| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, una transformació ortogonal és una transformació lineal (on és un espai prehilbertià) tal que conserva el producte escalar d'aquest espai. És a dir, que per tot parell d'elements es compleix . En particular, com que els mòduls dels vectors i l'angle entre aquests en un espai prehilbertià es defineixen a partir del producte escalar, les transformacions ortogonals preserven els mòduls i els angles i, per tant, envien les bases ortonormals a bases ortonormals. (ca)
- Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Orthogonale Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend. Im euklidischen Raum können orthogonale Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden und beschreiben Kongruenzabbildungen, beispielsweise Drehungen oder Spiegelungen. Die bijektiven orthogonalen Abbildungen eines Skalarproduktraums in sich bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Die Eigenwerte einer solchen Abbildung sind nicht notwendigerweise reell, sie besitzen jedoch alle den komplexen Betrag eins. Eine bijektive orthogonale Abbildung zwischen zwei Hilberträumen wird auch orthogonaler Operator genannt. Die entsprechenden Gegenstücke bei komplexen Skalarprodukträumen sind unitäre Abbildungen und unitäre Operatoren. Von orthogonalen Abbildungen zu unterscheiden sind zueinander orthogonale Funktionen, beispielsweise orthogonale Polynome, welche als Vektoren in einem Funktionenraum aufgefasst werden und dadurch charakterisiert sind, dass ihr Skalarprodukt null ist. (de)
- In linear algebra, an orthogonal transformation is a linear transformation T : V → V on a real inner product space V, that preserves the inner product. That is, for each pair u, v of elements of V, we have Since the lengths of vectors and the angles between them are defined through the inner product, orthogonal transformations preserve lengths of vectors and angles between them. In particular, orthogonal transformations map orthonormal bases to orthonormal bases. Orthogonal transformations are injective: if then , hence , so the kernel of is trivial. Orthogonal transformations in two- or three-dimensional Euclidean space are stiff rotations, reflections, or combinations of a rotation and a reflection (also known as improper rotations). Reflections are transformations that reverse the direction front to back, orthogonal to the mirror plane, like (real-world) mirrors do. The matrices corresponding to proper rotations (without reflection) have a determinant of +1. Transformations with reflection are represented by matrices with a determinant of −1. This allows the concept of rotation and reflection to be generalized to higher dimensions. In finite-dimensional spaces, the matrix representation (with respect to an orthonormal basis) of an orthogonal transformation is an orthogonal matrix. Its rows are mutually orthogonal vectors with unit norm, so that the rows constitute an orthonormal basis of V. The columns of the matrix form another orthonormal basis of V. If an orthogonal transformation is invertible (which is always the case when V is finite-dimensional) then its inverse is another orthogonal transformation. Its matrix representation is the transpose of the matrix representation of the original transformation. (en)
- In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione ortogonale è una trasformazione lineare di uno spazio euclideo che preserva il prodotto scalare. Una trasformazione ortogonale può essere espressa (rispetto ad una base ortonormale finita) tramite una matrice ortogonale. Una trasformazione ortogonale è sempre un'isometria. D'altra parte, ogni isometria che fissa l'origine è una trasformazione ortogonale. (it)
- Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве . (ru)
- 在線性代數中，正交變換是線性變換的一種。如果对于任意向量和其內積等於正交轉換後之向量和之內積，则称之为正交变换。 按照长度的定义，可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同。 其中在空間內，表示維度。 其中為向量長度，和分別為和之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。 在矩陣表示形式上，如果為正交變換，則為正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣，其每個列互為正交，令為之矩陣，取兩個不相同的列和遵守下列關係。 (zh)
- В лінійній алгебрі, ортогональне перетворення це лінійне перетворення T : V → V в дійсному V, при якому зберігається внутрішній добуток. Тобто, для кожної пари u, v елементів V, маємо Оскільки довжина векторів і кутів між ними визначається через внутрішній скалярний добуток, ортогональне перетворення зберігає довжину векторів і кути між ними. Зокрема, ортогональні перетворення відображають ортонормовані базиси в ортонормовані базиси. В дво- або тривимірному Евклідовому просторі ортогональні перетворення це жорсткі обертання, дзеркальні відбиття, або комбінації обертання і відбиття(також відоме як ). Відбиття це такі перетворення, які змінюють ліво на право, аналогічно як відзеркалення зображення. Матриці, які визначають правильне обертання (без дзеркального відбиття) мають детермінант +1. Перетворення із відбиттям задаються матрицями із детермінантом −1. Це дозволяє концепцію обертання і відбиття узагальнити для просторів з більшою розмірністю. У просторах з скінченним виміром, матричне представлення (відповідно до ортонормованого базису) ортогонального перетворення є ортогональною матрицею. Її рядки є взаємно ортогональними векторами з одиничною нормою, так що рядки утворюють ортогональний базис V. Стовпці матриці є іншим ортогональним базисом V. Інверсія ортогонального перетворення є іншим ортогональним перетворенням. Матричне представлення якого є транспонованою матрицею, що представляє ортогональне перетворення. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En matemàtiques, una transformació ortogonal és una transformació lineal (on és un espai prehilbertià) tal que conserva el producte escalar d'aquest espai. És a dir, que per tot parell d'elements es compleix . En particular, com que els mòduls dels vectors i l'angle entre aquests en un espai prehilbertià es defineixen a partir del producte escalar, les transformacions ortogonals preserven els mòduls i els angles i, per tant, envien les bases ortonormals a bases ortonormals. (ca)
- In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione ortogonale è una trasformazione lineare di uno spazio euclideo che preserva il prodotto scalare. Una trasformazione ortogonale può essere espressa (rispetto ad una base ortonormale finita) tramite una matrice ortogonale. Una trasformazione ortogonale è sempre un'isometria. D'altra parte, ogni isometria che fissa l'origine è una trasformazione ortogonale. (it)
- Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве . (ru)
- 在線性代數中，正交變換是線性變換的一種。如果对于任意向量和其內積等於正交轉換後之向量和之內積，则称之为正交变换。 按照长度的定义，可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同。 其中在空間內，表示維度。 其中為向量長度，和分別為和之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。 在矩陣表示形式上，如果為正交變換，則為正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣，其每個列互為正交，令為之矩陣，取兩個不相同的列和遵守下列關係。 (zh)
- Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Orthogonale Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend. Im euklidischen Raum können orthogonale Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden und beschreiben Kongruenzabbildungen, beispielsweise Drehungen oder Spiegelungen. Die bijektiven orthogonalen Abbildungen eines Skalarproduktraums in sich bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Die Eigenwerte einer solchen Abbildung sind nicht notwendigerweise reell, sie besitzen jedoch alle den komplexen Betrag eins. (de)
- In linear algebra, an orthogonal transformation is a linear transformation T : V → V on a real inner product space V, that preserves the inner product. That is, for each pair u, v of elements of V, we have Since the lengths of vectors and the angles between them are defined through the inner product, orthogonal transformations preserve lengths of vectors and angles between them. In particular, orthogonal transformations map orthonormal bases to orthonormal bases. Orthogonal transformations are injective: if then , hence , so the kernel of is trivial. (en)
- В лінійній алгебрі, ортогональне перетворення це лінійне перетворення T : V → V в дійсному V, при якому зберігається внутрішній добуток. Тобто, для кожної пари u, v елементів V, маємо Оскільки довжина векторів і кутів між ними визначається через внутрішній скалярний добуток, ортогональне перетворення зберігає довжину векторів і кути між ними. Зокрема, ортогональні перетворення відображають ортонормовані базиси в ортонормовані базиси. (uk)
|
