| dbo:abstract
|
- Το των Σάπλεϊ- Φόλκμαν είναι αποτέλεσμα της με εφαρμογές στα που περιγράφει την συνόλων του Μινκόφσκι σε ένα διανυσματικό χώρο. Η προσθήκη του Μινκόφσκι ορίζεται ως η πρόσθεση , για παράδειγμα, προσθέτοντας το σύνολο που αποτελείται από τους ακέραιους μηδέν και ένα που αποδίδονται στον εαυτό τους και αποτελείται από μηδέν, ένα και δύο: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν και τα σχετικά αποτελέσματα παρέχουν μια καταφατική απάντηση στο ερώτημα, "Είναι το άθροισμα των πολλών συνόλων κοντά στο να είναι ?" Ένα σύνολο ορίζεται να είναι κυρτό αν κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο της είναι υποσύνολο του συνόλου. Για παράδειγμα, ο στερεός είναι ένα κυρτό σύνολο, αλλά ο δεν είναι, γιατί το τμήμα της γραμμής που συνδέει δύο διακριτά σημεία δεν είναι ένα υποσύνολο του κύκλου. Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν υποδηλώνει ότι αν ο αριθμός των συνόλων που αθροίζονται υπερβαίνει τη διάσταση του διανύσματος του χώρου, τότε το Μινκόφσκι άθροισμά τους είναι περίπου κυρτή. Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν εισήχθη ως ένα βήμα προς την του των Σάπλεϊ- Φόλκμαν, το οποίο ορίζει ένα για την μεταξύ του αθροίσματος Μινικόφσκι και το τους. Το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου Q είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει την Q. Αυτή η απόσταση είναι μηδέν αν και μόνο αν το άθροισμα είναι κυρτό. Το θεώρημα του δεσμευμένου εξαρτάται από την διάσταση D και τα σχήματα των summand-συνόλων, αλλά όχι από τον αριθμό των συνόλων summand-Ν, όταν τοwhen N > D. Τα σχήματα ενός μοναδικού υποσυνόλου ϋ summand καθορίζουν την δεσμευμένη απόσταση μεταξύ του των Ν Μινοκόφσκι συνόλων 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) και το κυρτό του κύτους του. Όσο το Ν πηγαίνει στο άπειρο, τα δεσμευμένα (για summand-σύνολα ομοιόμορφα και φραγμένου μεγέθους). Το πάνω όριο του θεωρήματος των Σάπλεϊ- Φόλκμαν μειώθηκε από του Σταρ (εναλλακτικά, το θεώρημα Shapley-Folkman-Starr). Το λήμμα των και δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά από τον οικονομολόγο Ρος Μ. Σταρ, ο οποίος ερευνούσε την ύπαρξη ενώ σπούδαζε με τον Κένεθ Άροου. Στο έγγραφό του, ο Σταρ μελέτησε την κυρτή μορφή της οικονομίας, όπου τα μη- κυρτά σύνολα αντικαταστάθηκαν από αντίστοιχα κυρτά˙ Ο Σταρ απέδειξε ότι η οικονομία έχει κυρτές ισορροπίες που προσεγγίζονται από τους "οιωνούς ισορροπίας" της αρχικής οικονομίας. Επιπλέον, αποδείχθηκε ότι κάθε οιωνός ισορροπίας έχει πολλές από τις καλύτερες δυνατές ιδιότητες της αληθινής ισορροπίας, τα οποία αποδείχθηκαν ότι υπάρχουν για κυρτές οικονομίες. Μετά την έκθεση του Σταρ το 1969, τα αποτελέσματα των Σάπλει- Φόλκμαν- Σταρ έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως για να δείξουν ότι τα βασικά αποτελέσματα των (κυρτών) οικονομικών θεωριών είναι καλής προσεγγίσεις σε μεγάλες οικονομίες μη κυρτές, για παράδειγμα, οιωνοί ισορροπίας σε στενή προσέγγιση ισορροπίας μίας κυρτής οικονομίας. «Η παραγωγή αυτών των αποτελεσμάτων σε γενική μορφή υπήρξε ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα της μεταπολεμικής οικονομικής θεωρίας», έγραψε ο Roger Guesnerie. Το θέμα των έχει μελετηθεί από πολλούς , εκτός από τον Λόιντ Σάπλει που κέρδισε το βραβείο το 2012: Arrow (1972), (2005), (1983), (1975), (2008),και (1970. Το συμπληρωματικό θέμα των στα οικονομικά έχει τονιστεί από τους βραβευθέντες, μαζί με τους , (1975), and (1987). Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει εφαρμογές στη και στη θεωρία πιθανοτήτων. Στη θεωρία βελτιστοποίησης, το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει την επιτυχή επίλυση των προβλημάτων ελαχιστοποίησης που είναι αποτέλεσμα πολλών . Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει επίσης χρησιμοποιηθεί στις των «νόμος των μέσων όρων" για τυχαία σύνολα, ένα θεώρημα που είχε αποδειχθεί μόνο για τα κυρτά σύνολα. (el)
