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- في الرياضيات والفيزياء، بُعد (بالإنجليزية: Dimension) جمعها أبعاد وهو عدد درجات الحرية الممكنة للحركة ضمن فضاء ما، فإذا كنا نتحرك ضمن مستوى فنحن فعليا محدودون بالتحرك ضمن اتجاهين متعامدين أي أن المستوى ثنائي البعد أما في فضاء ثلاثي الأبعاد فتكون لدينا ثلاثة اتجاهات متاحة للحركة. وتسمى كذلك المعلم وهو المرجح المستعمل لدراسة حركة جسم معين كان نقطي أو محدد بنقطة m تعتبر مركز القصور. وتعتمد النسبية على مبدا اختلاف النتائج المحصل عليها لحدث معين من خلال دراسة حركته في معالم مختلفة. (ar)
- Vektorový prostor je poněkud abstraktní pojem, který může být realizován prostřednictvím nejrůznějších matematických objektů. Abychom lépe pochopili strukturu každého takového vektorového prostoru a jejich vzájemné vztahy, je užitečné si zavést pojem dimenze vektorového prostoru (krátce jen dimenze neboli rozměr, angl. dimension). Zjednodušeně řečeno, dimenze označuje počet parametrů, kterými jsme schopni každý vektor daného vektorového prostoru jednoznačně popsat. Pokud například máme vektorový prostor všech uspořádaných dvojic čísel, tak nám k jednoznačnému popisu konkrétní dvojice stačí uvést její dvě složky. Neboli pro identifikaci každého prvku prostoru všech uspořádaných dvojic čísel máme dva parametry a dimenze tohoto prostoru je tedy dva. Podobně, dimenze prostoru všech uspořádaných trojic je tři atd. Ačkoli je v tomto příkladě určení počtu nutných parametrů snadné, nemusí tomu tak být v případě jiných vektorových prostorů. (cs)
- En matemàtiques, la dimensió d'un espai vectorial és el cardinal (és a dir el nombre de vectors) de tota base d' (és a dir tot conjunt de vectors tal que qualsevol vector de l'espai es pot expressar de forma única com la suma dels vectors de la base multiplicats cada un per una constant diferent). De vegades s'anomena la dimensió d'Hamel o la dimensió algebraica per distingir-la d'altres tipus de dimensió. Totes les bases d'un espai vectorial tenen el mateix cardinal (veure teorema de la dimensió per espais vectorials), i per tant la dimensió d'un espai vectorial queda definida de manera unívoca. La dimensió d'un espai vectorial sobre un cos es pot escriure com o . (i es llegeix «dimensió d' sobre ».) Alguns noten aquesta dimensió . Es diu que és de dimensió finita si el cardinal de la base és finit (és a dir, si té un nombre finit d'elements). (ca)
- In mathematics, the dimension of a vector space V is the cardinality (i.e., the number of vectors) of a basis of V over its base field. It is sometimes called Hamel dimension (after Georg Hamel) or algebraic dimension to distinguish it from other types of dimension. For every vector space there exists a basis, and all bases of a vector space have equal cardinality; as a result, the dimension of a vector space is uniquely defined. We say is finite-dimensional if the dimension of is finite, and infinite-dimensional if its dimension is infinite. The dimension of the vector space over the field can be written as or as read "dimension of over ". When can be inferred from context, is typically written. (en)
- La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial. (es)
- En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E. Cette définition repose d'une part sur l'existence de bases, corollaire du théorème de la base incomplète, et d'autre part sur le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels, qui assure que deux bases d'un même espace ont même cardinal. Cette dimension porte parfois le nom du mathématicien allemand Georg Hamel. À isomorphisme près, les K-espaces vectoriels sont classifiés par leurs dimensions. Une terminologie est spécifique aux espaces de petite dimension :
* Espace nul : désigne un espace E de dimension 0. Il admet comme unique élément son vecteur nul. La famille vide est une famille libre maximale ; c'est l'unique base de E ;
