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- En mathématiques, une identité polynomiale sur une algèbre associative est définie par l’annulation d’un polynôme non commutatif sur toute famille d’éléments de l’algèbre. L’ensemble des identités polynomiales sur une telle algèbre forme un T-idéal de l’algèbre associative libre engendrée par une famille dénombrable de variables formelles, c’est-à-dire un idéal stable par substitution des variables par d’autres polynômes non commutatifs. Par exemple, toute algèbre commutative vérifie l’identité xy − xy = 0. De même, une algèbre nilpotente d’ordre n (telle que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes d’ordre n) admet l’identité xn = 0 et même x1x2⋯xn = 0. D’après le théorème d’Amitsur–Levitski, toute algèbre de matrices à coefficients dans un anneau commutatif satisfait l’identité standard : où S2n est le groupe symétrique d’ordre 2n et la fonction ε est la signature associée. (fr)
- In ring theory, a branch of mathematics, a ring R is a polynomial identity ring if there is, for some N > 0, an element P ≠ 0 of the free algebra, Z⟨X1, X2, ..., XN⟩, over the ring of integers in N variables X1, X2, ..., XN such that for all N-tuples r1, r2, ..., rN taken from R. Strictly the Xi here are "non-commuting indeterminates", and so "polynomial identity" is a slight abuse of language, since "polynomial" here stands for what is usually called a "non-commutative polynomial". The abbreviation PI-ring is common. More generally, the free algebra over any ring S may be used, and gives the concept of PI-algebra. If the degree of the polynomial P is defined in the usual way, the polynomial P is called monic if at least one of its terms of highest degree has coefficient equal to 1. Every commutative ring is a PI-ring, satisfying the polynomial identity XY − YX = 0. Therefore, PI-rings are usually taken as close generalizations of commutative rings. If the ring has characteristic p different from zero then it satisfies the polynomial identity pX = 0. To exclude such examples, sometimes it is defined that PI-rings must satisfy a monic polynomial identity. (en)
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- a/a110570 (en)
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- Amitsur–Levitzki theorem (en)
- PI-algebra (en)
- Polynomial identity algebra (en)
- Standard Identity (en)
- T-ideal (en)
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- In ring theory, a branch of mathematics, a ring R is a polynomial identity ring if there is, for some N > 0, an element P ≠ 0 of the free algebra, Z⟨X1, X2, ..., XN⟩, over the ring of integers in N variables X1, X2, ..., XN such that for all N-tuples r1, r2, ..., rN taken from R. If the degree of the polynomial P is defined in the usual way, the polynomial P is called monic if at least one of its terms of highest degree has coefficient equal to 1. (en)
- En mathématiques, une identité polynomiale sur une algèbre associative est définie par l’annulation d’un polynôme non commutatif sur toute famille d’éléments de l’algèbre. L’ensemble des identités polynomiales sur une telle algèbre forme un T-idéal de l’algèbre associative libre engendrée par une famille dénombrable de variables formelles, c’est-à-dire un idéal stable par substitution des variables par d’autres polynômes non commutatifs. D’après le théorème d’Amitsur–Levitski, toute algèbre de matrices à coefficients dans un anneau commutatif satisfait l’identité standard : (fr)
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- Identité polynomiale (fr)
- Polynomial identity ring (en)
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