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- في الجبر الخطي، المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة لها مدخلات حقيقية تكون صفوفها وأعمدتها متجهات وحدة . أي مصفوفة تحقق الشرط التالي: تسمي إذا مصفوفة متعامدة حيث تكون الأعمدة متعامدة أو الصفوف متعامدة (ar)
- En l'àmbit matemàtic de l'àlgebra lineal, una matriu ortogonal és una matriu quadrada a coeficients reals, tal que les seves columnes (i files) són vectors unitaris ortogonals. Això és el mateix que dir que formen una base ortonormal i, per això, alguns autors les anomenen matrius ortonormals. És a dir, on I és la matriu identitat. Una altra manera de descriure les matrius ortogonals és que són les matrius quadrades invertibles a coeficients reals que tenen la seva matriu inversa igual a la seva matriu transposada: . Una matriu ortogonal també és unitària (Q−1 = Q∗) i per tant normal (Q∗Q = QQ∗) sobre els reals. El determinant de qualsevol matriu ortogonal és +1 o −1. Com a transformació lineal, una matriu ortogonal preserva el producte escalar i, per tant, actua com una isometria d'espais euclidians, com ara una rotació o una reflexió. En altres paraules, és una transformació unitària. El conjunt O(n,K) de matrius n×n ortogonals a coeficients en un cos K (on I és la matriu identitat n×n) forma un grup multiplicatiu anomenat grup ortogonal, que és subgrup del grup lineal GL(n,K).El subgrup del grup ortogonal amb matrius de determinant 1 s'anomena grup ortogonal especial i es denota SO(n,K). L'anàleg als nombres complexos de les matrius ortogonals són les matrius unitàries. (ca)
- Ortogonální matice (někdy také ortonormální) je reálná čtvercová matice, jejíž transponovaná matice je současně maticí inverzní. Řádky (respektive sloupce) této matice tvoří soustavu ortonormálních vektorů. Množina všech ortogonálních matic tvoří tzv. ortogonální grupu. (cs)
- Στη γραμμική άλγεβρα, ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα (π.χ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας Q είναι ορθογώνιος εάν ο ανάστροφος του ισούται με τον αντίστροφο του: το οποίο συνεπάγεται όπου I ο μοναδιαίος πίνακας (ή ταυτοτικός). Ένας ορθογώνιος πίνακας Q είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμος (με αντίστροφο Q−1 = QT), (Q−1 = Q*), και (Q*Q = QQ*). Η ορίζουσα κάθε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 ή −1. Ως ένας γραμμικός μετασχηματισμός, ένας ορθογώνιος πίνακας διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, συνεπώς δρα ως μια του Ευκλείδειου χώρου, όπως η περιστροφή ή η ανάκλαση. Με άλλα λόγια είναι ένας . Το σύνολο των n × n ορθογώνιων πινάκων σχηματίζει μία ομάδα O(n), γνωστή ως . Η SO(n) που αποτελείται από ορθογώνιους πίνακες με ορίζουσα +1 καλείται , και κάθε στοιχείο της είναι ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας. Ως γραμμικός μετασχηματισμός, κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας δρα σαν μια περιστροφή. (el)
- En lineara algebro, orta matrico aŭ ortonormala matrico aŭ perpendikulara matrico estas kvadrata matrico kun reelaj elementoj kies kolumnoj (aŭ linioj) estas perpendikularaj unuaj vektoroj (kaj estas, ortaj vektoroj), tio estas ke pri n×n matricoj: kaj por ĉiuj j, k, 1≤j≤n, 1≤k≤n, kie δjk estas delto de Kronecker. Tiel ĝiaj kolumnoj formas de la eŭklida spaco Rn kun la ordinara eŭklida skalara produto. Ekvivalente, matrico Q estas orta se ĝia transpono estas egala al ĝia : QT=Q−1 aŭ QTQ = QQT = I Tiel orta matrico estas ĉiam normala matrico. Eblus supozi ke matrico kun perpendikularaj (sed ne nepre ortaj) kolumnoj devus nomiĝi kiel orta matrico, sed ĉi tiaj matricoj ne estas de speciala intereso kaj ne havas specialan nomon; ili nur kontentigas MTM = D, kie D estas diagonala matrico. Kiel lineara transformo, ortonormala