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- En matemàtiques, s'anomena successió recurrent lineal d'ordre p, a tota successió amb valors en un cos K (generalment o ) definida per a tot per la relació de recurrència següent : , , …, sent p escalars fixats de K ( no nuls), per a tot , es té Tal successió està completament determinada pels valors dels p primers termes de la successió i per la relació de recurrència. Les successions recurrents lineals d'ordre 1 s'anomenen més simplement successions geomètriques de raó . En relació amb les successions recurrents lineals d'ordre 2, Es pot expressar el seu terme general sense haver que recórrer a la recurrència, més precisament fent servir només els dos primers termes, alguns valors constants, algunes operacions elementals de l'aritmètica (addició, subtracció, multiplicació, exponencial) i les funcions sinus i cosinus. Una de les successions d'aquest tipus és la molt cèlebre successió de Fibonacci que es pot expressar a partir de potències fent intervenir la secció àuria. L'estudi de les successions recurrents lineals d'ordre p apel·la a la noció d'espai vectorial i al càlcul matricial. (ca)
- In mathematics and theoretical computer science, a constant-recursive sequence is an infinite sequence of numbers where each number in the sequence is equal to a fixed linear combination of one or more of its immediate predecessors. A constant-recursive sequence is also known as a linear recurrence sequence, linear-recursive sequence, linear-recurrent sequence, a C-finite sequence, or a solution to a linear recurrence with constant coefficients. The most famous example of a constant-recursive sequence is the Fibonacci sequence , in which each number is the sum of the previous two. The power of two sequence is also constant-recursive because each number is the sum of twice the previous number. The square number sequence is also constant-recursive. However, not all sequences are constant-recursive; for example, the factorial number sequence is not constant-recursive. All arithmetic progressions, all geometric progressions, and all polynomials are constant-recursive. Formally, a sequence of numbers is constant-recursive if it satisfies a recurrence relation where are constants. For example, the Fibonacci sequence satisfies the recurrence relation where is the th Fibonacci number. Constant-recursive sequences are studied in combinatorics and the theory of finite differences. They also arise in algebraic number theory, due to the relation of the sequence to the roots of a polynomial; in the analysis of algorithms as the running time of simple recursive functions; and in formal language theory, where they count strings up to a given length in a regular language. Constant-recursive sequences are closed under important mathematical operations such as term-wise addition, term-wise multiplication, and Cauchy product. The Skolem–Mahler–Lech theorem states that the zeros of a constant-recursive sequence have a regularly repeating (eventually periodic) form. On the other hand, the Skolem problem, which asks for algorithm to determine whether a linear recurrence has at least one zero, is a famous unsolved problem in mathematics. (en)
- En matemáticas, se denomina secuencia lineal recurrente de orden p a cualquier sucesión con valores en un campo conmutativo K (por ejemplo ℝ o ℂ; solo se considerará el primer caso en este artículo) definidos para todo por una relación de recurrencia lineal de la forma donde , , ... son p escalares fijos de K (con no nulo). Tal secuencia está completamente determinada por los datos de sus primeros términos p y por la relación de recurrencia. Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas. El estudio de secuencias lineales recurrentes de orden superior se reduce a un problema de álgebra lineal. La expresión del término general de dicha secuencia es posible siempre que se pueda factorizar un polinomio asociado con él, denominado polinomio característico; el polinomio característico asociado con una secuencia que verifica la relación de recurrencia anterior es: Su grado es, por lo tanto, igual al orden de la relación de recurrencia. En particular, en el caso de secuencias de orden 2, el polinomio es de grado 2, y por lo tanto, puede factorizarse utilizando el cálculo de su discriminante. En consecuencia, el término general de secuencias lineales recurrentes de orden 2 puede expresarse utilizando solo los dos primeros términos, algunos valores constantes, algunas operaciones elementales de aritmética (suma, resta, multiplicación, exponencial) y el seno y coseno (si el cuerpo escalar es el cuerpo real). Una de estas secuencias es la famosa sucesión de Fibonacci, que puede expresarse a partir de potencias que involucran la proporción áurea. (es)