- El lema de Shapley-Folkman es el resultado de una geometría convexa con aplicaciones en economía matemática que describe la Suma de Minkowski en un espacio vectorial. La adición de Minkowski se define como la adición de los miembros de los conjuntos: por ejemplo, agregar el conjunto que consiste en los enteros cero y uno a sí mismo produce el conjunto que consiste en cero, uno y dos: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. El lema de Shapley-Folkman y los resultados relacionados proporcionan una respuesta afirmativa a la pregunta: "¿Es la suma de muchos conjuntos casi convexa ?" Un conjunto se define como convexo si cada segmento de línea que une dos de sus puntos es un subconjunto en el conjunto: por ejemplo, el disco sólido es un conjunto convexo pero el círculo no lo es, porque el segmento de línea une dos puntos distintos no es un subconjunto del círculo. El lema de Shapley-Folkman sugiere que si el número de conjuntos sumados excede la dimensión del espacio vectorial, entonces su suma de Minkowski es aproximadamente convexa. El lema de Shapley-Folkman se introdujo como un paso en la prueba del teorema de Shapley-Folkman, que establece un límite superior en la distancia entre la suma de Minkowski y su envolvente convexa. El casco convexo de un conjunto Q es el conjunto convexo más pequeño que contiene Q. Esta distancia es cero si y solo si la suma es convexa. El teorema vinculado a la distancia depende de la dimensión D y de las formas de los conjuntos de suma y resta, pero no del número de conjuntos sumatorios N, cuando N > D. Las formas de una subcolección de solo D summand-sets determinan el límite en la distancia entre el promedio de N de Minkowski: 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) y su casco convexo. A medida que N aumenta hasta el infinito, el límite disminuye a cero (para summand-sets de tamaño uniformemente acotado). El límite superior del teorema de Shapley-Folkman se redujo por el corolario de Starr (alternativamente, el teorema de Shapley-Folkman-Starr). El lema de Lloyd Shapley y Jon Folkman fue publicado por primera vez por el economista Ross M. Starr, quien estaba investigando la existencia de equilibrios económicos mientras estudiaba con Kenneth Arrow. En su artículo, Starr estudió una economía convexificada, en la cual los conjuntos no convexos fueron reemplazados por sus cascos convexos; Starr demostró que la economía convexificada tiene equilibrios que se aproximan por "cuasi-equilibrios" de la economía original; además, demostró que todo cuasiequilibrio tiene muchas de las propiedades óptimas de los equilibrios verdaderos, que se ha comprobado que existen para las economías convexas. Siguiendo el documento de Starr de 1969, los resultados de Shapley-Folkman-Starr han sido ampliamente utilizados para mostrar que los resultados centrales de la teoría económica (convexa) son buenas aproximaciones para las economías grandes con no convexidades; por ejemplo, los cuasi-equilibrios se aproximan a los equilibrios de una economía convexificada. "La derivación de estos resultados en forma general ha sido uno de los principales logros de la teoría económica de la posguerra", escribió Roger Guesnerie. El tema de los conjuntos no convexos en economía ha sido estudiado por muchos premios Nobel, además de Lloyd Shapley, que ganó el premio en 2012: Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008) y Paul Samuelson (1970); el tema complementario de conjuntos convexos en economía ha sido enfatizado por estos galardonados, junto con Leonid Hurwicz, Leonid Kantorovich (1975) y Robert Solow (1987). El lema Shapley-Folkman también tiene aplicaciones en optimización y teoría de la probabilidad. En la teoría de optimización, el lema Shapley-Folkman se ha utilizado para explicar la solución exitosa de problemas de minimización que son sumas de muchas funciones. El lema de Shapley-Folkman también se ha utilizado en pruebas de la "Ley de los grandes números" para conjuntos aleatorios, un teorema que se ha demostrado solo para conjuntos convexos. (es)
