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- En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov. Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c : X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la , que existeix per a qualsevol , una classe molt més àmplia d'espais. (ca)
- Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung ist nach dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er und Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, dass sich die aus der Funktionentheorie stammende Konstruktion der riemannschen Zahlenkugel zu dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt. Sie ist für lokalkompakte Hausdorff-Räume bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt. (de)
- In the mathematical field of topology, the Alexandroff extension is a way to extend a noncompact topological space by adjoining a single point in such a way that the resulting space is compact. It is named after the Russian mathematician Pavel Alexandroff.More precisely, let X be a topological space. Then the Alexandroff extension of X is a certain compact space X* together with an open embedding c : X → X* such that the complement of X in X* consists of a single point, typically denoted ∞. The map c is a Hausdorff compactification if and only if X is a locally compact, noncompact Hausdorff space. For such spaces the Alexandroff extension is called the one-point compactification or Alexandroff compactification. The advantages of the Alexandroff compactification lie in its simple, often geometrically meaningful structure and the fact that it is in a precise sense minimal among all compactifications; the disadvantage lies in the fact that it only gives a Hausdorff compactification on the class of locally compact, noncompact Hausdorff spaces, unlike the Stone–Čech compactification which exists for any topological space (but provides an embedding exactly for Tychonoff spaces). (en)
- En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, le compactifié d'Alexandrov (parfois écrit compactifié d'Alexandroff) est un objet introduit par le mathématicien Pavel Aleksandrov. Sa construction, appelée compactification d'Alexandrov, généralise celle de la sphère de Riemann à des espaces localement compacts quelconques auxquels elle revient à ajouter un « point à l'infini ». (fr)
- 数学の一分野位相空間論におけるアレクサンドロフ拡大（アレクサンドロフかくだい、英: Alexandroff extension）は、一点を追加することにより非コンパクト位相空間を拡大してコンパクト空間を得る方法である。名称はロシア人数学者パヴェル・アレクサンドロフに因む。 より精確に、位相空間 X に対し、X のアレクサンドロフ拡大とは、適当なコンパクト空間 X* と開埋め込み c: X → X* の組で、埋め込まれた X の X* における補集合が一点（それをふつう ∞ と書く）となるようなものを言う。埋め込み写像 c がとなるための必要十分条件は、X がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間であることである。そのような空間に対するアレクサンドロフ拡大は一点コンパクト化（いってんコンパクトか、英: one-point compactification）あるいはアレクサンドロフコンパクト化 (Alexandroff compactification) と呼ぶ。アレクサンドロフコンパクト化を考えることの優位な点は、それが単純な操作であること、大抵幾何学的に意味のある構造となること、および任意のコンパクト化の中で極小であるという事実にある。不利な点は、それがハウスドルフコンパクト化を与えるのがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間のクラスに限られることであり、この点は任意の位相空間というより広範なクラスにおいて存在するとは異なる特徴ということになる。 (ja)
- 일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다. (ko)
- La compattificazione di Alexandrov o Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con ). Deve il suo nome al matematico sovietico Pavel Sergeevič Aleksandrov. Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza ; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio è la sfera . La compattificazione di Alexandroff di uno spazio è, in un certo senso, la più piccola estensione di che è anche compatta; più precisamente, se è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di . Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di . (it)
- Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори на компактні. 1924 року Павло Сергійович Александров довів теорему, що локально компактний простір може бути доповнений єдиною («нескінченно віддаленою») точкою до компактного простору. (uk)
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- Aleksandrov compactification (en)
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- Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung ist nach dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er und Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, dass sich die aus der Funktionentheorie stammende Konstruktion der riemannschen Zahlenkugel zu dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt. Sie ist für lokalkompakte Hausdorff-Räume bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt. (de)
- En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, le compactifié d'Alexandrov (parfois écrit compactifié d'Alexandroff) est un objet introduit par le mathématicien Pavel Aleksandrov. Sa construction, appelée compactification d'Alexandrov, généralise celle de la sphère de Riemann à des espaces localement compacts quelconques auxquels elle revient à ajouter un « point à l'infini ». (fr)
- 数学の一分野位相空間論におけるアレクサンドロフ拡大（アレクサンドロフかくだい、英: Alexandroff extension）は、一点を追加することにより非コンパクト位相空間を拡大してコンパクト空間を得る方法である。名称はロシア人数学者パヴェル・アレクサンドロフに因む。 より精確に、位相空間 X に対し、X のアレクサンドロフ拡大とは、適当なコンパクト空間 X* と開埋め込み c: X → X* の組で、埋め込まれた X の X* における補集合が一点（それをふつう ∞ と書く）となるようなものを言う。埋め込み写像 c がとなるための必要十分条件は、X がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間であることである。そのような空間に対するアレクサンドロフ拡大は一点コンパクト化（いってんコンパクトか、英: one-point compactification）あるいはアレクサンドロフコンパクト化 (Alexandroff compactification) と呼ぶ。アレクサンドロフコンパクト化を考えることの優位な点は、それが単純な操作であること、大抵幾何学的に意味のある構造となること、および任意のコンパクト化の中で極小であるという事実にある。不利な点は、それがハウスドルフコンパクト化を与えるのがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間のクラスに限られることであり、この点は任意の位相空間というより広範なクラスにおいて存在するとは異なる特徴ということになる。 (ja)
- 일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다. (ko)
- Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори на компактні. 1924 року Павло Сергійович Александров довів теорему, що локально компактний простір може бути доповнений єдиною («нескінченно віддаленою») точкою до компактного простору. (uk)
- En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov. (ca)
- In the mathematical field of topology, the Alexandroff extension is a way to extend a noncompact topological space by adjoining a single point in such a way that the resulting space is compact. It is named after the Russian mathematician Pavel Alexandroff.More precisely, let X be a topological space. Then the Alexandroff extension of X is a certain compact space X* together with an open embedding c : X → X* such that the complement of X in X* consists of a single point, typically denoted ∞. The map c is a Hausdorff compactification if and only if X is a locally compact, noncompact Hausdorff space. For such spaces the Alexandroff extension is called the one-point compactification or Alexandroff compactification. The advantages of the Alexandroff compactification lie in its simple, often geo (en)
- La compattificazione di Alexandrov o Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con ). Deve il suo nome al matematico sovietico Pavel Sergeevič Aleksandrov. (it)
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- Extensió d'Alexandroff (ca)
- Alexandroff-Kompaktifizierung (de)
- Alexandroff extension (en)
- Compactifié d'Alexandrov (fr)
- Compattificazione di Alexandrov (it)
- 알렉산드로프 콤팩트화 (ko)
- アレクサンドロフ拡大 (ja)
- Одноточкова компактифікація (uk)
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