About: Integral

An Entity of Type: Thing, from Named Graph: http://dbpedia.org, within Data Space: dbpedia.org

In mathematics, an integral assigns numbers to functions in a way that describes displacement, area, volume, and other concepts that arise by combining infinitesimal data. The process of finding integrals is called integration. Along with differentiation, integration is a fundamental, essential operation of calculus, and serves as a tool to solve problems in mathematics and physics involving the area of an arbitrary shape, the length of a curve, and the volume of a solid, among others.

Property Value
dbo:abstract
  • في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر. وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل. بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:x=a, x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي: ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز: . النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة ومحور السينات (x) ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات (y) والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة بدالة المساحة ومشتقها هو الدالة نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة . يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها. وقد عرض غوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س). يوجد عدة أنواع للتكامل منها:التكامل بالتجزئة، تكامل بالتعويض، التكامل بالكسور الجزئية، التكامل بالأقراص. (ar)
  • El concepte d'integració és un concepte fonamental de les matemàtiques avançades, especialment en els camps del càlcul i de l'anàlisi matemàtica. Bàsicament, una integral és una generalització de la suma d'infinits sumatoris, infinitament petits.Una integral assigna números a funcions d'una manera que pot descriure el desplaçament, l'àrea, el volum i altres conceptes que sorgeixen combinant dades infinitesimals. La integració és una de les dues principals operacions de càlcul, amb la seva inversa, derivació, sent l'altra. Donada una funció f(x) d'una variable real x i un interval [a,b] de la recta real, la integral és igual a l'àrea de la regió del pla xy limitada entre la gràfica de f, l'eix x, i les línies verticals x = a i x = b, on es resten les àrees que estan per sota de l'eix x. La paraula "integral" també es pot referir a la noció de funció primitiva, és a dir, una funció F, la derivada de la qual és la funció donada f. En aquest cas s'anomena integral indefinida, mentre que les integrals tractades en aquest article són les integrals definides. Alguns autors conserven una distinció entre primitives i integrals indefinides. Els principis de la integració varen ser formulats per Newton i Leibniz a finals del segle xvii. A través del teorema fonamental del càlcul, que varen desenvolupar tots dos de forma independent, la integració es connecta amb la derivació, i la integral definida d'una funció es pot calcular fàcilment un cop se'n coneix una primitiva. Les integrals i les derivades esdevenen eines bàsiques del càlcul, amb nombroses aplicacions en ciència i enginyeria. A començaments del segle xix, Bernhard Riemann va donar una definició rigorosa de la integral. Es basa en un límit que aproxima l'àrea d'una regió curvilínia a base de partir-la en petits bocins verticals. Posteriorment varen començar a aparèixer nocions més sofisticades de la integral, on s'han generalitzat els tipus de les funcions i els dominis sobre els quals es fa la integració. La integral curvilínia es defineix per funcions de dues o tres variables, i l'interval d'integració [a,b] se substitueix per una certa corba que connecta dos punts del pla o de l'espai. En una integral de superfície, la corba se substitueix per un bocí d'una superfície a l'espai de tres dimensions. Els conceptes moderns d'integració es basen en la teoria matemàtica abstracta coneguda com a teoria de la mesura, que va desenvolupar Henri Lebesgue a principis del segle xx. Les integrals de les formes diferencials juguen un rol fonamental en la geometria diferencial moderna. Aquestes generalitzacions de la integral varen sorgir primer a partir de les necessitats de la física, i tenen un paper important en la formulació de moltes lleis físiques com, per exemple, les de l'electromagnetisme. (ca)
  • Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Mějme funkci ƒ reálné proměnné x na intervalu <a, b>. Pojem (určitý) integrál vzniká z potřeby vyjádřit obsah plochy ve dvojrozměrné rovině, který je omezen grafem funkce ƒ, osou x a svislými přímkami x = a a x = b. Pojmem integrál se občas označuje primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce ƒ. To celé se pak nazývá neurčitý integrál a zapisuje se Integrály, o nichž se píše níže, jsou určité integrály. Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Věta zní asi takto: Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [a, b] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je nebo je-li pak (cs)
  • Η ολοκλήρωση είναι στοιχειώδης έννοια των προχωρημένων μαθηματικών, ειδικά στα πεδία του απειροστικού λογισμού και της μαθηματικής ανάλυσης. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f με ανεξάρτητη μεταβλητή την x. Έστω υποσύνολο D του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Έστω (μεταβλητή) P, n στοιχείων, του συνόλου D, με λεπτότητα ∥P∥. Με απλά λόγια διαμέριση λέγεται οποιοσδήποτε τρόπος κομματιάζει το D σε n κομμάτια, ενώ η λεπτότητα δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι της διαμέρισης. Ένα κομμάτι της διαμέρισης συμβολίζεται με . Σε κάθε στοιχείο δxi της διαμέρισης (δηλαδή σε κάθε κομμάτι) επιλέγεται ένα σημείο xi και υπολογίζεται η f(xi). Έστω το άθροισμα: Τότε ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο D ορίζεται το όριο (αν υπάρχει): Το ορισμένο ολοκλήρωμα συμβολίζεται με , δηλαδή ισχύει: Σημειώνεται ότι ισχύει: Στην περίπτωση που το D είναι διάστημα με άκρα τα a,b (b μεγαλύτερο ή ίσο του a) το ολοκλήρωμα συμβολίζεται με: Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της ή συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος είναι η αρχική f. Σ' αυτή την περίπτωση λέγεται και αόριστο ολοκλήρωμα, ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονται ορισμένα ολοκληρώματα. Τα αόριστα ολοκληρώματα δεν αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο υποσύνολο του πεδίου ορισμού, άρα δεν προσδιορίζουμε που ολοκληρώνουμε, ενώ κατά τα άλλα ο συμβολισμός παραμένει ο ίδιος. Ο λόγος για αυτό είναι οι σχέσεις: * * όπου c οποιαδήποτε πραγματική σταθερά Με άλλα λόγια το ολοκλήρωμα της παραγώγου ισούται (με μία διαφορά) με την αρχική συνάρτηση. Άρα για να βρούμε την αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμά της. Μερικοί συγγραφείς θεωρούν διαφορετική την έννοια της αντιπαραγώγου από το αόριστο ολοκλήρωμα. Η διαφορά είναι ότι αντιπαράγωγος είναι κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει την f, ενώ το αόριστο ολοκλήρωμα της f είναι μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια σταθερά, κάθε μια από τις οποίες είναι αντιπαράγωγος της f. (el)
  • Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafikaĵo de funkcio kaj la x-akso. Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafikaĵo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio kun la limoj kaj estas Nedifinita integralo estas integralo, kies limoj ne estas specifitaj. Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de kie a estas konstanto sendependa de x. Integralo kun variabla suba limo estas funkcio, kies valoro ĉe la [[]]punkto x ĉiam estas la valoro de kie a estas konstanto sendependa de x. Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo: Integralo estas la inverso de derivaĵo, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio. Tiel, se estas malderivaĵo de , do ankaŭ estas malderivaĵo de por ĉiu konstanto sendependa de . Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de funkcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple (eo)
