| dbo:abstract
|
- En anàlisi funcional, el concepte d'espectre d'un és una generalització del concepte de valor propi per matrius. Més específicament, hom diu que un nombre complex λ pertany a l'espectre d'un operador lineal afitat T si λI − T no és invertible, on I és l'operador identitat. L'estudi dels espectres i de les seves propietats es coneix com a teoria espectral, que té nombroses aplicacions, entre d'elles la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. L'espectre d'un operador en un espai vectorial de dimensió finita és precisament el conjunt dels seus valors propis. Això no obstant, un operador de dimensió infinita pot tenir elements addicionals en el seu espectre, i fins i tot pot no tenir valors propis. Per exemple, considerem l'operador de decalatge cap a la dreta R en l'espai de Hilbert ℓ², Aquest operador no té valors propis, ja que si Rx=λx llavors podem veure que, expandint aquesta expressió, x1=0, x₂=0, etc. Per altra banda, 0 pertany a l'espectre perquè l'operador R − 0 (és a dir, el mateix R) no és invertible: no és exhaustiu, perquè cap vector amb la primera component no-nul·la no té antiimatge. De fet, tot operador lineal afitat en un espai de Banach complex té necessàriament un espectre no buit. La noció d'espectre s'estén a definits densament. En aquest cas, hom diu que un nombre complex λ pertany a l'espectre d'un tal operador T:D→X (on D és dens a X) si no existeix cap invers afitat (λI − T)−1:X→D. Si T és un operador tancat (la qual cosa inclou el cas en què T és un operador afitat), si l'invers existeix llavors és automàticament afitat. L'espai d'operadors lineals afitats B(X) en un espai de Banach X és un exemple d' unitària. Com que la definició d'espectre no fa referència a cap propietat de B(X), llevat de les pròpies de ser àlgebra de Banach, la noció d'espectre es pot generalitzar a aquest context utilitzant exactament la mateixa definició. (ca)
- Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man Endomorphismen, die durch Matrizen dargestellt werden, und ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins Unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen. Diese werden Spektralwerte genannt. (de)
- El espectro de un operador es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de valor propio (autovalor) a espacios vectoriales de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en análisis funcional como en mecánica cuántica. El estudio de los espectros de los operadores sobre un cierto espacio y sus propiedades se conoce como teoría espectral. (es)
- In mathematics, particularly in functional analysis, the spectrum of a bounded linear operator (or, more generally, an unbounded linear operator) is a generalisation of the set of eigenvalues of a matrix. Specifically, a complex number is said to be in the spectrum of a bounded linear operator if is not invertible, where is the identity operator. The study of spectra and related properties is known as spectral theory, which has numerous applications, most notably the mathematical formulation of quantum mechanics. The spectrum of an operator on a finite-dimensional vector space is precisely the set of eigenvalues. However an operator on an infinite-dimensional space may have additional elements in its spectrum, and may have no eigenvalues. For example, consider the right shift operator R on the Hilbert space ℓ2, This has no eigenvalues, since if Rx=λx then by expanding this expression we see that x1=0, x2=0, etc. On the other hand, 0 is in the spectrum because the operator R − 0 (i.e. R itself) is not invertible: it is not surjective since any vector with non-zero first component is not in its range. In fact every bounded linear operator on a complex Banach space must have a non-empty spectrum. The notion of spectrum extends to unbounded (i.e. not necessarily bounded) operators. A complex number λ is said to be in the spectrum of an unbounded operator defined on domain if there is no bounded inverse defined on the whole of If T is closed (which includes the case when T is bounded), boundedness of follows automatically from its existence. The space of bounded linear operators B(X) on a Banach space X is an example of a unital Banach algebra. Since the definition of the spectrum does not mention any properties of B(X) except those that any such algebra has, the notion of a spectrum may be generalised to this context by using the same definition verbatim. (en)
- En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base. En (en) et en mécanique quantique, la notion de spectre s'étend aux opérateurs non bornés fermés. (fr)
- 関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 , は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまり Rx = λx を満たすような 0 でない λ が存在するとすると、 となる。一方で、R − 0（つまり R 自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルについて R は全射ではないので、λ = 0 はスペクトルの元である。 実際、複素バナッハ空間上の任意の有界線形作用素は、必ず空でないスペクトルを持つ。 有界作用素は、スペクトルの厳密な定義に従えば、バナッハ環の構成要素と考えることもできる。スペクトルの概念は、非有界作用素に拡張することができる。有界でない場合、スペクトルに関して良い性質を得るために、作用素は閉じている必要があることも多い。 スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれる。 (ja)
