| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, una extensió separable d'un cos K és un cos L que conté a K i que pot ser generat adjuntant a K un conjunt d'elements α, tals que són arrels de polinomis separables sobre K. En aquest cas, qualsevol element β de L té associat un polinomi mínim que és separable sobre K. La condició de separabilitat és important en la teoria de Galois, ja que és necessària perquè una extensió sigui considerada extensió de Galois. Un cos perfecte és aquell en què totes les seves extensions finites són separables. Existeix un criteri simple per a veure si un cos és perfecte: un cos F és perfecte si i només si
* F té característica 0, o
* F té característica no nul·la p, i tot element de F és una arrel p-èsima d'un element de F. La segona condició equival a dir que el de F, , és un automorfisme. En particular, tot cos de característica 0 i tot cos finit és perfecte. Aquest fet implica que la separabilitat pot ser suposada en un gran nombre de contexts. Els efectes de la inseparabilitat (i.e. cossos de característica p infinits) poden ser vistos en el teorema de l'element primitiu, i en els . Donada una extensió finita de cossos L/K, existeix un subcos M de L que conté K tal que L és una extensió separable de M. Quan L = M l'extensió L/K rep el nom d'extensió inseparable pura. Les extensions inseparables pures apareixen en situacions força naturals, per exemple en geometria algebraica en característica p. Si K és un cos de característica p, i V una varietat algebraica sobre K de dimensió no nul·la, si considerem el K(V) i el seu subcos K(V)p de potències pèssimes. Aquesta és sempre una extensió inseparable pura. Aquestes extensions apareixen quan un estudia la multiplicació per p sobre una corba el·líptica sobre un cos de característica p. En el context de cossos no perfectes, s'introdueix el concepte de clausura separable Ksep dintre de la , la qual és la major extensió separable possible de K. Aleshores la teoria de Galois és vàlida dintre de Ksep. (ca)
- En matemáticas, una extensión separable de un cuerpo K es un cuerpo L que contiene a K y que puede ser generado adjuntando a K un conjunto de elementos α, tales que son raíces de polinomios separables sobre K. En dicho caso, cualquier elemento β de L tiene asociado un polinomio mínimo que es separable sobre K. La condición de separabilidad es importante en la teoría de Galois. Un cuerpo perfecto es aquel en que todas sus extensiones algebraicas son separables. Existe un criterio simple para ver si un cuerpo es perfecto: un cuerpo F es perfecto si y sólo si
* F tiene característica 0, o
* F tiene característica no nula p, y todo elemento de F es una raíz p-ésima de un elemento de F. La segunda condición equivale a decir que el morfismo de Frobenius de F, , es un automorfismo. En particular, todo cuerpo de característica 0 y todo cuerpo finito es perfecto. Este hecho implica que la separabilidad puede ser supuesta en un gran número de contextos. Los efectos de la inseparabilidad (i.e. cuerpos de característica p infinitos) pueden ser vistos en el teorema del elemento primitivo, y en los . Dada una extensión finita de cuerpos L/K, existe un subcuerpo M de L que contiene K tal que L es una extensión separable de M. Cuando L = M la extensión L/K recibe el nombre de extensión inseparable pura. Las extensiones inseparables puras aparecen en situaciones bastante naturales, por ejemplo en geometría algebraica en característica p. Si K es un cuerpo de característica p, y V una variedad algebraica sobre K de dimensión no nula, si consideramos el K(V) y su subcuerpo K(V)p de potencias p-ésimas. Esta es siempre una extensión inseparable pura. Estas extensiones aparecen cuando uno estudia la multiplicación por p sobre una curva elíptica sobre un cuerpo de característica p. En el contexto de cuerpos no perfectos, se introduce el concepto de clausura separable Ksep dentro de la clausura algebraica, la cual es la mayor extensión separable posible de K. Entonces la teoría de Galois es válida dentro de Ksep. (es)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables (c'est-à-dire les corps parfaits) sont nombreux. On y trouve par exemple les corps finis ainsi que les corps de caractéristique nulle, parmi lesquels les corps des rationnels, des réels et des complexes. (fr)