- En mathématiques, on appelle suite récurrente linéaire d’ordre p toute suite à valeurs dans un corps commutatif K (par exemple ℝ ou ℂ ; on ne se placera que dans ce cas dans cet article) définie pour tout par une relation de récurrence linéaire de la forme où , , … sont p scalaires fixés de K ( non nul). Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes et par la relation de récurrence. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques. L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre supérieur se ramène à un problème d'algèbre linéaire. L'expression du terme général d'une telle suite est possible pour peu qu'on soit capable de factoriser un polynôme qui lui est associé, appelé polynôme caractéristique ; le polynôme caractéristique associé à une suite vérifiant la relation de récurrence ci-dessus est : Son degré est ainsi égal à l'ordre de la relation de récurrence. En particulier, dans le cas des suites d'ordre 2, le polynôme est de degré 2 et peut donc être factorisé à l'aide d'un calcul de discriminant. Ainsi, le terme général des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 peut être exprimé en utilisant seulement les deux premiers termes, quelques valeurs constantes, quelques opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, exponentielle) et les fonctions sinus et cosinus (si le corps des scalaires est le corps des réels). Une des suites de ce type est la célèbre suite de Fibonacci, qui peut s'exprimer à partir de puissances faisant intervenir le nombre d'or. (fr)
- Линейной рекуррентной последовательностью (линейной рекуррентой) называется всякая числовая последовательность , задаваемая линейным рекуррентным соотношением: для всех с заданными начальными членами , где d — фиксированное натуральное число, — заданные числовые коэффициенты, . При этом число d называется порядком последовательности. Линейные рекуррентные последовательности иногда называют также возвратными последовательностями. Теория линейных рекуррентных последовательностей является точным аналогом теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. (ru)
- Лінійною рекурентною послідовністю (лінійною рекурентою) називається будь-яка числова послідовність , задана лінійним рекурентним співвідношенням: для всіх з заданими початковими членами , де d — фіксоване натуральне число, — задані числові коефіцієнти, . При цьому число d називається порядком послідовності. Лінійні рекурентні послідовності іноді називають поворотними послідовностями. Теорія лінійних рекурентних послідовностей є точним аналогом теорії лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. (uk)
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- Линейной рекуррентной последовательностью (линейной рекуррентой) называется всякая числовая последовательность , задаваемая линейным рекуррентным соотношением: для всех с заданными начальными членами , где d — фиксированное натуральное число, — заданные числовые коэффициенты, . При этом число d называется порядком последовательности. Линейные рекуррентные последовательности иногда называют также возвратными последовательностями. Теория линейных рекуррентных последовательностей является точным аналогом теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. (ru)
- Лінійною рекурентною послідовністю (лінійною рекурентою) називається будь-яка числова послідовність , задана лінійним рекурентним співвідношенням: для всіх з заданими початковими членами , де d — фіксоване натуральне число, — задані числові коефіцієнти, . При цьому число d називається порядком послідовності. Лінійні рекурентні послідовності іноді називають поворотними послідовностями. Теорія лінійних рекурентних послідовностей є точним аналогом теорії лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. (uk)
- En matemàtiques, s'anomena successió recurrent lineal d'ordre p, a tota successió amb valors en un cos K (generalment o ) definida per a tot per la relació de recurrència següent : , , …, sent p escalars fixats de K ( no nuls), per a tot , es té Tal successió està completament determinada pels valors dels p primers termes de la successió i per la relació de recurrència. (ca)
- In mathematics and theoretical computer science, a constant-recursive sequence is an infinite sequence of numbers where each number in the sequence is equal to a fixed linear combination of one or more of its immediate predecessors. A constant-recursive sequence is also known as a linear recurrence sequence, linear-recursive sequence, linear-recurrent sequence, a C-finite sequence, or a solution to a linear recurrence with constant coefficients. Formally, a sequence of numbers is constant-recursive if it satisfies a recurrence relation (en)
- En matemáticas, se denomina secuencia lineal recurrente de orden p a cualquier sucesión con valores en un campo conmutativo K (por ejemplo ℝ o ℂ; solo se considerará el primer caso en este artículo) definidos para todo por una relación de recurrencia lineal de la forma donde , , ... son p escalares fijos de K (con no nulo). Tal secuencia está completamente determinada por los datos de sus primeros términos p y por la relación de recurrencia. Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas. (es)
- En mathématiques, on appelle suite récurrente linéaire d’ordre p toute suite à valeurs dans un corps commutatif K (par exemple ℝ ou ℂ ; on ne se placera que dans ce cas dans cet article) définie pour tout par une relation de récurrence linéaire de la forme où , , … sont p scalaires fixés de K ( non nul). Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes et par la relation de récurrence. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques. (fr)
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