About: Vector space

An Entity of Type: book, from Named Graph: http://dbpedia.org, within Data Space: dbpedia.org

In mathematics, physics, and engineering, a vector space (also called a linear space) is a set of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers called scalars. Scalars are often real numbers, but some vector spaces have scalar multiplication by complex numbers or, generally, by a scalar from any mathematic field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called vector axioms (listed below in ). To specify whether the scalars in a particular vector space are real numbers or complex numbers, the terms real vector space and complex vector space are often used.

Property Value
dbo:abstract
  • الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي أو الفضاء الشعاعي كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد، التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات أعدادا حقيقية، ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى موضوعات جاءت أسفله. فضاء المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزيائية مختلفة كالقوى وغيرها. فعندما تعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق والتجميعية، فإنه يوصل إلى وصف كائن رياضي يُدعى فضاءً اتجاهياً. المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فمتعددات الحدود من الدرجة ≤n على سبيل المثال، بمعاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً. تدرس الفضاءات المتجهية في إطار الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي ببُعده. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى كالمعيار والجداء الداخلي. تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار الهندسة التحليلية والمصفوفات والمعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال. حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات والعلوم والهندسة، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور، ولتقنيات حلحلة المعادلات التفاضلية الجزئية. انظر أيضا إلى موتر ومتعدد شُعب وجبر تجريدي. (ar)
  • Vektorový prostor (též lineární prostor, anglicky vector space) je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (angl. vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru. S konceptem vektorového prostoru se lze setkat v nejrůznějších odvětvích matematiky i fyziky. Tvoří základ, v rámci něhož lze elegantně popisovat a řešit jak úlohy numerické matematiky, tak třeba i úlohy chování fyzikálních systémů v klasické či kvantové mechanice. (cs)
  • Ο διανυσματικός χώρος είναι μια η οποία αποτελείται από μια συλλογή στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα. Τα διανύσματα μπορούν να προστίθενται και να πολλαπλασιάζονται (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως βαθμωτά. Τα βαθμωτά είναι συνήθως πραγματικοί αριθμοί, αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, ρητών αριθμών ή γενικά οποιουδήποτε σώματος. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται αξιώματα, παρατίθενται . Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των ευκλείδειων διανυσμάτων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν φυσικές ποσότητες όπως είναι οι δυνάμεις• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να προστεθούν για να παράγουν ένα τρίτο και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύναμης με έναν πραγματικό πολλαπλασιαστή, είναι ένα νέο διάνυσμα δύναμης. Από γεωμετρικής άποψης, τα διανύσματα που εκπροσωπούν μετατοπίσεις στο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο αποτελούν επίσης διανυσματικούς χώρους. Οι διανυσματικοί χώροι είναι αντικείμενο μελέτης της γραμμικής άλγεβρας μιας και χαρακτηρίζονται από τη διάστασή τους, η οποία καθορίζει τον αριθμό των ανεξάρτητων κατευθύνσεων στο χώρο. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να να εμπλουτιστεί με πρόσθετη δομή όπως είναι το και το εσωτερικό γινόμενο. Ιστορικά, οι πρώτες ιδέες που οδήγησαν στους διανυσματικούς χώρους μπορούν να εντοπιστούν πίσω στον χρόνο όσον αφορά την αναλυτική γεωμετρία του 17ου αιώνα, τους πίνακες, τα συστήματα εξισώσεων ευθείας, και τα Ευκλείδεια διανύσματα. Η σύγχρονη, πιο αφηρημένη αναφορά έγινε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1888. Σήμερα οι διανυσματικοί χώροι βρίσκουν εφαρμογή στο σύνολο των μαθηματικών, της επιστήμης και στις επιστήμες μηχανικών. (el)
  • En abstrakta algebro vektora spaco super kampo (ankaŭ nomata lineara spaco) estas algebra strukturo kreita de nemalplena aro, kun du operacioj (unu interna, la alia ekstera) kaj 8 fundamentaj ecoj.Oni uzas notacion + (vektora adicio) por la interna operacio, kaj (skalara multipliko) por la ekstera operacio. La triopo estas vektora spaco super , se validas la sekvaj aksiomoj: * estas komuta grupo * , kie 1 estas la neŭtra elemento de * * * La elementoj de (kiun oni sinekdoĥe, matematike ne tute precize, nomas simple vektora spaco) nomiĝas vektoroj kaj la elementoj de nomiĝas skalaroj. (eo)
  • Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind. Die Skalare, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Körper. Sehr oft handelt es sich dabei um den Körper der reellen Zahlen oder den Körper der komplexen Zahlen. Man spricht dann von einem reellen Vektorraum bzw. einem komplexen Vektorraum. Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt. Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert. (de)
  • Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean bektore espazioa hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da. (eu)
  • En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares. (es)
  • Is cnuasach rudaí a dtugtar veicteoirí orthu é spás veicteoireach, rudaí is féidir a shuimiú agus a iolrú (a “scálú”) le huimhreacha a dtugtar scálaigh orthu. Is minic a shíltear gur fíor-uimhreacha iad scálaigh, ach chomh maith leo sin tá spáis veicteoireacha ann le hiolrú scálach trí uimhreacha casta nó trí uimhreacha cóimheasta. Caithfidh suimiú scálach agus iolrú scálach riachtanais áirithe a chomhlíonadh a dtugtar “aicsímí” (buntairiscintí a nglactar leis go bhfuil siad fíor) orthu. (ga)
  • En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou alors pris dans n'importe quel corps. Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). (fr)
  • 数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、英: vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、英: linear space)は、ベクトル(英: vector)と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。 ベクトルにはが定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(スカラー乗法)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー乗法の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件()を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられる。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによってや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない (英: coordinate-free) で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。 (ja)
  • In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da: * un campo, i cui elementi sono detti scalari; * un insieme, i cui elementi sono detti vettori; * due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà. Si tratta di una struttura algebrica di grande importanza, ed è una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario (o dello spazio tridimensionale) dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Gli spazi vettoriali più utilizzati sono quelli sui campi reale e complesso , denominati rispettivamente "spazi vettoriali reali" e "spazi vettoriali complessi". Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono innanzitutto per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella teoria dei segnali, nella biologia molecolare, ecc. Negli spazi vettoriali si studiano anche sistemi di equazioni e disequazioni e in particolare quelli che servono alla programmazione matematica e in genere alla ricerca operativa. Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo. (it)
  • In mathematics, physics, and engineering, a vector space (also called a linear space) is a set of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers called scalars. Scalars are often real numbers, but some vector spaces have scalar multiplication by complex numbers or, generally, by a scalar from any mathematic field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called vector axioms (listed below in ). To specify whether the scalars in a particular vector space are real numbers or complex numbers, the terms real vector space and complex vector space are often used. Certain sets of Euclidean vectors are common examples of a vector space. They represent physical quantities such as forces, where any two forces of the same type can be added to yield a third, and the multiplication of a force vector by a real multiplier is another force vector. In the same way (but in a more geometric sense), vectors representing displacements in the plane or three-dimensional space also form vector spaces. Vectors in vector spaces do not necessarily have to be arrow-like objects as they appear in the mentioned examples: vectors are regarded as abstract mathematical objects with particular properties, which in some cases can be visualized as arrows. Vector spaces are the subject of linear algebra and are well characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. Infinite-dimensional vector spaces arise naturally in mathematical analysis as function spaces, whose vectors are functions. These vector spaces are generally endowed with some additional structure such as a topology, which allows the consideration of issues of proximity and continuity. Among these topologies, those that are defined by a norm or inner product are more commonly used (being equipped with a notion of distance between two vectors). This is particularly the case of Banach spaces and Hilbert spaces, which are fundamental in mathematical analysis. Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as the 17th century's analytic geometry, matrices, systems of linear equations, and Euclidean vectors. The modern, more abstract treatment, first formulated by Giuseppe Peano in 1888, encompasses more general objects than Euclidean space, but much of the theory can be seen as an extension of classical geometric ideas like lines, planes and their higher-dimensional analogs. Today, vector spaces are applied throughout mathematics, science and engineering. They are the appropriate linear-algebraic notion to deal with systems of linear equations. They offer a framework for Fourier expansion, which is employed in image compression routines, and they provide an environment that can be used for solution techniques for partial differential equations. Furthermore, vector spaces furnish an abstract, coordinate-free way of dealing with geometrical and physical objects such as tensors. This in turn allows the examination of local properties of manifolds by linearization techniques. Vector spaces may be generalized in several ways, leading to more advanced notions in geometry and abstract algebra. This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces. (en)
  • 선형대수학에서, 벡터 공간(vector空間, 영어: vector space, 문화어: 벡토르공간, 선형공간) 또는 선형 공간(線型空間, 영어: linear space)은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(영어: vector, 문화어: 벡토르)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다. (ko)
  • Een vectorruimte, ook lineaire ruimte genoemd, is een wiskundige structuur die wordt gevormd door een verzameling elementen die vectoren worden genoemd, die bij elkaar kunnen worden opgeteld en die kunnen worden vermenigvuldigd met getallen die in deze context scalairen worden genoemd. Vaak zijn de scalairen reële getallen, maar men kan ook vectorruimten beschouwen waarin de scalairen complexe getallen, rationale getallen of heel algemeen elementen van een willekeurig veld (Vlaams) of lichaam (Nederlands) zijn. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst). De euclidische vectorruimte is voor elke dimensie een voorbeeld van een vectorruimte. De twee- en driedimensionale euclidische vectorruimte worden vaak gebruikt om natuurkundige grootheden, zoals krachten weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, de resultante, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een krachtvector. Als meer meetkundig voorbeeld, vormen vectoren die translaties in het vlak of in de driedimensionale ruimte weergeven, ook vectorruimten. Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een norm of een inwendig product, toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de wiskundige analyse, vooral in de gedaante van oneindig-dimensionale functieruimten waarvan de vectoren functies zijn. Een belangrijke vraag is of een rij vectoren naar een bepaalde vector . Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om begrippen als nabijheid en continuïteit in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte topologische vectorruimten, met name banachruimten en hilbertruimten, hebben een rijkere theorie. Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels lineaire vergelijkingen en euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de euclidische ruimte. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën, zoals lijnen, vlakken en hun hogerdimensionale generalisaties. Vectorruimten vindt men in de gehele wiskunde, de natuurwetenschappen en de techniek. Zij vormen het geschikte algebraïsche begrip om met stelsels lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de fourierreeksen, die worden gebruikt in algoritmen voor beeldcompressie, en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor partiële differentiaalvergelijkingen. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte, manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals tensoren, die op hun beurt het onderzoek van de lokale eigenschappen van variëteiten door linearisatietechnieken mogelijk maken. Het begrip vectorruimte kan ook in verschillende richtingen worden gegeneraliseerd, wat leidt tot geavanceerde begrippen in de meetkunde en de abstracte algebra. (nl)
  • Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы. Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных , где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение. Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах. (ru)
  • Przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa – rodzaj struktury algebraicznej złożonej z dwóch zbiorów oraz dwóch działań: wewnętrznego i zewnętrznego. Elementy tych zbiorów są nazywane wektorami i skalarami, a działania to dodawanie wektorów i skalowanie ich, czyli mnożenie przez skalary. Działania te muszą przy tym spełniać pewne aksjomaty, wymienione niżej (patrz Definicja). Formalnie przestrzeń liniowa to krotka opisująca moduł nad ciałem, zwykle liczbowym, przez co jest to rodzaj grupy przemiennej wzbogaconej o dodatkowy zbiór skalarów i działanie mnożenia przez te elementy. Przestrzenie wektorowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej, definiujący tę dziedzinę. Struktura ta jest dalekim uogólnieniem przestrzeni euklidesowych lub ściślej: kartezjańskich, znanych z geometrii; właściwości wektorów dwu- i trójwymiarowych stanowią intuicyjny model bardziej abstrakcyjnych odpowiedników. Aksjomatyczną definicję przestrzeni wektorowej spełniają nie tylko skończone ciągi liczb rzeczywistych, ale też odpowiadające im wielomiany ustalonego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, macierze ustalonego wymiaru, ciągi nieskończone, funkcje rzeczywiste, operatory różniczkowe i inne obiekty, w tym różne zbiory liczbowe. Przestrzenie liniowe są przez to wspólnym językiem różnych dziedzin matematyki jak teoria liczb, geometria, algebra i analiza; są m.in. fundamentem analizy funkcjonalnej, a przez to narzędziem XX-wiecznej teorii równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego, analizy harmonicznej i fizyki matematycznej. Znajdują zastosowanie w różnych naukach ścisłych i technicznych, w tym mechanice kwantowej i kryptologii. Sformalizowano je na przełomie XIX i XX wieku, w czym mieli udział Hermann Grassmann, Giuseppe Peano, Hermann Weyl i inni. (pl)
  • Um espaço vetorial (também chamado de espaço linear) é uma coleção de objetos chamada vetores, que podem ser somados um a outro e multiplicados ("escalonados") por números, denominados escalares. Os números reais são escalares frequentemente utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por números complexos, números racionais; em geral, por qualquer corpo. As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar precisam satisfazer certas propriedades, denominadas axiomas (listados abaixo, em ). Para explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos espaço vetorial real e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados. Vetores euclidianos são um exemplo de espaço vetorial. Eles representam quantidades físicas como forças: quaisquer duas forças (do mesmo tipo) podem ser somadas para resultar em uma terceira, enquanto que a multiplicação de um vetor de força por um número real gera outro vetor de força. De forma semelhante, porém com um sentido mais geométrico, vetores que representam deslocamentos em um plano ou em um espaço tridimensional também formam espaços vetoriais. Vetores em espaços vetoriais não necessitam ser objetos do tipo seta, como aparecem nos exemplos mencionados acima; vetores são tratados como entidades matemáticas abstratas com propriedades particulares, que, em alguns casos, podem ser visualizados por setas. Espaços vetoriais são o objeto de estudo da álgebra linear e são bem caracterizados pela sua dimensão, que, grosso modo, especifica o número de direções independentes no espaço. Espaços vetoriais de dimensão infinita surgem naturalmente em análise matemática, como em espaços funcionais, cujos vetores são funções. Esses espaços vetoriais são munidos em geral de uma estrutura adicional, que pode ser uma topologia, permitindo a consideração de conceitos como proximidade e continuidade. Dentre essas topologias, aquelas que são definidas por uma norma ou um produto interno são mais frequentemente utilizadas, por possuírem uma noção de distância entre dois vetores. Esse é o caso particularmente com os espaços de Banach e os espaços de Hilbert, que são fundamentais em análise matemática. Historicamente, as primeiras ideias que levaram ao conceito de espaços vetoriais podem ser associadas aos avanços, durante o século XVII, nas áreas de geometria analítica, matrizes, sistemas de equações lineares, e vetores euclidianos. O tratamento moderno e mais abstrato, formulado pela primeira vez por Giuseppe Peano em 1888, contém objetos mais gerais que o espaço euclidiano, mas muito da teoria pode ser visto como uma extensão de ideias da geometria clássica como retas, planos, e seus análogos de dimensão mais alta. Atualmente, os espaços vetoriais permeiam a matemática, a ciência e a engenharia. Eles são a noção apropriada da álgebra linear para lidar com sistemas de equações lineares. Eles oferecem um escopo para as séries de Fourier, que são utilizadas em métodos de compressão de imagens, e eles fornecem um ambiente que pode ser utilizado para técnicas de solução de equações diferenciais parciais. Ademais, espaços vetoriais fornecem uma maneira abstrata, livre de coordenadas, de lidar com objetos geométricos e físicos como tensores. Isso por sua vez permite a análise de propriedades locais variedades por técnicas de linearização. Espaços vetoriais podem ser generalizados de diversas maneiras, acarretando noções mais avançadas em geometria e em álgebra abstrata. Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais. (pt)
  • 向量空間是现代数学中的一个基本概念,是線性代數研究的基本对象,是指一組向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性,结合律。 在现代数学中,向量的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 (zh)