- In field theory, a branch of algebra, an algebraic field extension is called a separable extension if for every , the minimal polynomial of over F is a separable polynomial (i.e., its formal derivative is not the zero polynomial, or equivalently it has no repeated roots in any extension field). There is also a more general definition that applies when E is not necessarily algebraic over F. An extension that is not separable is said to be inseparable. Every algebraic extension of a field of characteristic zero is separable, and every algebraic extension of a finite field is separable.It follows that most extensions that are considered in mathematics are separable. Nevertheless, the concept of separability is important, as the existence of inseparable extensions is the main obstacle for extending many theorems proved in characteristic zero to non-zero characteristic. For example, the fundamental theorem of Galois theory is a theorem about normal extensions, which remains true in non-zero characteristic only if the extensions are also assumed to be separable. The opposite concept, a purely inseparable extension, also occurs naturally, as every algebraic extension may be decomposed uniquely as a purely inseparable extension of a separable extension. An algebraic extension of fields of non-zero characteristics p is a purely inseparable extension if and only if for every , the minimal polynomial of over F is not a separable polynomial, or, equivalently, for every element x of E, there is a positive integer k such that . The simplest example of a (purely) inseparable extension is , fields of rational functions in the indeterminate x with coefficients in the finite field . The element has minimal polynomial , having and a p-fold multiple root, as . This is a simple algebraic extension of degree p, as , but it is not a normal extension since the Galois group is trivial. (en)
- In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica in cui il polinomio minimo di ogni elemento di è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile. Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois). Se la caratteristica di è 0, allora tutte le estensioni algebriche di sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo , invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione non è separabile, perché il polinomio minimo di su è , che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di sono separabili, allora è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece ha caratteristica allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice -esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto. (it)
- 체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다. (ko)
- 体論という代数学の分野において、分離拡大（ぶんりかくだい、英: separable extension）は代数的な体の拡大 E ⊃ F であって、すべての α ∈ E に対して α の F 上の最小多項式が分離多項式である（すなわち相異なる根をもつ；この文脈における定義についてはを参照）ようなものである。そうでなければ、拡大は非分離 (inseparable) と呼ばれる。分離代数拡大の概念の他の同値な定義があり、これらは後でこの記事で概説される。 分離拡大の重要性は正標数のガロワ理論においてそれらが果たす基本的な役割にある。より具体的には、有限次体拡大がガロワ拡大であることと正規拡大かつ分離拡大であることが同値である。標数 0 の体や有限体の代数拡大は分離的だから、ガロワ理論のたいていの応用において分離性は障害ではない。例えば、有理数体のすべての代数拡大（特に有限次拡大）は分離的である。 数学において分離拡大はあらゆるところで現れるが、その対極である純非分離拡大もまたきわめて自然に現れる。代数拡大 E ⊃ F が純非分離拡大であることと、すべての α ∈ E ∖ F に対して α の F 上の最小多項式が分離多項式でない（つまり相異なる根をもたない）ことが同値である。体 F が非自明な純非分離拡大をもつためには、素数標数の無限体（すなわち例えば不完全）であることが必要である、なぜならば完全体の任意の代数拡大は分離的だからだ。 (ja)
- Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов , минимальный аннулятор над для которых не имеет кратных корней. Производная должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики . Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если , где — алгебраическое замыкание поля , то сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов поля в алгебраическое замыкание над равно степени . В случае несепарабельных расширений это число является делителем и называется сепарабельной степенью (частное равно некоторой степени характеристики). (ru)
- Em matemática, uma extensão separável de um corpo K é um corpos L que contém K e que pode ser gerado adjuntando a K um conjunto de elementos α, tais que sejam raízes de polinômios separáveis sobre K. Neste caso, qualquer elemento β de L tem associado um polinômio mínimo que é separável sobre K. A condição de separabilidade é importante na teoria de Galois. Um corpo perfeito é aquele em que todas suas extensões algébricas são separáveis. Existe um critério simples para verificar-se um corpo como perfeito: um corpo F é perfeito se e somente se
* F tem característica 0, ou
* F tem característica não nula p, e todo elemento de F é uma raiz p-ésima de um elemento de F. A segunda condição equivale a dizer-se que o morfismo de Frobenius de F, , é um automorfismo. Em particular, todo corpo de característica 0 e todo corpo finito é perfeito. Este fato implica que a separabilidade pode ser suposta em um grande número de contextos. Os efeitos da inseparabilidade (i.e. corpos de característica p infinitos) podem ser vistos no teorema do elemento primitivo, e nos produtos tensoriais de corpos. Dada uma extensão finita de corpos L/K, existe um subcorpo M de L que contém K tal que L é uma extensão separável de M. Quando L = M a extensão L/K recebe o nome de extensão inseparável pura. As extensões inseparáveis puras aparecem em situações bastante naturais, por exemplo em geometria algébrica em característica p. Se K é um corpo de característica p, e V uma variedade algébrica sobre K de dimensão não nula, se consideramos a K(V) e seu subcorpo K(V)p de potências p-ésimas. Esta é sempre uma extensão inseparável pura. Estas extensões aparecem quando se estuda a multiplicação por p sobre uma curva elíptica sobre um corpo de característica p. No contenxto de corpos não perfeitos, se introduz o conceito de clausura separável Ksep dentro do fecho algébrico, o qual é a maior extensão separável possível de K. Então a teoria de Galois é válida dentro de Ksep. (pt)
