| dbo:abstract
|
- En álgebra, el lema de evitación de ideales primos dice que si es un anillo, un ideal y ideales primos, tales que para todo . Entonces existe tal que para todo . Hay muchas variantes de este lema (cf. The Stacks project). (es)
- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Supposons la propriété montrée en n – 1 (n > 2) et (en raisonnant par l'absurde) que I n'est contenu dans aucun des Pi. Par hypothèse de récurrence, pour tout k ≤ n, il existe xk dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres Pi. On a alors xk ∈ Pk. Considérons l'élément x = xn + x1x2…xn–1 de I. On a xn ∈ Pn et x1x2…xn–1 ∉ Pn (car Pn est premier) donc x ∉ Pn et, pour tout k < n, xn ∉ Pk et x1x2…xn–1 ∈ Pk donc x ∉ Pk. Ainsi, x n'appartient à aucun Pi. Cette contradiction termine la démonstration. Il existe une version pour les anneaux gradués : Théorème — Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient P1, … , Pn des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des Pi. Alors I est contenu dans l'un des Pi. Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers Pi, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des Pi. En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine. Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéauxet Alors I est contenu dans la réunion des Ji (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des Ji. Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour Pi des idéaux quelconques. (fr)
- In algebra, the prime avoidance lemma says that if an ideal I in a commutative ring R is contained in a union of finitely many prime ideals Pi's, then it is contained in Pi for some i. There are many variations of the lemma (cf. Hochster); for example, if the ring R contains an infinite field or a finite field of sufficiently large cardinality, then the statement follows from a fact in linear algebra that a vector space over an infinite field or a finite field of large cardinality is not a finite union of its proper vector subspaces. (en)
- У комутативній алгебрі лема про уникнення простих ідеалів стверджує: Нехай R — комутативне кільце і I — ідеал у кільці R, який є підмножиною об'єднання скінченної кількості простих ідеалів P1, … , Pn. Тоді I міститься у деякому із простих ідеалів Pi. Існує також версія для градуйованих кілець: Нехай B — комутативне градуйоване кільце з одиницею. Нехай P1, … , Pn є простими ідеалами кільця B і I є однорідним ідеалом у B породженим елементами додатного порядку. Припустимо кожен однорідний елемент ідеалу I належить об'єднанню ідеалів Pi. Тоді I є підмножиною одного із ідеалів Pi. Лема найчастіше використовується у такому виді: якщо ідеал I не є підмножиною жодного простого ідеалу Pi, то існує елемент у I, що не належить жодному із Pi. В алгебричній геометрії, внаслідок леми, якщо у афінній схемі SpecR є задано скінченна кількість точок, що не належать замкнутій множині V(I), тоді ці точки також не належать деякій замкнутій множині V(f), що містить V(I). З версії для градуйованих кілець випливає, що у проективному многовиді кожна скінченна множина точок належить деякій відкритій афінній підмножині. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En álgebra, el lema de evitación de ideales primos dice que si es un anillo, un ideal y ideales primos, tales que para todo . Entonces existe tal que para todo . Hay muchas variantes de este lema (cf. The Stacks project). (es)
- In algebra, the prime avoidance lemma says that if an ideal I in a commutative ring R is contained in a union of finitely many prime ideals Pi's, then it is contained in Pi for some i. There are many variations of the lemma (cf. Hochster); for example, if the ring R contains an infinite field or a finite field of sufficiently large cardinality, then the statement follows from a fact in linear algebra that a vector space over an infinite field or a finite field of large cardinality is not a finite union of its proper vector subspaces. (en)
- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Il existe une version pour les anneaux gradués : (fr)
- У комутативній алгебрі лема про уникнення простих ідеалів стверджує: Нехай R — комутативне кільце і I — ідеал у кільці R, який є підмножиною об'єднання скінченної кількості простих ідеалів P1, … , Pn. Тоді I міститься у деякому із простих ідеалів Pi. Існує також версія для градуйованих кілець: Нехай B — комутативне градуйоване кільце з одиницею. Нехай P1, … , Pn є простими ідеалами кільця B і I є однорідним ідеалом у B породженим елементами додатного порядку. Припустимо кожен однорідний елемент ідеалу I належить об'єднанню ідеалів Pi. Тоді I є підмножиною одного із ідеалів Pi. (uk)
|