- The Shapley–Folkman lemma is a result in convex geometry with applications in mathematical economics that describes the Minkowski addition of sets in a vector space. Minkowski addition is defined as the addition of the sets' members: for example, adding the set consisting of the integers zero and one to itself yields the set consisting of zero, one, and two: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. The Shapley–Folkman lemma and related results provide an affirmative answer to the question, "Is the sum of many sets close to being convex?" A set is defined to be convex if every line segment joining two of its points is a subset in the set: For example, the solid disk is a convex set but the circle is not, because the line segment joining two distinct points is not a subset of the circle. The Shapley–Folkman lemma suggests that if the number of summed sets exceeds the dimension of the vector space, then their Minkowski sum is approximately convex. The Shapley–Folkman lemma was introduced as a step in the proof of the Shapley–Folkman theorem, which states an upper bound on the distance between the Minkowski sum and its convex hull. The convex hull of a set Q is the smallest convex set that contains Q. This distance is zero if and only if the sum is convex. The theorem's bound on the distance depends on the dimension D and on the shapes of the summand-sets, but not on the number of summand-sets N, when N > D. The shapes of a subcollection of only D summand-sets determine the bound on the distance between the Minkowski average of N sets 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) and its convex hull. As N increases to infinity, the bound decreases to zero (for summand-sets of uniformly bounded size). The Shapley–Folkman theorem's upper bound was decreased by Starr's corollary (alternatively, the Shapley–Folkman–Starr theorem). The lemma of Lloyd Shapley and Jon Folkman was first published by the economist Ross M. Starr, who was investigating the existence of economic equilibria while studying with Kenneth Arrow. In his paper, Starr studied a convexified economy, in which non-convex sets were replaced by their convex hulls; Starr proved that the convexified economy has equilibria that are closely approximated by "quasi-equilibria" of the original economy; moreover, he proved that every quasi-equilibrium has many of the optimal properties of true equilibria, which are proved to exist for convex economies. Following Starr's 1969 paper, the Shapley–Folkman–Starr results have been widely used to show that central results of (convex) economic theory are good approximations to large economies with non-convexities; for example, quasi-equilibria closely approximate equilibria of a convexified economy. "The derivation of these results in general form has been one of the major achievements of postwar economic theory", wrote Roger Guesnerie. The topic of non-convex sets in economics has been studied by many Nobel laureates, besides Lloyd Shapley who won the prize in 2012: Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008), and Paul Samuelson (1970); the complementary topic of convex sets in economics has been emphasized by these laureates, along with Leonid Hurwicz, Leonid Kantorovich (1975), and Robert Solow (1987). The Shapley–Folkman lemma has applications also in optimization and probability theory. In optimization theory, the Shapley–Folkman lemma has been used to explain the successful solution of minimization problems that are sums of many functions. The Shapley–Folkman lemma has also been used in proofs of the "law of averages" for random sets, a theorem that had been proved for only convex sets. (en)
- O lema de Shapley–Folkman é um resultado em geometria convexa com aplicações em economia matemática que descreve a adição de Minkowski de conjuntos em um espaço vetorial. A adição de Minkowski é definida pela adição de membros de conjuntos: por exemplo, adicionando o conjunto consistindo dos inteiros zero e um a ele mesmo resulta o conjunto consistindo de zero, um e dois: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. O lema de Shapley–Folkman e resultados relacionados produzem uma resposta afirmativa à questão, "É a soma de muitos conjuntos próxima de ser convexa?" (pt)
- Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку.Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей.Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?». Лемма названа в честь Ллойда Шепли и Джона Фолкмана и была впервые опубликована в работе экономиста Росса Старра. В 2012 году Шепли наравне с Элвином Ротом стал лауреатом Нобелевской премии по экономике. Работа Старра, в которой произошло первое упоминание леммы, увидела свет в 1969 году. Тогда экономист сотрудничал с известнейшим американским учёным Кеннетом Эрроу и занимался решением вопроса о существовании некоторых экономических равновесий. В работе Старра проводилось исследование экономики, в которой некоторые геометрически выраженные взаимосвязи, обладавшие свойством невыпуклости, заменялись ближайшими выпуклыми аналогами — выпуклыми оболочками. Старр доказал, что такая «овыпукленная» экономика обладает равновесными состояниями, весьма близкими к квазиравновесиям оригинальной экономики. Более того, учёный доказал, что каждое квазиравновесие обладает рядом оптимальных характеристик подлинного равновесия, которые были найдены в выпуклых экономиках. Работы Шепли, Фолкмана и Старра показали, что основные результаты выпуклой экономической теории являются хорошими приближениями экономики с невыпуклыми элементами. Лемма позволяет предположить, что если число слагаемых множеств превосходит размерность векторного пространства D, то тогда нахождение выпуклых оболочек («овыпукление») требуется только для D слагаемых. Французский экономист Роже Геснери писал: «Получение этих результатов в общем виде стало одним из главных достижений послевоенной экономической теории». Тематика невыпуклых множеств в экономике становилась предметом исследования многих других нобелевских лауреатов. С этим вопросом работали Пол Самуэльсон (премия 1970 года), Кеннет Эрроу (1972), Тьяллинг Купманс (1975), Жерар Дебрё (1983), Роберт Ауман (2005), Пол Кругман (2008). Смежной тематикой выпуклых множеств занимались Леонид Канторович (1975), Роберт Солоу (1987), Леонид Гурвич (2007). В теории оптимизации лемма Шепли — Фолкмана использовалась для объяснения успешного решения задач минимизации сумм нескольких функций, а также для доказательства «закона средних» для случайных множеств (эта теорема была доказана только для выпуклых множеств). (ru)
- Лема Шеплі — Фолкмана пов'язує дві операції опуклої геометрії — додавання за Мінковським і опуклу оболонку. Лема має застосування в низці дисциплін, в тому числі в математичній економіці, оптимізації і теорії ймовірностей. Лема і пов'язані з нею результати дозволяють дати ствердну відповідь на питання «Чи близька до стану опуклості сума декількох множин?». Лема названа на честь Ллойда Шеплі і Джона Фолкмана і була вперше опублікована в роботі економіста Росса Старра. У 2012 році Шеплі нарівні з Елвіном Ротом став лауреатом Нобелівської премії з економіки. Робота Старра, в якій лема була згадана вперше, побачила світ у 1969 році. Тоді економіст співпрацював з відомим американським вченим Кеннетом Ерроу та займався вирішенням питання про існування деяких економічних рівноваг. В роботі Старра проводилося дослідження економіки, в якій деякі геометрично виражені взаємозв'язки, котрі мали властивістю неопуклості, замінялися найближчими опуклими аналогами — опуклими оболонками. Старр довів, що така «овипуклена» економіка має рівноважні стани, вельми близькі до квазірівноваги оригінальної економіки. Більш того, науковець довів, що кожна квазірівновага має низку оптимальних характеристик справжньої рівноваги, які були знайдені в опуклих економіках. Роботи Шеплі, Фолкмана і Старра показали, що основні результати опуклої економічної теорії є хорошими наближениями економіки з неопуклими елементами. Лема дозволяє припустити, що якщо число доданків множин перевершує розмірність векторного простору D, то тоді знаходження опуклих оболонок вимагається лише для D доданків. (uk)