* Droite vectorielle ou droite : désigne un espace vectoriel E de dimension 1. Tout vecteur non nul de E forme une base de E ;
* Plan vectoriel ou plan : désigne un espace vectoriel E de dimension 2. Tout couple (u,v) de vecteurs non colinéaires de E forme une base de E. (fr)
- 数学における、ベクトル空間の次元（じげん、英: dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは [V : F] で表す（文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く）。 ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。 (ja)
- De dimensie van een vectorruimte is het aantal vectoren waaruit de basis van die vectorruimte is opgebouwd. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Een minimaal voortbrengend deel of een maximaal vrij deel vormt steeds een basis. De dimensie van een vectorruimte over een (grond)lichaam wordt ook wel geschreven als of als Een vectorruimte met een eindig stel voortbrengende vectoren heet eindigdimensionaal. Anders heet oneindig-dimensionaal. De dimensie van een affiene ruimte is dezelfde als die van de bijbehorende vectorruimte. (nl)
- In matematica, la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base. Se tale cardinalità è finita, la dimensione coincide con il numero di vettori che compongono la base considerata. È talvolta chiamata dimensione di Hamel o dimensione algebrica, per distinguerla da altri tipi di dimensione. Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, come stabilisce il teorema della dimensione per spazi vettoriali, e dunque la dimensione di uno spazio vettoriale è univocamente definita. La dimensione di uno spazio vettoriale sul campo è indicata con . Si dice che è finito-dimensionale o infinito-dimensionale se la dimensione di è rispettivamente finita o infinita. (it)
- Em matemática, a dimensão de um espaço vetorial V é a cardinalidade (ou seja, o número de vetores) de uma base de V sobre o seu corpo de escalares. Às vezes ela é chamada de dimensão de Hamel (de Georg Hamel) ou de dimensão algébrica para distingui-la de outros tipos de dimensão. Todo espaço vetorial tem uma base, e todas as bases de um espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; consequentemente, a dimensão de um espaço vetorial é definida unicamente. Diz-se que V tem dimensão finita se a dimensão de V é finita se ele tem dimensão infinita se a sua dimensão é infinita. A dimensão do espaço vetorial V sobre o corpo F pode ser denotada por dimF(V) ou por [V : F], que se lê "dimensão de V sobre F". Quando F pode ser deduzido a partir do contexto, geralmente se escreve apenas dim(V). (pt)
- Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам. (ru)
- Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів. (uk)
- 数学中, 向量空间 V 的维数是 V 的基底的势，即基底中向量的个数。向量空间的维数有时也称作哈梅尔维数（Hamel basis）或代数维数以便与其他类型的维数相区别。 向量空间中的所有基底具有相等的势（参阅）。所以向量空间的维数是唯一并确定的. 若F为域， F上的向量空间 V 的维数可记为 dimF(V) 或 [V : F], 读作 " V 在 F 上的维数"。 当上下文中给出明确的F 时, 通常记为 dim(V) . (zh)
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- في الرياضيات والفيزياء، بُعد (بالإنجليزية: Dimension) جمعها أبعاد وهو عدد درجات الحرية الممكنة للحركة ضمن فضاء ما، فإذا كنا نتحرك ضمن مستوى فنحن فعليا محدودون بالتحرك ضمن اتجاهين متعامدين أي أن المستوى ثنائي البعد أما في فضاء ثلاثي الأبعاد فتكون لدينا ثلاثة اتجاهات متاحة للحركة. وتسمى كذلك المعلم وهو المرجح المستعمل لدراسة حركة جسم معين كان نقطي أو محدد بنقطة m تعتبر مركز القصور. وتعتمد النسبية على مبدا اختلاف النتائج المحصل عليها لحدث معين من خلال دراسة حركته في معالم مختلفة. (ar)
- La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial. (es)
- 数学における、ベクトル空間の次元（じげん、英: dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは [V : F] で表す（文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く）。 ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。 (ja)
