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- A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:
* En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
* Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
* Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach. (ca)
- Normovaný lineární prostor nebo normovaný vektorový prostor je v matematice takový lineární prostor, ve kterém je každému vektoru x přiřazeno reálné číslo – norma – vyjadřující délku vektoru x, t. j. na daném lineárním prostoru je definováno zobrazení . Pro normu vektoru x, označovanou , musí platit následující 3 vlastnosti: 1.
* 2.
* 3.
* Často je výhodné definovat normu pomocí skalárního součinu. V případě, že je na lineárním prostoru definována norma shodná s normou definovanou pomocí skalárního součinu, nazývá se daný lineární prostor prostorem unitárním. Pokud je metrický prostor odpovídající danému normovanému lineárnímu prostoru úplný, nazývá se daný normovaný lineární prostor jako Banachův prostor. Pokud je úplný metrický prostor odpovídající danému unitárním prostoru, nazývá se daný unitární prostor jako Hilbertův prostor. (cs)
- الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء اتجاهي عُرفت عليه دالة المعيار. كل فضاء معياري هو فضاء متري ولكن العكس قد لا يتحقق. (ar)
- Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist. Jeder normierte Raum ist mit der durch die Norm induzierten Metrik ein metrischer Raum und mit der durch diese Metrik induzierten Topologie ein topologischer Raum. Ist ein normierter Raum vollständig, so nennt man ihn einen vollständigen normierten Raum oder Banachraum. Ein normierter Raum kann von einem Prähilbertraum über die Skalarproduktnorm oder von einem Vektorraum mit Halbnorm als Faktorraum abgeleitet werden. Normierte Räume sind ein zentrales Studienobjekt der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur partieller Differentialgleichungen und Integralgleichungen. (de)
- En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:
* En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.
* Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
* Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach. (es)
- In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers, on which a norm is defined. A norm is the formalization and the generalization to real vector spaces of the intuitive notion of "length" in the real (physical) world. A norm is a real-valued function defined on the vector space that is commonly denoted and has the following properties: 1.
* It is nonnegative, meaning that for every vector 2.
* It is positive on nonzero vectors, that is, 3.
* For every vector and every scalar 4.
* The triangle inequality holds; that is, for every vectors and A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, which is a major subfield of mathematics. (en)
- Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp. (fr)
- Dalam matematika, ruang vektor bernorma atau ruang bernorma adalah ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan. Norma adalah formalisasi dan generalisasi ke ruang vektor riil dari pengertian intuitif "panjang". Norma adalah yang ditentukan pada ruang vektor yang biasanya dilambangkan dengan dan memiliki sifat berikut: 1.
* Itu tidak negatif, yaitu untuk setiap vektor x, satu memiliki 2.
* Ini positif pada vektor bukan nol, yaitu, 3.
* Untuk setiap vektor x, dan setiap skalar 4.
* berlaku; yaitu, untuk setiap vektor x dan y, satu memiliki Sebuah norma menginduksi sebuah jarak dengan rumus yang membuat ruang vektor bernorma menjadi ruang metrik dan ruang vektor topologis. Jika metrik ini adalah maka ruang normed disebut Ruang Banach . Setiap ruang vektor bernorma dapat "diperluas secara unik" ke ruang Banach, yang membuat ruang bernorma terkait erat dengan ruang Banach. Setiap ruang Banach adalah ruang bernorma tetapi sebaliknya tidak harus benar. Contoh: Satu himpunan urutan berbatas. Studi tentang ruang bernorma dan ruang Banach merupakan bagian fundamental dari analisis fungsional, yang merupakan subbidang utama matematika. Sebuah menjadi ruang bernorma jika norma sebuah vektor adalah akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor itu sendiri. Jarak Euklides dalam ruang Euklides terkait dengan norma ruang vektor terkait (yang merupakan ruang hasil kali dalam) dengan rumus (in)
- ( 노름은 여기로 연결됩니다. 도박에 대해서는 도박 문서를 참고하십시오.) 선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm 놈[*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다. 노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생각하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다. 삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. (ko)
- 数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、英: normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。 各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 Rn に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ:
* 零ベクトル 0 は大きさ零、そのほかのベクトルは正の大きさを持つ。
* ベクトルを正数倍すると、向きはそのままに大きさだけが変化する。
* 三角不等式を満足する。つまり、ベクトルの大きさを距離と見て、点 A から点 B を経由しての点 C まで行くときの距離は直接 A から C まで行く距離よりも短くなることはない（任意の二点間の最短距離は直線距離である）。 これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間（および）は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。 (ja)
- Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna. Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej. (pl)
- In matematica, uno spazio vettoriale normato, o più semplicemente spazio normato, è uno spazio vettoriale in cui ogni vettore ha definita una lunghezza, cioè una norma. (it)
- Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional . Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica. O conceito foi proposto por Stefan Banach, Hans Hahn e Norbert Wiener, de maneira independente, em 1922. (pt)
- Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа. Более точно: нормированным пространством называется пара из векторного пространства над полем действительных или комплексных чисел и отображения таких, что выполняются следующие свойства для любых и скаляра :
* (положительная определённость)
* (однородность)
* (неравенство треугольника) Норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве, таким образом, нормированные пространства — векторные пространства, оснащённые возможностью определения длины вектора. Полунормированным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — полунорма в . (ru)
- Normerat rum är ett matematiskt begrepp inom linjär algebra och topologi. Ett normerat rum är inom matematiken ett vektorrum på vilket det finns definierat en norm. Varje normerat rum är även ett metriskt rum, däremot är omvändningen inte sann, det finns metriska vektorrum vars metrik inte ges av en norm. Ett seminormerat rum är ett vektorrum med en definierad seminorm. Likartat är alla inre produktrum normerade rum, men alla normerade rum är inte inre produktrum. Dock, om normen uppfyller parallellogramlagen så kan man definiera en inre produkt via polarisationsidentiteten och göra det normerade rummet till ett inre produktrum. (sv)
- Векторний простір називається нормованим, якщо кожному елементу цього простору поставлено у відповідність дійсне число, яке позначається ||х|| і виконуються властивості: 1.