- In matematica, in particolare nell'ambito dell'analisi funzionale e della teoria spettrale, lo spettro di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è la generalizzazione del concetto di insieme di autovalori per le matrici. Il concetto di spettro viene solitamente introdotto in algebra lineare nell'ambito delle trasformazioni lineari (limitate) tra spazi vettoriali di dimensione finita, e viene esteso dall'analisi funzionale al caso di operatori lineari limitati, e anche non limitati, in spazi vettoriali infinito-dimensionali. Agli operatori non limitati spesso si richiede che siano chiusi. Se è un operatore lineare limitato definito su uno spazio di Banach sul campo , e con si indica la funzione identità su , lo spettro di è l'insieme dei numeri tali per cui non possiede un inverso che è un operatore lineare limitato. Se è un autovalore di , allora non è una funzione biunivoca e dunque la sua inversa non è definita. Tuttavia, l'operatore può comunque non avere un operatore inverso: perciò lo spettro di un operatore contiene tutti i suoi autovalori, ma non si limita ad essi. Si può dimostrare che ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Banach complesso ha uno spettro non vuoto. Inoltre, operatori su spazi infinito dimensionali possono non avere autovalori, ad esempio sullo spazio di Hilbert ℓ2 l'operatore di shift unilaterale non ha autovalori. (it)
- 함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다. (ko)
- Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu (zwykle zespolonej) algebry z jedynką zbiór przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki. Widmo elementu a w pewnej algebrze A oznacza się również symbolem jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na Definicja widma ma również sens dla (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha). (pl)
- In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is het concept van het spectrum van een begrensde operator een veralgemening van het concept van de eigenwaarden voor matrices. In het bijzonder zegt men dat een complex getal in het spectrum van een begrensde lineaire operator ligt, als niet inverteerbaar is, waar de identiteitsoperator is. Voor niet noodzakelijk begrensde lineaire operatoren (in een topologische vectorruimte, bijvoorbeeld in de Hilbertruimte ) bestaat het spectrum uit alle complexe getallen waarvoor geen continue inverse heeft. Deze veralgemening tot onbegrensde operatoren is belangrijk omdat de energie-operator van een deeltje in de niet-relativistische kwantummechanica in bijna alle modellen een kinetische energieterm heeft die een differentiaaloperator is, dus onbegrensd. De studie van spectra en de daaraan gerelateerde eigenschappen staat bekend als de spectraaltheorie. De spectraaltheorie heeft tal van toepassingen, met name in de wiskundige formulering van de kwantummechanica. (nl)
- Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике. (ru)
- Em matemática, o espectro de uma matriz é o conjunto dos autovalores de . Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach. (pt)
- Inom funktionalanalysen är spektrumet för en operator en generalisering av egenvärdesbegreppet, som är mycket mer användbar i fallet med oändligt-dimensionella rum. Till exempel saknar heltalsskiftoperatorn på Hilbertrummet egenvärden, men det gäller allmänt att en begränsad linjär operator på ett komplext Banachrum har icke-tomt spektrum. (sv)
- 在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，對於有界线性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恒等算子，則複數λ會被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。 有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ2上的算子R， 。 该算子没有特征值，因为如果Rx=λx，则通过展开表达式可以得到x1=0，x2=0……另一方面，0在谱中，因为算子R-0（即R自身）不可逆：因为第一项非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是满射。事实上，複巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。 谱的概念可以扩展到无界算子。在这种情况下，複數λ被认为是在算子T:D→X（其中D在X中稠密）的谱中，如果没有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是闭算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。 巴拿赫空间X上的有界线性算子B(X)是有单位的的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外，谱的定义没有涉及B(X)的任何性质，所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。 (zh)
- Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці. Нехай A — оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор , що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини — спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині В спектрі оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна: 1.
* дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A; 2.
* неперервним спектром називається множина значень , при яких резольвента визначена на всюду щільній множині в E, але не є неперервною; 3.