matrico konservas la skalaran produton de vektoroj: x, Qy> = <x, y> ĉar x, Qy> = (Qx)TQy = xTQTQy = xTIy = xTy = <x, y> Kvadrato de longo de vektoro v estas ||v||2 = <v, v> = vTv , kiu estas egala al ||Qv||2 = <Qv, Qv>. Tiel, kiel lineara transformo, orta matrico konservas longojn de vektoroj. Tiel multipliko je orta matrico agas kiel izometrio de eŭklida spaco, kiel turnado aŭ . Tiel, ĝi prezentas . La aro de n×n ortaj matricoj formas grupon O(n), nomatan kiel la . La ĝia subgrupo SO(n) konsistanta de ortaj matricoj kun determinanto +1 estas nomata kiel la , kaj ĉiu el ĝiaj eroj estas speciala orta matrico. Kiel lineara transformo, ĉiu speciala orta matrico agas kiel turnado sed ne kiel reflekto. Kvankam oni kutime konsideras nur reelan ortonormalajn matricoj, la difino povas esti uzita por matricoj kun elementoj de iu kampo. Ortonormalaj matricoj aperas nature ĉe , kaj por matricoj de kompleksaj nombroj ĉi tio kondukas al konsidero de unitaj matricoj anstataŭ ortonormalaj. (eo)
- Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal . Geométricamente, las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real, dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos. (es)
- Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre Transponierte. Orthogonale Matrizen stellen Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum, also Drehungen, Spiegelungen und Kombinationen daraus, dar. Jede orthogonale Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine orthogonale Matrix dargestellt werden. Die Menge der orthogonalen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die orthogonale Gruppe. Orthogonale Matrizen werden beispielsweise bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt. Der analoge Begriff bei komplexen Matrizen ist die unitäre Matrix. (de)
- Aljebra linealean, matrize ortogonala M matrize erreal bat da, haren iraulia alderantzizko matrizearen berdina dena. Hau da: , hots: unitate matrizea da eta matrize iraulia. Matrize bat ortogonala da baldin eta soilik haren zutabeak (edo errenkadak) badira. (eu)
- In linear algebra, an orthogonal matrix, or orthonormal matrix, is a real square matrix whose columns and rows are orthonormal vectors. One way to express this is where QT is the transpose of Q and I is the identity matrix. This leads to the equivalent characterization: a matrix Q is orthogonal if its transpose is equal to its inverse: where Q−1 is the inverse of Q. An orthogonal matrix Q is necessarily invertible (with inverse Q−1 = QT), unitary (Q−1 = Q∗), where Q∗ is the Hermitian adjoint (conjugate transpose) of Q, and therefore normal (Q∗Q = QQ∗) over the real numbers. The determinant of any orthogonal matrix is either +1 or −1. As a linear transformation, an orthogonal matrix preserves the inner product of vectors, and therefore acts as an isometry of Euclidean space, such as a rotation, reflection or rotoreflection. In other words, it is a unitary transformation. The set of n × n orthogonal matrices, under multiplication, forms the group O(n), known as the orthogonal group. The subgroup SO(n) consisting of orthogonal matrices with determinant +1 is called the special orthogonal group, and each of its elements is a special orthogonal matrix. As a linear transformation, every special orthogonal matrix acts as a rotation. (en)
- Dalam aljabar linear, matriks ortogonal, atau matriks ortonormal, adalah matriks persegi real yang kolom-kolom dan baris-barisnya merupakan vektor-vektor . Salah satu cara menyatakan hal ini adalah dengan adalah transpos dari dan adalah matriks identitas. Hal ini menghasilkan definisi yang ekuivalen: suatu matriks adalah matriks ortogonal jika transpos matriks tersebut sama dengan matriks inversnya: dengan adalah invers dari .