* (невід'ємність) 2.
* (однорідність) 3.
* (нерівність трикутника) Тоді це число називається нормою вектора. (uk)
- 在数学中，赋范向量空间（英語：Normed vector space）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 1.
* 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 2.
* 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。 3.
* 三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。 一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间，拥有半范数的叫做半赋范向量空间。 (zh)
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- A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:
* En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
* Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
* Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach. (ca)
- الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء اتجاهي عُرفت عليه دالة المعيار. كل فضاء معياري هو فضاء متري ولكن العكس قد لا يتحقق. (ar)
- En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:
* En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.
* Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
* Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach. (es)
- Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp. (fr)
- ( 노름은 여기로 연결됩니다. 도박에 대해서는 도박 문서를 참고하십시오.) 선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm 놈[*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다. 노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생각하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다. 삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. (ko)
- 数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、英: normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。 各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 Rn に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ:
* 零ベクトル 0 は大きさ零、そのほかのベクトルは正の大きさを持つ。
* ベクトルを正数倍すると、向きはそのままに大きさだけが変化する。
* 三角不等式を満足する。つまり、ベクトルの大きさを距離と見て、点 A から点 B を経由しての点 C まで行くときの距離は直接 A から C まで行く距離よりも短くなることはない（任意の二点間の最短距離は直線距離である）。 これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間（および）は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。 (ja)
- In matematica, uno spazio vettoriale normato, o più semplicemente spazio normato, è uno spazio vettoriale in cui ogni vettore ha definita una lunghezza, cioè una norma. (it)
- Векторний простір називається нормованим, якщо кожному елементу цього простору поставлено у відповідність дійсне число, яке позначається ||х|| і виконуються властивості: 1.
* (невід'ємність) 2.
* (однорідність) 3.
* (нерівність трикутника) Тоді це число називається нормою вектора. (uk)
- 在数学中，赋范向量空间（英語：Normed vector space）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 1.
* 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 2.
* 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。 3.
* 三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。 一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间，拥有半范数的叫做半赋范向量空间。 (zh)
- Normovaný lineární prostor nebo normovaný vektorový prostor je v matematice takový lineární prostor, ve kterém je každému vektoru x přiřazeno reálné číslo – norma – vyjadřující délku vektoru x, t. j. na daném lineárním prostoru je definováno zobrazení . Pro normu vektoru x, označovanou , musí platit následující 3 vlastnosti: 1.
* 2.
* 3.
* (cs)
- Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist. Jeder normierte Raum ist mit der durch die Norm induzierten Metrik ein metrischer Raum und mit der durch diese Metrik induzierten Topologie ein topologischer Raum. Ist ein normierter Raum vollständig, so nennt man ihn einen vollständigen normierten Raum oder Banachraum. Ein normierter Raum kann von einem Prähilbertraum über die Skalarproduktnorm oder von einem Vektorraum mit Halbnorm als Faktorraum abgeleitet werden. (de)
- In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers, on which a norm is defined. A norm is the formalization and the generalization to real vector spaces of the intuitive notion of "length" in the real (physical) world. A norm is a real-valued function defined on the vector space that is commonly denoted and has the following properties: A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula (en)
- Dalam matematika, ruang vektor bernorma atau ruang bernorma adalah ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan. Norma adalah formalisasi dan generalisasi ke ruang vektor riil dari pengertian intuitif "panjang". Norma adalah yang ditentukan pada ruang vektor yang biasanya dilambangkan dengan dan memiliki sifat berikut: 1.
* Itu tidak negatif, yaitu untuk setiap vektor x, satu memiliki 2.
* Ini positif pada vektor bukan nol, yaitu, 3.
* Untuk setiap vektor x, dan setiap skalar 4.
* berlaku; yaitu, untuk setiap vektor x dan y, satu memiliki (in)
- Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej. (pl)
- Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional . Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica. (pt)
- Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа. Более точно: нормированным пространством называется пара из векторного пространства над полем действительных или комплексных чисел и отображения таких, что выполняются следующие свойства для любых и скаляра :
* (положительная определённость)
* (однородность)
* (неравенство треугольника) Полунормированным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — полунорма в . (ru)
- Normerat rum är ett matematiskt begrepp inom linjär algebra och topologi. Ett normerat rum är inom matematiken ett vektorrum på vilket det finns definierat en norm. Varje normerat rum är även ett metriskt rum, däremot är omvändningen inte sann, det finns metriska vektorrum vars metrik inte ges av en norm. Ett seminormerat rum är ett vektorrum med en definierad seminorm. (sv)
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