| dbo:abstract
|
- التكامل الدالي هو عبارة عن مجموعة من النتائج في الرياضيات والفيزياء لم يعد مجالها جزءا من الفضاء، إلا فضاء دالي. يكثر استخدامه في الإحصاء والاحتمالات، في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية وفي تحديد النهج المتكامل للمسار للجسيمات والحقول في ميكانيكا الكم. يتكون التكامل العادي من:
* دالة التكامل.
* مجال التكامل. عملية التكامل ما هي إلا إضافة قيم التكامل في دالة التكامل لكل نقطة في المجال المحدد أو المفتوح. حيث يتم تقسيم مجال التكامل إلى مناطق أصغر وأصغر. لا تختلف قيمة أي جزء صغير عن الأخر كثيرا لذلك قد يتم استبدالها بقيمة واحدة. في التكامل الدالي المجال هو مدى من الدوال، لكل دالة قيمة مختلفة يتم إضافته إلى كل نقطة في المجال وحساب الناتج. يرجع الفضل في تطوير التكامل الدالي عالم الرياضيات التشيلي بيرسي جون دانييل في مقال 1919 والأمريكي نوربرت فينر في سلسلة دراساته التي بلغت ذروتها في مقالاته عام 1921 عن الحركة البراونية. قام الثنائي بتطوير طريقة جديدة ودقيقة تعرف الآن بتكامل فينر المستخدم في تعيين احتمالية لمسار جسيم عشوائي. في حين طور ريتشارد فاينمان تكاملا داليا آخر يستخدم في حساب الخواص الكمية للأنظمة. استبدل فيه المفهوم الكلاسيكي لمسار فريد لجسيم من خلال عدد لا حصر له من المسارات الكلاسيكية. للتكامل الدالي تطبيقات هامة في التقنيات الكمية للفيزياء النظرية، حيث يتم استخدام الخصائص الجبرية للتكاملات الدالية في تطوير سلسلة تستخدم لحساب الخصائص في الكهروديناميكا الكمية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات. (ar)
- Functional integration is a collection of results in mathematics and physics where the domain of an integral is no longer a region of space, but a space of functions. Functional integrals arise in probability, in the study of partial differential equations, and in the path integral approach to the quantum mechanics of particles and fields. In an ordinary integral (in the sense of Lebesgue integration) there is a function to be integrated (the integrand) and a region of space over which to integrate the function (the domain of integration). The process of integration consists of adding up the values of the integrand for each point of the domain of integration. Making this procedure rigorous requires a limiting procedure, where the domain of integration is divided into smaller and smaller regions. For each small region, the value of the integrand cannot vary much, so it may be replaced by a single value. In a functional integral the domain of integration is a space of functions. For each function, the integrand returns a value to add up. Making this procedure rigorous poses challenges that continue to be topics of current research. Functional integration was developed by Percy John Daniell in an article of 1919 and Norbert Wiener in a series of studies culminating in his articles of 1921 on Brownian motion. They developed a rigorous method (now known as the Wiener measure) for assigning a probability to a particle's random path. Richard Feynman developed another functional integral, the path integral, useful for computing the quantum properties of systems. In Feynman's path integral, the classical notion of a unique trajectory for a particle is replaced by an infinite sum of classical paths, each weighted differently according to its classical properties. Functional integration is central to quantization techniques in theoretical physics. The algebraic properties of functional integrals are used to develop series used to calculate properties in quantum electrodynamics and the standard model of particle physics. (en)
- L'integrazione funzionale è un insieme di risultati matematici e fisici in cui il dominio di un integrale non è più una regione di spazio, ma uno spazio di funzioni. Negli integrali funzionali insorge una probabilità legata allo studio delle equazioni alle derivate parziali e nell'approccio di Feynman per la meccanica quantistica la probabilità è legata alle particelle e ai campi. In pratica Feynman formulò i seguenti postulati: 1.
* La probabilità per ogni evento è data dal modulo quadro di un'ampiezza di probabilità in campo complesso. 2.
* La ampiezza di probabilità del verificarsi di un evento si valuta sommando tutte le possibili evoluzioni del sistema nel tempo. 3.