  • Integrala, matematikan, infinitu batugai azkengabe txikiren batuketa da. Kalkulu integrala kalkulu infinitesimalaren parte bat da; batura baten elementu kopurua handitzean eta baturaren elementuen neurria txikitzean, baturak duen limitea aztertzen du. Kalkulu integralaren oinarri intuitiboa integral mugatuaren definizioa da; funtzio baten adierazpen grafikoa den kurbak, aldagai askearen bi baliok ( eta adibidez) eta ardatzak mugatzen duten azaleraren adierazpena alegia. Kalkulu integrala oso erabilia da ingenieritzan eta matematika orokorrean; batez ere azalerak eta biraketa gorputzen bolumenak kalkulatzeko. Forma diferentzialen integralak funtsezkoak dira geometria diferentzial modernoan. Integral kontzeptuaren zabaltze hori fisikaren beharrek eragin zuten lehenik, eta oso garrantzitsuak dira fisika-lege askoren formulazioan; adibidez, elektromagnetismoaren legeetan. Integralaren kontzeptu berrien oinarria deritzon teoria matematiko abstraktua da, Henri Lebesguek garatu zuena. Arkimedes, René Descartes, Isaac Newton eta Isaac Barrow dira integralak erabili zituzten lehenengo zientzialariak. Barrowren lanen eta Newtonen ekarpenen emaitza da kalkulu integralaren oinarrizko teorema, non alderantzizko prozesuak bezala agertzen baitira deribazioa eta integrazioa. (eu)
  • La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Leibniz y Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. (es)
  • In mathematics, an integral assigns numbers to functions in a way that describes displacement, area, volume, and other concepts that arise by combining infinitesimal data. The process of finding integrals is called integration. Along with differentiation, integration is a fundamental, essential operation of calculus, and serves as a tool to solve problems in mathematics and physics involving the area of an arbitrary shape, the length of a curve, and the volume of a solid, among others. The integrals enumerated here are those termed definite integrals, which can be interpreted as the signed area of the region in the plane that is bounded by the graph of a given function between two points in the real line. Conventionally, areas above the horizontal axis of the plane are positive while areas below are negative. Integrals also refer to the concept of an antiderivative, a function whose derivative is the given function. In this case, they are called indefinite integrals. The fundamental theorem of calculus relates definite integrals with differentiation and provides a method to compute the definite integral of a function when its antiderivative is known. Although methods of calculating areas and volumes dated from ancient Greek mathematics, the principles of integration were formulated independently by Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz in the late 17th century, who thought of the area under a curve as an infinite sum of rectangles of infinitesimal width. Bernhard Riemann later gave a rigorous definition of integrals, which is based on a limiting procedure that approximates the area of a curvilinear region by breaking the region into thin vertical slabs. Integrals may be generalized depending on the type of the function as well as the domain over which the integration is performed. For example, a line integral is defined for functions of two or more variables, and the interval of integration is replaced by a curve connecting the two endpoints of the interval. In a surface integral, the curve is replaced by a piece of a surface in three-dimensional space. (en)
  • En mathématiques, l'intégration est le fait de calculer une intégrale. C'est aussi une des deux branches du calcul infinitésimal, appelée également calcul intégral, l'autre étant le calcul différentiel. Les opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...) et de calcul de probabilités étant souvent soumises à des calculs d'intégrales, l'intégration est un outil scientifique fondamental. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire. Les différents domaines dans lesquels peuvent se rencontrer des intégrales ont conduit à donner des définitions différentes de l'intégrale permettant d'en calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. Mais toutes ces définitions coïncident dans le cas des fonctions continues sur un segment. Le symbole mathématique représentant l'intégration, le « S long » : , est appelé signe somme, signe d'intégration, signe intégral ou intégrateur ; il a été introduit par Leibniz pour noter l'intégrale. Le présent article décrit l'intégrale des fonctions d'une variable réelle. Pour les extensions aux fonctions de plusieurs variables, voir les articles Intégrale curviligne, Intégrale multiple et Intégrale de surface. Le cas général de l'intégrale des fonctions définies sur un espace mesurable muni d'une mesure positive est traité dans l'article Intégrale de Lebesgue. Une autre extension est l'intégrale des formes différentielles. (fr)
  • 積分法(せきぶんほう、英: integral calculus)は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される x の関数 f の定積分 (独: bestimmtes Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x = a と x = b で囲まれる xy-平面の領域の符号付面積として定義される。 「積分」(integral) という術語は、原始関数すなわち、微分して与えられた関数 f となるような別の関数 F の概念を指すこともあり、その場合不定積分と呼んで のように書く。 積分法の原理は17世紀後半にニュートンとライプニッツが独立に定式化した。微分積分学の基本定理の発見により、それまで全く別々に発展していた積分法と微分法は深く関連付けられることになる。定理の主張は、f が閉区間 [a, b] 上の実数値連続関数ならば、f の原始関数 F が既知であるとき、その区間上の f の定積分は で与えられるというものである。こうして積分と微分が微分積分学の基本的な道具となり、科学および工学において様々な応用が成された。微分積分学の創始者たちは、積分を無限小の幅を持つ矩形の無限和と考えたが、数学的に厳密な積分の定義を与えたのはリーマンである。その定義は、曲線で囲まれた領域を薄い短冊に分解して領域の面積を近似する限定的な手順に基づくものであった。19世紀に入ってから、より洗練された積分の概念が現れ始め、積分が行える領域や関数の種類が一般化されていく。線積分は二変数や三変数の関数に対して定義され、積分区間 [a, b] を平面や空間の二点を繋ぐある種の曲線で置き換えるものになっている。同様に面積分は曲線ではなく三次元空間内の曲面を考えることで得られる。また、微分形式の積分は現代的な微分幾何学において基本的な役割を演じる。これらの積分の一般化はもとは物理学の要請から生じたものであり、多くの物理法則(特に古典電磁気学の諸法則)の定式化に重要な役割を果たした。 これらを含め、現代的な積分の概念は様々に存在する。最も流布している積分論は、ルベーグの創始した、ルベーグ積分と呼ばれる数学的な抽象論であろう。 (ja)
  • Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez „całkę” rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną, choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Polskojęzyczna nazwa została wprowadzona przez Jana Śniadeckiego jako tłumaczenie integral (wraz z „różniczką” jako tłumaczeniem dyferencjału). (pl)
  • 积分(英語:Integral)是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分 可以在数值上理解为在坐标平面上,由曲线(),直线,以及轴围成的曲边梯形的面积值。 的不定积分(或原函数)是指任何满足导数是函数的函数。一个函数的不定积分不是唯一的:只要是的不定积分,那么与之相差一个常数的函数 也是的不定积分。 微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理,由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独立发现。微积分基本定理将积分与微分建立联系,通过找出一个函数的原函数,即可方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具,并在自然科学和工程学中得到广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出,因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要,并体现在许多重要的物理定律中,尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论,主要是由昂利·勒貝格建立的勒贝格积分。 (zh)
  • Integration eller integrering är en typ av matematisk operation på en funktion, där resultatet blir funktionens integral. Integraler används för att beskriva och beräkna geometriska och fysikaliska storheter som längd, area, massa, volym och flöde, där den kan beskrivas som en summa av en variabel. För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis: där F är en primitiv funktion till f. Integrationsteori är ett mycket viktigt område inom matematisk analys och sannolikhetsteori med väntevärden. Den hör även samman med måtteorin där man studerar storleken på mängder, och integrationteorins historia hör i många stycken samman med måtteorins historia. Pionjärerna inom integrationsteorin är Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Bernhard Riemann, Henri Lebesgue och . Newton och Leibniz identifierade integraler med intuitiv kalkyl, integralkalkyl, och kopplade ihop integraler med derivata. Bernard Riemann konstruerade en mer exakt integral, Riemannintegralen, för funktioner i ℝ. Henri Lebesgue utvecklade den revolutionära Lebesgueintegralen som använder måtteori. Percy Daniell definierade en generell integral, , som inte behöver måtteoretiska begrepp. (sv)