  • Ett linjärt rum, även kallat vektorrum, är en mängd med en linjär struktur. Två element i mängden kan sammanfogas (adderas) till ett nytt element, som även det tillhör mängden: Ett element i mängden kan "multipliceras" med ett element från kroppen . Då bildas ett nytt element som även det tillhör mängden: Detta kan också formuleras som att mängden är sluten under addition och multiplikation med skalärer. "Skalär" används oftast som en synonym för reellt tal, men det går också att definiera vektorrum mer allmänt genom att låta skalär betyda element i en bestämd kropp. Om exempelvis skalär betyder komplext tal, så har man ett komplext linjärt rum. "Sammanfogningen" och "multiplikationen" har samma grundläggande egenskaper som vanlig addition och multiplikation. (sv)
  • Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр. Прикладом векторного простору є Евклідові вектори. Вони відображають фізичні величини такі як сили: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш геометричному сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у тривимірному просторі також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певними властивостями, які в деяких випадках можна зобразити у вигляді направлених відрізків (стрілок). Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри». У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір. (uk)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 32370 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 111487 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 1073301570 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:id
  • T/t092180 (en)
  • p/v096520 (en)
dbp:last
  • BSE-3 (en)
dbp:title
  • Tangent plane (en)
  • Vector space (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
gold:hypernym
rdf:type
rdfs:comment
  • Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean bektore espazioa hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da. (eu)
  • En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares. (es)
  • Is cnuasach rudaí a dtugtar veicteoirí orthu é spás veicteoireach, rudaí is féidir a shuimiú agus a iolrú (a “scálú”) le huimhreacha a dtugtar scálaigh orthu. Is minic a shíltear gur fíor-uimhreacha iad scálaigh, ach chomh maith leo sin tá spáis veicteoireacha ann le hiolrú scálach trí uimhreacha casta nó trí uimhreacha cóimheasta. Caithfidh suimiú scálach agus iolrú scálach riachtanais áirithe a chomhlíonadh a dtugtar “aicsímí” (buntairiscintí a nglactar leis go bhfuil siad fíor) orthu. (ga)
  • 선형대수학에서, 벡터 공간(vector空間, 영어: vector space, 문화어: 벡토르공간, 선형공간) 또는 선형 공간(線型空間, 영어: linear space)은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(영어: vector, 문화어: 벡토르)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다. (ko)
  • 向量空間是现代数学中的一个基本概念,是線性代數研究的基本对象,是指一組向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性,结合律。 在现代数学中,向量的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 (zh)
  • الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي أو الفضاء الشعاعي كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد، التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات أعدادا حقيقية، ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى موضوعات جاءت أسفله. فضاء المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزيائية مختلفة كالقوى وغيرها. (ar)
  • Vektorový prostor (též lineární prostor, anglicky vector space) je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (angl. vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru. S konceptem vektorového prostoru se lze setkat v nejrůznějších odvětvích matematiky i fyz (cs)
  • Ο διανυσματικός χώρος είναι μια η οποία αποτελείται από μια συλλογή στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα. Τα διανύσματα μπορούν να προστίθενται και να πολλαπλασιάζονται (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως βαθμωτά. Τα βαθμωτά είναι συνήθως πραγματικοί αριθμοί, αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, ρητών αριθμών ή γενικά οποιουδήποτε σώματος. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται αξιώματα, παρατίθενται . Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των ευκλείδειων διανυσμάτων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν φυσικές ποσότητες όπως είναι οι δυνάμεις• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να πρ (el)
  • Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind. (de)
  • En abstrakta algebro vektora spaco super kampo (ankaŭ nomata lineara spaco) estas algebra strukturo kreita de nemalplena aro, kun du operacioj (unu interna, la alia ekstera) kaj 8 fundamentaj ecoj.Oni uzas notacion + (vektora adicio) por la interna operacio, kaj (skalara multipliko) por la ekstera operacio. La triopo estas vektora spaco super , se validas la sekvaj aksiomoj: * estas komuta grupo * , kie 1 estas la neŭtra elemento de * * * (eo)
  • En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou alors pris dans n'importe quel corps. (fr)
  • In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da: * un campo, i cui elementi sono detti scalari; * un insieme, i cui elementi sono detti vettori; * due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà. Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo. (it)