* залишковим спектром називається множина точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин. Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через . При цьому виконується рівність Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man Endomorphismen, die durch Matrizen dargestellt werden, und ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins Unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen. Diese werden Spektralwerte genannt. (de)
- El espectro de un operador es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de valor propio (autovalor) a espacios vectoriales de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en análisis funcional como en mecánica cuántica. El estudio de los espectros de los operadores sobre un cierto espacio y sus propiedades se conoce como teoría espectral. (es)
- En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base. En (en) et en mécanique quantique, la notion de spectre s'étend aux opérateurs non bornés fermés. (fr)
- 함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다. (ko)
- Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике. (ru)
- Em matemática, o espectro de uma matriz é o conjunto dos autovalores de . Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach. (pt)
- Inom funktionalanalysen är spektrumet för en operator en generalisering av egenvärdesbegreppet, som är mycket mer användbar i fallet med oändligt-dimensionella rum. Till exempel saknar heltalsskiftoperatorn på Hilbertrummet egenvärden, men det gäller allmänt att en begränsad linjär operator på ett komplext Banachrum har icke-tomt spektrum. (sv)
- 在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，對於有界线性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恒等算子，則複數λ會被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。 有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ2上的算子R， 。 该算子没有特征值，因为如果Rx=λx，则通过展开表达式可以得到x1=0，x2=0……另一方面，0在谱中，因为算子R-0（即R自身）不可逆：因为第一项非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是满射。事实上，複巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。 谱的概念可以扩展到无界算子。在这种情况下，複數λ被认为是在算子T:D→X（其中D在X中稠密）的谱中，如果没有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是闭算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。 巴拿赫空间X上的有界线性算子B(X)是有单位的的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外，谱的定义没有涉及B(X)的任何性质，所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。 (zh)
- En anàlisi funcional, el concepte d'espectre d'un és una generalització del concepte de valor propi per matrius. Més específicament, hom diu que un nombre complex λ pertany a l'espectre d'un operador lineal afitat T si λI − T no és invertible, on I és l'operador identitat. L'estudi dels espectres i de les seves propietats es coneix com a teoria espectral, que té nombroses aplicacions, entre d'elles la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. (ca)
- In mathematics, particularly in functional analysis, the spectrum of a bounded linear operator (or, more generally, an unbounded linear operator) is a generalisation of the set of eigenvalues of a matrix. Specifically, a complex number is said to be in the spectrum of a bounded linear operator if is not invertible, where is the identity operator. The study of spectra and related properties is known as spectral theory, which has numerous applications, most notably the mathematical formulation of quantum mechanics. (en)
- 関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 , は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまり Rx = λx を満たすような 0 でない λ が存在するとすると、 となる。一方で、R − 0（つまり R 自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルについて R は全射ではないので、λ = 0 はスペクトルの元である。 実際、複素バナッハ空間上の任意の有界線形作用素は、必ず空でないスペクトルを持つ。 有界作用素は、スペクトルの厳密な定義に従えば、バナッハ環の構成要素と考えることもできる。スペクトルの概念は、非有界作用素に拡張することができる。有界でない場合、スペクトルに関して良い性質を得るために、作用素は閉じている必要があることも多い。 (ja)
- In matematica, in particolare nell'ambito dell'analisi funzionale e della teoria spettrale, lo spettro di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è la generalizzazione del concetto di insieme di autovalori per le matrici. Si può dimostrare che ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Banach complesso ha uno spettro non vuoto. Inoltre, operatori su spazi infinito dimensionali possono non avere autovalori, ad esempio sullo spazio di Hilbert ℓ2 l'operatore di shift unilaterale non ha autovalori. (it)
- In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is het concept van het spectrum van een begrensde operator een veralgemening van het concept van de eigenwaarden voor matrices. In het bijzonder zegt men dat een complex getal in het spectrum van een begrensde lineaire operator ligt, als niet inverteerbaar is, waar de identiteitsoperator is. De studie van spectra en de daaraan gerelateerde eigenschappen staat bekend als de spectraaltheorie. De spectraaltheorie heeft tal van toepassingen, met name in de wiskundige formulering van de kwantummechanica. (nl)
- Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu (zwykle zespolonej) algebry z jedynką zbiór przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki. (pl)
- Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці. Нехай A — оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор , що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини — спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині (uk)
|
