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- In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man zwei quadratische Matrizen und kongruent, wenn es eine invertierbare Matrix gibt, sodass: . Dabei bedeutet die zu transponierte Matrix. Die Kongruenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Äquivalent lässt sich definieren, dass zwei Matrizen kongruent sind, falls sie bzgl. zweier (möglicherweise unterschiedlicher) Basen die gleiche Bilinearform repräsentieren. Nach dem sylvesterschen Trägheitssatz sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann kongruent, wenn sie denselben Trägheitsindex besitzen. Der Trägheitsindex ist das Tripel bestehend aus der Anzahl positiver, negativer und Null-Eigenwerte. (de)
- En matemáticas la congruencia es una relación de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden. Se dice que dos matrices A y B, de orden n, son congruentes si existe una matriz regular (que tiene inversa, o determinante distinto de cero), P, llamada también matriz de paso, tal que: A=PtBP Donde "t" denota a la matriz traspuesta. Además las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango. Veamos que es una relación de equivalencia. - Propiedad Reflexiva: Sea I la matriz identidad del mismo orden que A. Entonces A=ItAI, entonces A es congruente consigo misma. - Propiedad Simétrica: Sean A y B dos matrices de orden n, congruentes con matriz de paso P. Como A es congruente con B, tenemos que: A=PtBP Multiplicando por la inversa de Pt, (P-1)t, ya que las operaciones inversa y traspuesta son conmutativas, por la izquierda a ambos lados de la igualdad, y por la inversa de P, P-1 por la derecha a ambos lados de la igualdad, obtenemos la siguiente igualdad: (P-1)tAP-1=(P-1)tPtBPP-1 o lo que es lo mismo: (P-1)tAP-1=B con lo cual, B es congruente con A con matriz de paso P-1, cuya existencia viene garantizada por hipótesis, ya que es una matriz regular. - Propiedad Transitiva: Si tenemos dos matrices A y B de orden n, tal que A es congruente con B con matriz de paso P, y dada una tercera matriz C, de orden n, que es congruente con B, con matriz de paso Q, veamos que C es congruente con A. A=PtBP y B=QtCQ sustituyendo B de la primera igualdad obtenemos esta nueva igualdad: A=Pt(QtCQ)P=(QP)tC(QP) con lo que podemos concluir que A es congruente con C con matriz de paso QP, ya que (QP)t=PtQt Una propiedad que cumplen las matrices congruentes es que tiene el mismo rango, o lo que es equivalente, el mismo número de filas (columnas) linealmente independientes. Dada una matriz simétrica y real A puede encontrarse siempre una matriz diagonal D de manera que A y D sean congruentes. A este procedimiento se le denomina diagonalización por congruencia. Además la matriz diagonal puede elegirse de forma que los elementos en la diagonal sean solo 1,-1 o 0. (es)
- In mathematics, two square matrices A and B over a field are called congruent if there exists an invertible matrix P over the same field such that PTAP = B where "T" denotes the matrix transpose. Matrix congruence is an equivalence relation. Matrix congruence arises when considering the effect of change of basis on the Gram matrix attached to a bilinear form or quadratic form on a finite-dimensional vector space: two matrices are congruent if and only if they represent the same bilinear form with respect to different bases. Note that Halmos defines congruence in terms of conjugate transpose (with respect to a complex inner product space) rather than transpose, but this definition has not been adopted by most other authors. (en)
- En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que où PT est la transposée de P. (fr)
- In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio. (it)
- 선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, 영어: congruence)은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다. (ko)
- 数学において、（可換体上の）正方行列 A, B が合同 (congruent) であるとは、可逆行列 P が存在して となることをいう。ここで t は転置を表す。 行列の合同は同値関係である。 (ja)
- In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices (over het lichaam (Ned) / Veld (Be) ) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat , waarin de getransponeerde aanduidt van . (nl)
- Квадратні матриці називаються конгруентними, якщо існує невироджена матриця , що виконується :
* Відношення конгруентності матриць є відношенням еквівалентності. Конгруентні матриці виникають під час зміни базису білінійної форми чи квадратичної форми. Дві матриці є конгруентними тоді і тільки тоді, коли вони описують одну і ту ж білінійну форму в різних базисах. Перехід від одного базису до іншого задається матрицею переходу (uk)
- Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz e são congruentes, se existe uma matriz invertível , do mesmo tipo, tal que . (pt)
- 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵和是合同的，如果有同数域上的可逆矩阵 ，使得 。 其中的表示矩阵的转置矩阵。 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 在有限维线性空间中同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 (zh)
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- En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que où PT est la transposée de P. (fr)
- In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio. (it)
- 선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, 영어: congruence)은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다. (ko)
- 数学において、（可換体上の）正方行列 A, B が合同 (congruent) であるとは、可逆行列 P が存在して となることをいう。ここで t は転置を表す。 行列の合同は同値関係である。 (ja)
- In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices (over het lichaam (Ned) / Veld (Be) ) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat , waarin de getransponeerde aanduidt van . (nl)
- Квадратні матриці називаються конгруентними, якщо існує невироджена матриця , що виконується :
* Відношення конгруентності матриць є відношенням еквівалентності. Конгруентні матриці виникають під час зміни базису білінійної форми чи квадратичної форми. Дві матриці є конгруентними тоді і тільки тоді, коли вони описують одну і ту ж білінійну форму в різних базисах. Перехід від одного базису до іншого задається матрицею переходу (uk)
- Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz e são congruentes, se existe uma matriz invertível , do mesmo tipo, tal que . (pt)
- 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵和是合同的，如果有同数域上的可逆矩阵 ，使得 。 其中的表示矩阵的转置矩阵。 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 在有限维线性空间中同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 (zh)
- In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man zwei quadratische Matrizen und kongruent, wenn es eine invertierbare Matrix gibt, sodass: . Dabei bedeutet die zu transponierte Matrix. Die Kongruenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Äquivalent lässt sich definieren, dass zwei Matrizen kongruent sind, falls sie bzgl. zweier (möglicherweise unterschiedlicher) Basen die gleiche Bilinearform repräsentieren. (de)
- En matemáticas la congruencia es una relación de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden. Se dice que dos matrices A y B, de orden n, son congruentes si existe una matriz regular (que tiene inversa, o determinante distinto de cero), P, llamada también matriz de paso, tal que: A=PtBP Donde "t" denota a la matriz traspuesta. Además las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango. Veamos que es una relación de equivalencia. A=PtBP (P-1)tAP-1=(P-1)tPtBPP-1 o lo que es lo mismo: (P-1)tAP-1=B A=PtBP y B=QtCQ A=Pt(QtCQ)P=(QP)tC(QP) (es)
- In mathematics, two square matrices A and B over a field are called congruent if there exists an invertible matrix P over the same field such that PTAP = B where "T" denotes the matrix transpose. Matrix congruence is an equivalence relation. Matrix congruence arises when considering the effect of change of basis on the Gram matrix attached to a bilinear form or quadratic form on a finite-dimensional vector space: two matrices are congruent if and only if they represent the same bilinear form with respect to different bases. (en)
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