* Il contributo probabilistico di ogni possibile evoluzione del sistema è proporzionale a , dove è la costante di Planck ridotta ed S è l'azione legata a quella particolare dinamica, che non è altro che l'integrale sul tempo dell'equazione Lagrangiana. Al fine di trovare tutte le possibili ampiezze di probabilità per un dato processo, bisogna sommare, o integrare, l'ampiezza del postulato 3 sullo spazio di tutte le possibili evoluzioni del sistema nel tempo tra lo stato iniziale e quello finale, incluse quelle evoluzioni che sono considerate assurde secondo gli standard classici. Nel calcolare l'ampiezza per una singola particella nell'andare da un punto all'altro in un tempo dato, sarebbe corretto includere le evoluzioni nelle quali la particella descrive curve elaborate, evoluzioni in cui esce fuori nello spazio esterno e rientra ancora, e così via. L'integrale sul cammino le include tutte. Non solo, esso assegna a tutte loro, non importa quanto bizzarre, ampiezze di uguale grandezza; variano solo la fase, o l'argomento del numero complesso. Il processo d'integrazione consiste nel sommare i valori della funzione integranda in ogni punto del dominio di integrazione. Facendo questa procedura rigorosa richiede una procedura di limitazione, in cui è suddiviso il dominio di integrazione in regioni sempre più piccole. Per ogni piccola regione di integrazione il valore della funzione integranda "non può variare molto" in modo tale che i valori della funzione possono essere sostituiti da un unico valore. In un integrale funzionale il dominio di integrazione è uno spazio di funzioni. L'integrazione funzionale è stato sviluppata da PJ Daniell in un documento del 1919 e da Wiener in una serie di suoi studi i quali si conclusero con delle pubblicazioni del 1921 relative al moto browniano. Feynman ha sviluppato un altro integrale funzionale, gli integrali sui cammini, utile per calcolare le proprietà quantistiche dei sistemi. L'integrazione funzionale è fondamentale per le tecniche di quantizzazione in fisica teorica. (it)
- Функциональный интеграл (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям, интеграл Фейнмана) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории поля, теории струн и т. д.) и статистической физике, а также при изучении ряда классов стохастических процессов вообще. Под функциональным интегрированием формально имеется в виду вычисление интеграла некоторого функционала Ф по пространству функций x(t) или какому-то подмножеству такого пространства: который определяется как предел (конечномерного) интеграла по пространству неких конечномерных аппроксимаций функций x(t) при стремлении размерности этих аппроксимаций к бесконечности; обычный и наиболее простой способ заключается в рассмотрении функции x на конечном множестве точек , определяя тогда функциональный интеграл в простейшем случае равномерного разбиения, которым можно и ограничиться, как где под имеется в виду соответствующая аппроксимация функционала Ф[x], интегрирование же подразумевается отдельно по от до (в случае фиксированных и по ним интегрировать не нужно). Корректность уже этого определения находится под вопросом в том смысле, что не доказано даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, не говоря уж о более общей постановке вопроса, само существование предела (в частности, его одинаковость при выборе разных типов разбиения; более того, в ряде примеров разные типы дают разный результат) и нет во многих случаях способа указания чётких критериев выбора «правильного» типа разбиения, который приведёт именно к нужному результату, а значит корректность определения меры интегрирования не доказана даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, по крайней мере в обычном смысле. Также серьёзную трудность представляет точное вычисление таких интегралов (за исключением гауссова случая). Тем не менее, уже то, что точно вычисляются хотя бы интегралы гауссова типа, даёт очень много для применения метода функционального интегрирования. В частности, этот результат можно принять за определение функционального интеграла для этого случая и доказать, что, будучи так определённым, он действительно обладает свойствами интеграла: допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. д. Физический смысл функционального интеграла сводится обычно к тому, чтобы вычислить сумму (суперпозицию) некоторой величины (обычно это вероятность для классической статфизики или амплитуда вероятности для квантовой механики) по «всем» траекториям (то есть по всем доступным классической частице в случае броуновского движения и по всем, какие можно вообразить, в случае квантовой механики). (ru)
|
| rdfs:comment
|
- التكامل الدالي هو عبارة عن مجموعة من النتائج في الرياضيات والفيزياء لم يعد مجالها جزءا من الفضاء، إلا فضاء دالي. يكثر استخدامه في الإحصاء والاحتمالات، في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية وفي تحديد النهج المتكامل للمسار للجسيمات والحقول في ميكانيكا الكم. يتكون التكامل العادي من:
* دالة التكامل.
* مجال التكامل. للتكامل الدالي تطبيقات هامة في التقنيات الكمية للفيزياء النظرية، حيث يتم استخدام الخصائص الجبرية للتكاملات الدالية في تطوير سلسلة تستخدم لحساب الخصائص في الكهروديناميكا الكمية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات. (ar)
- Functional integration is a collection of results in mathematics and physics where the domain of an integral is no longer a region of space, but a space of functions. Functional integrals arise in probability, in the study of partial differential equations, and in the path integral approach to the quantum mechanics of particles and fields. (en)
- L'integrazione funzionale è un insieme di risultati matematici e fisici in cui il dominio di un integrale non è più una regione di spazio, ma uno spazio di funzioni. Negli integrali funzionali insorge una probabilità legata allo studio delle equazioni alle derivate parziali e nell'approccio di Feynman per la meccanica quantistica la probabilità è legata alle particelle e ai campi. In pratica Feynman formulò i seguenti postulati: L'integrazione funzionale è fondamentale per le tecniche di quantizzazione in fisica teorica. (it)
- Функциональный интеграл (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям, интеграл Фейнмана) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории поля, теории струн и т. д.) и статистической физике, а также при изучении ряда классов стохастических процессов вообще. Под функциональным интегрированием формально имеется в виду вычисление интеграла некоторого функционала Ф по пространству функций x(t) или какому-то подмножеству такого пространства: (ru)
|