- 可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足：任何一个L中元素在基域K上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域）以及有限域都是，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。 (zh)
- Сепарабельне розширення — алгебраїчне розширення поля L/K, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f'(x) повинна бути по вищезгаданому ненульовим многочленом. За визначенням, всі поля характеристики 0 сепарабельні, тому поняття сепарабельності нетривіальне лише для полів ненульової характеристики p. Для скінченних розширень маємо наступну теорему: Якщо K ⊆ L ⊆ K*, де K* — алгебраїчне замикання поля К, то L сепарабельне тоді і тільки тоді, коли число різних ізоморфізмів σ L в замикання, алгебри K*, над K рівне степеню [L:K]. У разі несепарабельних розширень це число є дільником [L:K] і називається сепарабельним степенем [L:K]s. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- 체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다. (ko)
- 可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足：任何一个L中元素在基域K上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域）以及有限域都是，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。 (zh)
- En matemàtiques, una extensió separable d'un cos K és un cos L que conté a K i que pot ser generat adjuntant a K un conjunt d'elements α, tals que són arrels de polinomis separables sobre K. En aquest cas, qualsevol element β de L té associat un polinomi mínim que és separable sobre K.
* F té característica 0, o
* F té característica no nul·la p, i tot element de F és una arrel p-èsima d'un element de F. La segona condició equival a dir que el de F, , és un automorfisme. (ca)
- En matemáticas, una extensión separable de un cuerpo K es un cuerpo L que contiene a K y que puede ser generado adjuntando a K un conjunto de elementos α, tales que son raíces de polinomios separables sobre K. En dicho caso, cualquier elemento β de L tiene asociado un polinomio mínimo que es separable sobre K. La condición de separabilidad es importante en la teoría de Galois. Un cuerpo perfecto es aquel en que todas sus extensiones algebraicas son separables. Existe un criterio simple para ver si un cuerpo es perfecto: un cuerpo F es perfecto si y sólo si (es)
- In field theory, a branch of algebra, an algebraic field extension is called a separable extension if for every , the minimal polynomial of over F is a separable polynomial (i.e., its formal derivative is not the zero polynomial, or equivalently it has no repeated roots in any extension field). There is also a more general definition that applies when E is not necessarily algebraic over F. An extension that is not separable is said to be inseparable. (en)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. (fr)
- In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica in cui il polinomio minimo di ogni elemento di è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile. Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois). (it)
- 体論という代数学の分野において、分離拡大（ぶんりかくだい、英: separable extension）は代数的な体の拡大 E ⊃ F であって、すべての α ∈ E に対して α の F 上の最小多項式が分離多項式である（すなわち相異なる根をもつ；この文脈における定義についてはを参照）ようなものである。そうでなければ、拡大は非分離 (inseparable) と呼ばれる。分離代数拡大の概念の他の同値な定義があり、これらは後でこの記事で概説される。 分離拡大の重要性は正標数のガロワ理論においてそれらが果たす基本的な役割にある。より具体的には、有限次体拡大がガロワ拡大であることと正規拡大かつ分離拡大であることが同値である。標数 0 の体や有限体の代数拡大は分離的だから、ガロワ理論のたいていの応用において分離性は障害ではない。例えば、有理数体のすべての代数拡大（特に有限次拡大）は分離的である。 (ja)
- Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов , минимальный аннулятор над для которых не имеет кратных корней. Производная должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики . (ru)
- Em matemática, uma extensão separável de um corpo K é um corpos L que contém K e que pode ser gerado adjuntando a K um conjunto de elementos α, tais que sejam raízes de polinômios separáveis sobre K. Neste caso, qualquer elemento β de L tem associado um polinômio mínimo que é separável sobre K. A condição de separabilidade é importante na teoria de Galois. Um corpo perfeito é aquele em que todas suas extensões algébricas são separáveis. Existe um critério simples para verificar-se um corpo como perfeito: um corpo F é perfeito se e somente se (pt)
- Сепарабельне розширення — алгебраїчне розширення поля L/K, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f'(x) повинна бути по вищезгаданому ненульовим многочленом. За визначенням, всі поля характеристики 0 сепарабельні, тому поняття сепарабельності нетривіальне лише для полів ненульової характеристики p. Для скінченних розширень маємо наступну теорему: (uk)
|
