja)
- Em matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto. Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho. (pt)
- Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru przestrzeni topologicznej T1 taki punkt dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty. Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru. (pl)
- Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. (ru)
- 极限点（英語：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。 这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。 (zh)
- Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини. (uk)
- Limitní bod množiny v topologickém prostoru je bod , který lze „aproximovat“ body množiny v tom smyslu, že každé okolí bodu vzhledem k topologii na obsahuje také nějaký jiný bod množiny než samotný . Samotný limitní bod množiny prvkem množiny být nemusí. Limitní body množiny se nesmí zaměňovat s body uzávěru množiny , pro které každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny . Na rozdíl od limitních bodů, tímto bodem množiny může být i samotný bod . Limitní bod lze charakterizovat jako bod uzávěru, který není izolovaným bodem. (cs)
- In mathematics, a limit point, accumulation point, or cluster point of a set in a topological space is a point that can be "approximated" by points of in the sense that every neighbourhood of with respect to the topology on also contains a point of other than itself. A limit point of a set does not itself have to be an element of There is also a closely related concept for sequences. A cluster point or accumulation point of a sequence in a topological space is a point such that, for every neighbourhood of there are infinitely many natural numbers such that This definition of a cluster or accumulation point of a sequence generalizes to nets and filters. (en)
- En topología, el concepto de punto de acumulación (también denominado punto límite o punto de aglomeración ) de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Informalmente hablando, un punto de acumulación de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser aproximado por puntos de S distintos a x tanto como se desee. (es)
- Dalam matematika, titik limit dari himpunan dalam suatu ruang topologis adalah suatu titik anggota yang dapat "didekati" dengan titik dari dalam artian bahwa semua persekitaran dari – pada topologi – memuat titik dari yang berbeda dari . Titik limit dari himpunan tidak perlu merupakan anggota himpunan . Titik limit jangan dikelirukan dengan titik batas (in)
- En gränspunkt till en mängd eller följd är inom topologi en sorts punkt som kan "approximeras" av punkter i mängden eller följden. Det finns olika och delvis motstridiga definitioner av gränspunkt, och det finns också många olika finare distinktioner av begreppet. Låt vara ett icke-tomt topologiskt rum. En punkt är en gränspunkt till en mängd om varje öppen mängd som innehåller punkten, också har minst en punkt, , gemensam med mängden . Ibland används även termen hopningspunkt för dessa punkter, men den termen ges oftast en annan innebörd. (sv)
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