- 沙普利－福克曼引理是的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數和組成的集合，與自身相加，得到由組成的集合，以符號可寫成： 「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利－福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 為凸集，但圓 則不然，因為連接相異兩點的線段 並不是圓的子集。沙普利－福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。 沙普利－福克曼引理引入時，是作為證明沙普利－福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合的凸包，是包含的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數及求和項的形狀，但不取決於求和的項數，而只需。只要其中個求和項的形狀，就足以確定個集合的閔可夫斯基平均集 與其凸包的距離的上界。當趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论將沙普利－福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利－福克曼－斯塔定理。 劳埃德·沙普利和的引理，最先由經濟學家發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利－福克曼－斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。 沙普利－福克曼引理在優化論和概率论皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函数之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- O lema de Shapley–Folkman é um resultado em geometria convexa com aplicações em economia matemática que descreve a adição de Minkowski de conjuntos em um espaço vetorial. A adição de Minkowski é definida pela adição de membros de conjuntos: por exemplo, adicionando o conjunto consistindo dos inteiros zero e um a ele mesmo resulta o conjunto consistindo de zero, um e dois: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. O lema de Shapley–Folkman e resultados relacionados produzem uma resposta afirmativa à questão, "É a soma de muitos conjuntos próxima de ser convexa?" (pt)
- Το των Σάπλεϊ- Φόλκμαν είναι αποτέλεσμα της με εφαρμογές στα που περιγράφει την συνόλων του Μινκόφσκι σε ένα διανυσματικό χώρο. Η προσθήκη του Μινκόφσκι ορίζεται ως η πρόσθεση , για παράδειγμα, προσθέτοντας το σύνολο που αποτελείται από τους ακέραιους μηδέν και ένα που αποδίδονται στον εαυτό τους και αποτελείται από μηδέν, ένα και δύο: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) (el)
- El lema de Shapley-Folkman es el resultado de una geometría convexa con aplicaciones en economía matemática que describe la Suma de Minkowski en un espacio vectorial. La adición de Minkowski se define como la adición de los miembros de los conjuntos: por ejemplo, agregar el conjunto que consiste en los enteros cero y uno a sí mismo produce el conjunto que consiste en cero, uno y dos: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) (es)
- The Shapley–Folkman lemma is a result in convex geometry with applications in mathematical economics that describes the Minkowski addition of sets in a vector space. Minkowski addition is defined as the addition of the sets' members: for example, adding the set consisting of the integers zero and one to itself yields the set consisting of zero, one, and two: {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}. 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN) (en)
- Лема Шеплі — Фолкмана пов'язує дві операції опуклої геометрії — додавання за Мінковським і опуклу оболонку. Лема має застосування в низці дисциплін, в тому числі в математичній економіці, оптимізації і теорії ймовірностей. Лема і пов'язані з нею результати дозволяють дати ствердну відповідь на питання «Чи близька до стану опуклості сума декількох множин?». (uk)
- Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку.Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей.Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?». (ru)
- 沙普利－福克曼引理是的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數和組成的集合，與自身相加，得到由組成的集合，以符號可寫成： 「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利－福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 為凸集，但圓 則不然，因為連接相異兩點的線段 並不是圓的子集。沙普利－福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。 沙普利－福克曼引理引入時，是作為證明沙普利－福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合的凸包，是包含的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數及求和項的形狀，但不取決於求和的項數，而只需。只要其中個求和項的形狀，就足以確定個集合的閔可夫斯基平均集 與其凸包的距離的上界。當趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论將沙普利－福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利－福克曼－斯塔定理。 (zh)
|
.jpeg){kind=link}
.jpeg){kind=link}