  • 数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、英: vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、英: linear space)は、ベクトル(英: vector)と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。 ベクトルにはが定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(スカラー乗法)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー乗法の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件()を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。 (ja)
  • In mathematics, physics, and engineering, a vector space (also called a linear space) is a set of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers called scalars. Scalars are often real numbers, but some vector spaces have scalar multiplication by complex numbers or, generally, by a scalar from any mathematic field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called vector axioms (listed below in ). To specify whether the scalars in a particular vector space are real numbers or complex numbers, the terms real vector space and complex vector space are often used. (en)
  • Een vectorruimte, ook lineaire ruimte genoemd, is een wiskundige structuur die wordt gevormd door een verzameling elementen die vectoren worden genoemd, die bij elkaar kunnen worden opgeteld en die kunnen worden vermenigvuldigd met getallen die in deze context scalairen worden genoemd. Vaak zijn de scalairen reële getallen, maar men kan ook vectorruimten beschouwen waarin de scalairen complexe getallen, rationale getallen of heel algemeen elementen van een willekeurig veld (Vlaams) of lichaam (Nederlands) zijn. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst). (nl)
  • Przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa – rodzaj struktury algebraicznej złożonej z dwóch zbiorów oraz dwóch działań: wewnętrznego i zewnętrznego. Elementy tych zbiorów są nazywane wektorami i skalarami, a działania to dodawanie wektorów i skalowanie ich, czyli mnożenie przez skalary. Działania te muszą przy tym spełniać pewne aksjomaty, wymienione niżej (patrz Definicja). Formalnie przestrzeń liniowa to krotka opisująca moduł nad ciałem, zwykle liczbowym, przez co jest to rodzaj grupy przemiennej wzbogaconej o dodatkowy zbiór skalarów i działanie mnożenia przez te elementy. Przestrzenie wektorowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej, definiujący tę dziedzinę. (pl)
  • Um espaço vetorial (também chamado de espaço linear) é uma coleção de objetos chamada vetores, que podem ser somados um a outro e multiplicados ("escalonados") por números, denominados escalares. Os números reais são escalares frequentemente utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por números complexos, números racionais; em geral, por qualquer corpo. As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar precisam satisfazer certas propriedades, denominadas axiomas (listados abaixo, em ). Para explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos espaço vetorial real e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados. (pt)
  • Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд (ru)
  • Ett linjärt rum, även kallat vektorrum, är en mängd med en linjär struktur. Två element i mängden kan sammanfogas (adderas) till ett nytt element, som även det tillhör mängden: Ett element i mängden kan "multipliceras" med ett element från kroppen . Då bildas ett nytt element som även det tillhör mängden: "Sammanfogningen" och "multiplikationen" har samma grundläggande egenskaper som vanlig addition och multiplikation. (sv)
  • Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр. Прикладом векторного простору є Евклідові вектори. Вони відображають фізичні величини такі як сили: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш геометричному сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у тривимірному просторі також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певним (uk)
rdfs:label
  • فضاء متجهي (ar)
  • Espai vectorial (ca)
  • Vektorový prostor (cs)
  • Διανυσματικός χώρος (el)
  • Vektorraum (de)
  • Vektora spaco (eo)
  • Espacio vectorial (es)
  • Bektore espazio (eu)
  • Espace vectoriel (fr)
  • Spás veicteoireach (ga)
  • Ruang vektor (in)
  • ベクトル空間 (ja)
  • Spazio vettoriale (it)
  • Vector space (en)
  • 벡터 공간 (ko)
  • Przestrzeń liniowa (pl)
  • Vectorruimte (nl)
  • Векторное пространство (ru)
  • Espaço vetorial (pt)
  • Векторний простір (uk)
  • Linjärt rum (sv)
  • 向量空间 (zh)
owl:differentFrom
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:knownFor of
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is dbp:knownFor of
is rdfs:seeAlso of
is foaf:primaryTopic of
Powered by OpenLink Virtuoso    This material is Open Knowledge     W3C Semantic Web Technology     This material is Open Knowledge    Valid XHTML + RDFa
This content was extracted from Wikipedia and is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License