- In matematica, la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base. Se tale cardinalità è finita, la dimensione coincide con il numero di vettori che compongono la base considerata. È talvolta chiamata dimensione di Hamel o dimensione algebrica, per distinguerla da altri tipi di dimensione. Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, come stabilisce il teorema della dimensione per spazi vettoriali, e dunque la dimensione di uno spazio vettoriale è univocamente definita. La dimensione di uno spazio vettoriale sul campo è indicata con . Si dice che è finito-dimensionale o infinito-dimensionale se la dimensione di è rispettivamente finita o infinita. (it)
- Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам. (ru)
- Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів. (uk)
- 数学中, 向量空间 V 的维数是 V 的基底的势，即基底中向量的个数。向量空间的维数有时也称作哈梅尔维数（Hamel basis）或代数维数以便与其他类型的维数相区别。 向量空间中的所有基底具有相等的势（参阅）。所以向量空间的维数是唯一并确定的. 若F为域， F上的向量空间 V 的维数可记为 dimF(V) 或 [V : F], 读作 " V 在 F 上的维数"。 当上下文中给出明确的F 时, 通常记为 dim(V) . (zh)
- En matemàtiques, la dimensió d'un espai vectorial és el cardinal (és a dir el nombre de vectors) de tota base d' (és a dir tot conjunt de vectors tal que qualsevol vector de l'espai es pot expressar de forma única com la suma dels vectors de la base multiplicats cada un per una constant diferent). De vegades s'anomena la dimensió d'Hamel o la dimensió algebraica per distingir-la d'altres tipus de dimensió. Es diu que és de dimensió finita si el cardinal de la base és finit (és a dir, si té un nombre finit d'elements). (ca)
- Vektorový prostor je poněkud abstraktní pojem, který může být realizován prostřednictvím nejrůznějších matematických objektů. Abychom lépe pochopili strukturu každého takového vektorového prostoru a jejich vzájemné vztahy, je užitečné si zavést pojem dimenze vektorového prostoru (krátce jen dimenze neboli rozměr, angl. dimension). Zjednodušeně řečeno, dimenze označuje počet parametrů, kterými jsme schopni každý vektor daného vektorového prostoru jednoznačně popsat. Pokud například máme vektorový prostor všech uspořádaných dvojic čísel, tak nám k jednoznačnému popisu konkrétní dvojice stačí uvést její dvě složky. Neboli pro identifikaci každého prvku prostoru všech uspořádaných dvojic čísel máme dva parametry a dimenze tohoto prostoru je tedy dva. Podobně, dimenze prostoru všech uspořádanýc (cs)
- In mathematics, the dimension of a vector space V is the cardinality (i.e., the number of vectors) of a basis of V over its base field. It is sometimes called Hamel dimension (after Georg Hamel) or algebraic dimension to distinguish it from other types of dimension. For every vector space there exists a basis, and all bases of a vector space have equal cardinality; as a result, the dimension of a vector space is uniquely defined. We say is finite-dimensional if the dimension of is finite, and infinite-dimensional if its dimension is infinite. (en)
- En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E. (fr)
- De dimensie van een vectorruimte is het aantal vectoren waaruit de basis van die vectorruimte is opgebouwd. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Een minimaal voortbrengend deel of een maximaal vrij deel vormt steeds een basis. De dimensie van een vectorruimte over een (grond)lichaam wordt ook wel geschreven als of als Een vectorruimte met een eindig stel voortbrengende vectoren heet eindigdimensionaal. Anders heet oneindig-dimensionaal. (nl)
- Em matemática, a dimensão de um espaço vetorial V é a cardinalidade (ou seja, o número de vetores) de uma base de V sobre o seu corpo de escalares. Às vezes ela é chamada de dimensão de Hamel (de Georg Hamel) ou de dimensão algébrica para distingui-la de outros tipos de dimensão. Todo espaço vetorial tem uma base, e todas as bases de um espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; consequentemente, a dimensão de um espaço vetorial é definida unicamente. Diz-se que V tem dimensão finita se a dimensão de V é finita se ele tem dimensão infinita se a sua dimensão é infinita. (pt)
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