* l
*
* s (in)
- Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si tA A = In, où tA est la matrice transposée de A et In est la matrice identité. (fr)
- In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa. Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria. (it)
- 直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。 有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w)が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。 (ja)
- 선형대수학에서 직교 행렬(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간의 정규 직교 기저를 이루는 실수 행렬이다. (ko)
- Een orthogonale matrix is in de lineaire algebra een reële vierkante matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dat houdt in dat de kolommen onderling orthogonaal zijn en als vector de lengte 1 hebben. Analoog geldt er dat de rijen ook een orthonormaal stelsel vormen en dus onderling orthogonaal zijn met als lengte 1. Een andere manier van karakteriseren is dat de getransponeerde van de matrix gelijk is aan de inverse. Het overeenkomstige begrip voor complexe matrices is een unitaire matrix. Orthogonale matrices als afbeelding gezien op een euclidische ruimte behouden de oorsprong en afstanden en hoeken. Ze komen dus overeen met draaiingen, spiegelingen en combinaties daarvan. (nl)
- Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość: gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru oznacza macierz transponowaną względem Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych. Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. (pl)
- Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta. Isto é, uma matriz é ortogonal se (pt)
- Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрице: или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице: Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица. Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной. (ru)
- Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця (зазвичай із дійсними елементами) така, що , де — транспонована матриця до матриці , — одинична матриця, Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці: Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці. (uk)
- En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer. En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers: vilket medför att där I är enhetsmatrisen. Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra. (sv)
- 在矩阵论中，正交矩阵（英語：orthogonal matrix）是一個方块矩阵，其元素為实数，而且行向量與列向量皆為正交的单位向量，使得該矩陣的转置矩阵為其逆矩阵： 其中，為單位矩陣。正交矩陣的行列式值必定為或，因為： 以下是一些重要的性質：
* 作為一個线性映射（变换矩阵），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距映射，具體例子為旋转與鏡射。
* 行列式值为+1的正交矩阵，稱為特殊正交矩阵，它是一個旋转矩阵。
* 行列式值为-1的正交矩阵，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。
* 所有的正交矩陣對矩陣乘法形成一個群，稱為正交群。亦即，正交矩陣與正交矩陣的乘積也是一個正交矩陣。
* 所有特殊正交矩阵對矩陣乘法形成一個子群，稱為特殊正交群。亦即，旋转矩阵與旋转矩阵的乘積也是一個旋转矩阵。 (zh)
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- في الجبر الخطي، المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة لها مدخلات حقيقية تكون صفوفها وأعمدتها متجهات وحدة . أي مصفوفة تحقق الشرط التالي: تسمي إذا مصفوفة متعامدة حيث تكون الأعمدة متعامدة أو الصفوف متعامدة (ar)
- Ortogonální matice (někdy také ortonormální) je reálná čtvercová matice, jejíž transponovaná matice je současně maticí inverzní. Řádky (respektive sloupce) této matice tvoří soustavu ortonormálních vektorů. Množina všech ortogonálních matic tvoří tzv. ortogonální grupu. (cs)
- Aljebra linealean, matrize ortogonala M matrize erreal bat da, haren iraulia alderantzizko matrizearen berdina dena. Hau da: , hots: unitate matrizea da eta matrize iraulia. Matrize bat ortogonala da baldin eta soilik haren zutabeak (edo errenkadak) badira. (eu)
- Dalam aljabar linear, matriks ortogonal, atau matriks ortonormal, adalah matriks persegi real yang kolom-kolom dan baris-barisnya merupakan vektor-vektor . Salah satu cara menyatakan hal ini adalah dengan adalah transpos dari dan adalah matriks identitas. Hal ini menghasilkan definisi yang ekuivalen: suatu matriks adalah matriks ortogonal jika transpos matriks tersebut sama dengan matriks inversnya: dengan adalah invers dari .