  • Інтегра́л — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Виникає під час розв'язування задач про знаходження площі кривої, знаходження пройденого шляху при нерівномірному русі та інших подібних задачах. Ви́значений інтегра́л — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральних функціях і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції. Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо. (uk)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 15532 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 64893 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 1073598114 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:align
  • center (en)
  • right (en)
dbp:alt
  • Lower Darboux sum example (en)
  • Upper Darboux sum example (en)
  • Riemann integral approximation example (en)
  • Riemann sum convergence (en)
dbp:caption
  • Darboux lower sums of the function (en)
  • Darboux upper sums of the function (en)
  • Integral example with irregular partitions (en)
  • Riemann sums converging (en)
dbp:direction
  • horizontal (en)
  • vertical (en)
dbp:header
  • Darboux sums (en)
dbp:headerAlign
  • center (en)
dbp:id
  • p/i051340 (en)
dbp:image
  • Riemann Integration and Darboux Lower Sums.gif (en)
  • Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif (en)
  • Riemann sum convergence.png (en)
dbp:title
  • Integral (en)
dbp:width
  • 200 (xsd:integer)
  • 300 (xsd:integer)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez „całkę” rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną, choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Polskojęzyczna nazwa została wprowadzona przez Jana Śniadeckiego jako tłumaczenie integral (wraz z „różniczką” jako tłumaczeniem dyferencjału). (pl)
  • 积分(英語:Integral)是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分 可以在数值上理解为在坐标平面上,由曲线(),直线,以及轴围成的曲边梯形的面积值。 的不定积分(或原函数)是指任何满足导数是函数的函数。一个函数的不定积分不是唯一的:只要是的不定积分,那么与之相差一个常数的函数 也是的不定积分。 微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理,由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独立发现。微积分基本定理将积分与微分建立联系,通过找出一个函数的原函数,即可方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具,并在自然科学和工程学中得到广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出,因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要,并体现在许多重要的物理定律中,尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论,主要是由昂利·勒貝格建立的勒贝格积分。 (zh)
  • في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر. وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل. بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:x=a, x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي: . (ar)
  • El concepte d'integració és un concepte fonamental de les matemàtiques avançades, especialment en els camps del càlcul i de l'anàlisi matemàtica. Bàsicament, una integral és una generalització de la suma d'infinits sumatoris, infinitament petits.Una integral assigna números a funcions d'una manera que pot descriure el desplaçament, l'àrea, el volum i altres conceptes que sorgeixen combinant dades infinitesimals. La integració és una de les dues principals operacions de càlcul, amb la seva inversa, derivació, sent l'altra. (ca)
  • Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Mějme funkci ƒ reálné proměnné x na intervalu <a, b>. Pojem (určitý) integrál vzniká z potřeby vyjádřit obsah plochy ve dvojrozměrné rovině, který je omezen grafem funkce ƒ, osou x a svislými přímkami x = a a x = b. Pojmem integrál se občas označuje primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce ƒ. To celé se pak nazývá neurčitý integrál a zapisuje se Integrály, o nichž se píše níže, jsou určité integrály. (cs)
  • Η ολοκλήρωση είναι στοιχειώδης έννοια των προχωρημένων μαθηματικών, ειδικά στα πεδία του απειροστικού λογισμού και της μαθηματικής ανάλυσης. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f με ανεξάρτητη μεταβλητή την x. Έστω υποσύνολο D του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Έστω (μεταβλητή) P, n στοιχείων, του συνόλου D, με λεπτότητα ∥P∥. Με απλά λόγια διαμέριση λέγεται οποιοσδήποτε τρόπος κομματιάζει το D σε n κομμάτια, ενώ η λεπτότητα δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι της διαμέρισης. Ένα κομμάτι της διαμέρισης συμβολίζεται με . Σε κάθε στοιχείο δxi της διαμέρισης (δηλαδή σε κάθε κομμάτι) επιλέγεται ένα σημείο xi και υπολογίζεται η f(xi). Έστω το άθροισμα: (el)
  • Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafikaĵo de funkcio kaj la x-akso. Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafikaĵo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio kun la limoj kaj estas Nedifinita integralo estas integralo, kies limoj ne estas specifitaj. Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de kie a estas konstanto sendependa de x. (eo)
  • Integrala, matematikan, infinitu batugai azkengabe txikiren batuketa da. Kalkulu integrala kalkulu infinitesimalaren parte bat da; batura baten elementu kopurua handitzean eta baturaren elementuen neurria txikitzean, baturak duen limitea aztertzen du. Kalkulu integralaren oinarri intuitiboa integral mugatuaren definizioa da; funtzio baten adierazpen grafikoa den kurbak, aldagai askearen bi baliok ( eta adibidez) eta ardatzak mugatzen duten azaleraren adierazpena alegia. (eu)
  • La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. (es)
  • En mathématiques, l'intégration est le fait de calculer une intégrale. C'est aussi une des deux branches du calcul infinitésimal, appelée également calcul intégral, l'autre étant le calcul différentiel. Les opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...) et de calcul de probabilités étant souvent soumises à des calculs d'intégrales, l'intégration est un outil scientifique fondamental. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire. (fr)
  • In mathematics, an integral assigns numbers to functions in a way that describes displacement, area, volume, and other concepts that arise by combining infinitesimal data. The process of finding integrals is called integration. Along with differentiation, integration is a fundamental, essential operation of calculus, and serves as a tool to solve problems in mathematics and physics involving the area of an arbitrary shape, the length of a curve, and the volume of a solid, among others. (en)
  • 積分法(せきぶんほう、英: integral calculus)は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される x の関数 f の定積分 (独: bestimmtes Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x = a と x = b で囲まれる xy-平面の領域の符号付面積として定義される。 「積分」(integral) という術語は、原始関数すなわち、微分して与えられた関数 f となるような別の関数 F の概念を指すこともあり、その場合不定積分と呼んで のように書く。 積分法の原理は17世紀後半にニュートンとライプニッツが独立に定式化した。微分積分学の基本定理の発見により、それまで全く別々に発展していた積分法と微分法は深く関連付けられることになる。定理の主張は、f が閉区間 [a, b] 上の実数値連続関数ならば、f の原始関数 F が既知であるとき、その区間上の f の定積分は これらを含め、現代的な積分の概念は様々に存在する。最も流布している積分論は、ルベーグの創始した、ルベーグ積分と呼ばれる数学的な抽象論であろう。 (ja)
  • Інтегра́л — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Виникає під час розв'язування задач про знаходження площі кривої, знаходження пройденого шляху при нерівномірному русі та інших подібних задачах. Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо. (uk)
  • Integration eller integrering är en typ av matematisk operation på en funktion, där resultatet blir funktionens integral. Integraler används för att beskriva och beräkna geometriska och fysikaliska storheter som längd, area, massa, volym och flöde, där den kan beskrivas som en summa av en variabel. För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis: där F är en primitiv funktion till f. (sv)
rdfs:label
  • Integral (en)
  • تكامل (ar)
  • Integrál (cs)
  • Integració (ca)
  • Ολοκλήρωμα (el)
  • Integralo (eo)
  • Integración (es)
  • Integral (eu)
  • Intégration (mathématiques) (fr)
  • Integral (in)
  • 積分法 (ja)
  • Integrale (it)
  • 적분 (ko)
  • Integraal (nl)
  • Całka (pl)
  • Integral (pt)
  • Інтеграл (uk)
  • Integral (sv)
  • Интеграл (ru)
  • 积分 (zh)
rdfs:seeAlso
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:academicDiscipline of
is dbo:knownFor of
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of
Powered by OpenLink Virtuoso    This material is Open Knowledge     W3C Semantic Web Technology     This material is Open Knowledge    Valid XHTML + RDFa
This content was extracted from Wikipedia and is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License