* l
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- Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si tA A = In, où tA est la matrice transposée de A et In est la matrice identité. (fr)
- In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa. Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria. (it)
- 直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。 有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w)が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。 (ja)
- 선형대수학에서 직교 행렬(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간의 정규 직교 기저를 이루는 실수 행렬이다. (ko)
- Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość: gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru oznacza macierz transponowaną względem Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych. Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. (pl)
- Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta. Isto é, uma matriz é ortogonal se (pt)
- Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрице: или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице: Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица. Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной. (ru)
- Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця (зазвичай із дійсними елементами) така, що , де — транспонована матриця до матриці , — одинична матриця, Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці: Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці. (uk)
- En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer. En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers: vilket medför att där I är enhetsmatrisen. Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra. (sv)
- 在矩阵论中，正交矩阵（英語：orthogonal matrix）是一個方块矩阵，其元素為实数，而且行向量與列向量皆為正交的单位向量，使得該矩陣的转置矩阵為其逆矩阵： 其中，為單位矩陣。正交矩陣的行列式值必定為或，因為： 以下是一些重要的性質：
* 作為一個线性映射（变换矩阵），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距映射，具體例子為旋转與鏡射。
* 行列式值为+1的正交矩阵，稱為特殊正交矩阵，它是一個旋转矩阵。
* 行列式值为-1的正交矩阵，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。
* 所有的正交矩陣對矩陣乘法形成一個群，稱為正交群。亦即，正交矩陣與正交矩陣的乘積也是一個正交矩陣。
* 所有特殊正交矩阵對矩陣乘法形成一個子群，稱為特殊正交群。亦即，旋转矩阵與旋转矩阵的乘積也是一個旋转矩阵。 (zh)
- En l'àmbit matemàtic de l'àlgebra lineal, una matriu ortogonal és una matriu quadrada a coeficients reals, tal que les seves columnes (i files) són vectors unitaris ortogonals. Això és el mateix que dir que formen una base ortonormal i, per això, alguns autors les anomenen matrius ortonormals. És a dir, on I és la matriu identitat. Una altra manera de descriure les matrius ortogonals és que són les matrius quadrades invertibles a coeficients reals que tenen la seva matriu inversa igual a la seva matriu transposada: . El conjunt O(n,K) de matrius n×n ortogonals a coeficients en un cos K (ca)
- Στη γραμμική άλγεβρα, ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα (π.χ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας Q είναι ορθογώνιος εάν ο ανάστροφος του ισούται με τον αντίστροφο του: το οποίο συνεπάγεται όπου I ο μοναδιαίος πίνακας (ή ταυτοτικός). (el)
- En lineara algebro, orta matrico aŭ ortonormala matrico aŭ perpendikulara matrico estas kvadrata matrico kun reelaj elementoj kies kolumnoj (aŭ linioj) estas perpendikularaj unuaj vektoroj (kaj estas, ortaj vektoroj), tio estas ke pri n×n matricoj: kaj por ĉiuj j, k, 1≤j≤n, 1≤k≤n, kie δjk estas delto de Kronecker. Tiel ĝiaj kolumnoj formas de la eŭklida spaco Rn kun la ordinara eŭklida skalara produto. Ekvivalente, matrico Q estas orta se ĝia transpono estas egala al ĝia : QT=Q−1 aŭ QTQ = QQT = I Tiel orta matrico estas ĉiam normala matrico. x, Qy> = <x, y> ĉar (eo)
- Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre Transponierte. Orthogonale Matrizen werden beispielsweise bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt. Der analoge Begriff bei komplexen Matrizen ist die unitäre Matrix. (de)
- Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal . Geométricamente, las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real, dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la (es)
- In linear algebra, an orthogonal matrix, or orthonormal matrix, is a real square matrix whose columns and rows are orthonormal vectors. One way to express this is where QT is the transpose of Q and I is the identity matrix. This leads to the equivalent characterization: a matrix Q is orthogonal if its transpose is equal to its inverse: where Q−1 is the inverse of Q. (en)
- Een orthogonale matrix is in de lineaire algebra een reële vierkante matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dat houdt in dat de kolommen onderling orthogonaal zijn en als vector de lengte 1 hebben. Analoog geldt er dat de rijen ook een orthonormaal stelsel vormen en dus onderling orthogonaal zijn met als lengte 1. Een andere manier van karakteriseren is dat de getransponeerde van de matrix gelijk is aan de inverse. Het overeenkomstige begrip voor complexe matrices is een unitaire matrix. (nl)
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