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| - Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 March 1845 – January 6 1918) was a German mathematician, born in Russia. He is best known as the creator of set theory, which has become a fundamental theory in mathematics. Cantor established the importance of one-to-one correspondence between sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are "more numerous" than the natural numbers. In fact, Cantor's theorem implies the existence of an "infinity of infinities". He defined the cardinal and ordinal numbers, and their arithmetic. Cantor's work is of great philosophical interest, a fact of which he was well aware. Cantor's theory of transfinite numbers was originally regarded as so counter-intuitive—even shocking—that it encountered resistance from mathematical contemporaries such as Leopold Kronecker and Henri Poincaré and later from Hermann Weyl and L. E. J. Brouwer, while Ludwig Wittgenstein raised philosophical objections. Some Christian theologians saw Cantor's work as a challenge to the uniqueness of the absolute infinity in the nature of God, on one occasion equating the theory of transfinite numbers with pantheism. The objections to his work were occasionally fierce: Poincaré referred to Cantor's ideas as a "grave disease" infecting the discipline of mathematics, and Kronecker's public opposition and personal attacks included describing Cantor as a "scientific charlatan", a "renegade" and a "corrupter of youth." Writing decades after Cantor's death, Wittgenstein lamented that mathematics is "ridden through and through with the pernicious idioms of set theory," which he dismissed as "utter nonsense" that is "laughable" and "wrong". Cantor's recurring bouts of depression from 1884 to the end of his life were once blamed on the hostile attitude of many of his contemporaries, but these episodes can now be seen as probable manifestations of a bipolar disorder. The harsh criticism has been matched by international accolades. In 1904, the Royal Society awarded Cantor its Sylvester Medal, the highest honor it can confer. Cantor believed his theory of transfinite numbers had been communicated to him by God. David Hilbert defended it from its critics by famously declaring: "No one shall expel us from the Paradise that Cantor has created." (en)
- Гео́рг Ка́нтор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле) — немецкий математик. (ru)
- Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, tysk matematiker, professor i Halle, född 3 mars 1845 i St Petersburg, Ryssland, avled den 6 januari år 1918 i Halle, Tyskland. Hans far var dansk och hans mor österrikiska. Han fick sin utbildning i Zürich, Berlin och Göttingen. Hade professuren i matematik vid universitetet i Halle från 1872 fram till sin död. Cantor är mängdlärans grundare. Han är bland annat känd för Cantors sats och den kaotiska funktionen cantordamm. Han belönades 1904 med Sylvestermedaljen av Royal Society för sina upptäckter. (sv)
- Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos . Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³. Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría . Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna. Empezó a interpretar el infinito absoluto como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad). Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico. (es)
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3. maaliskuuta 1845 – 6. tammikuuta 1918) oli saksalainen matemaatikko, joka tunnetaan parhaiten joukko-opin luojana. (fi)
- Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalit�, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico. Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. La scoperta del paradosso di Russell lo portò a una crisi nervosa da cui non si seppe più riprendere. Cominciò allora a leggere testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse: Impoveritosi durante la Prima guerra mondiale, morì ad Halle dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Leopold Kronecker giudicò le sue scoperte «prive di senso». Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme <math>A</math>, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di <math>A</math>, chiamato l'insieme potenza di <math>A</math>. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito <math>A</math> ha una grandezza maggiore della grandezza di <math>A</math> stesso . Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice; per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega. L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza. A Cantor è stato intitolato il cratere Cantor, sulla Luna. (it)
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845 - Halle, Alemanha, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático alemão de origem russa conhecido por ter criado a moderna Teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos. Nasceu em São Petersburgo, filho de um comerciante dinamarquês, Geor Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 a sua família mudou-se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração. Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência . Fez a distinção entre conjuntos numeráveis e conjuntos contínuos . Provou que o conjunto dos números racionais Q é numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo . Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais. Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância. Nas palavras de David Hilbert:: "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou." (pt)
- 格奥尔格·费迪南德·路德维格·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家。创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出了集合的势和序的概念。由于研究成果得不到认可，并受到众多数学家的攻击，患抑郁症，最后发疯。1918年，在德国哈勒大学附属精神病院去世。 当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“谁也别想把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。” 康托尔出生于俄国圣彼得堡，他的父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。1856年他们全家搬到德国，康托尔在德语学校继续学业，1867年他于柏林大学获得博士学位。 康托尔意识到，无限集合也有不同大小，有可数无穷和不可数无穷之分。他证明了有理数集合Q是可数无穷的，而实数集合是不可数无穷的，也就是说后者較大。原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。后来他致力于连续统假设，但没有成功。 康托尔的后半生受到抑郁症的困扰，这严重影响他的工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文，他患的可能是一种两极失常性的抑郁症，例如他写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗蘭西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无穷的概念即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈勒的精神病院。 (zh)
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (født 3. marts 1845 i St. Petersburg, død 6. januar 1918 i Halle) var en tysk matematiker; professor i Halle. Hans far var født i Danmark, og moren var russisk. Han er grundlægger af mængdelæren. Georg Cantor er kendt for at have forholdt sig kritisk til Zenons paradoks "Achilleus og skildpadden" Han modbeviser Zenons teori om at Achilleus vil komme uendelig tæt på skildpadden, men aldrig nå op på siden af denne. Ifølge Cantor vil en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et tal, have samme egenskaber som tallet selv og derfor være det selv samme tal. Eksempelvis kan tallet ’5’ også skrives som ’4,9999...’ og tallet ’1’ som ’0,9999...’. Den eneste forskel, ifølge Cantors opfattelse, er notationen. Man afviser altså begrebet om den uendeligt lille størrelse, der netop af Zenon, anses for den evige differens imellem Achilleus og skildpadden. Når Achilleus således kommer uendelig tæt på skildpadden, vil dette sige det samme som at han allerede er oppe på siden af den og nu kan passere. Denne løsningsmodel forekommer umiddelbart intuitivt uplausibel. De færreste ville nok gå med til at eksempelvis ’0,999...’ er lig med ’1’. På den anden side er det lige så oplagt, at hvis ’X,9999...’=’X+1’ så ville der faktisk være tale om en løsning af Zenons paradoks. Men som det skal vise sig, er sagen lidt mere kompliceret end som så. Beviset for at 0,999... = 1 Man kan opstille en generel aritmetisk funktion: /9=X. Man tager et tal, ganger det med ti, trækker 1*X fra summen og dividerer med 9. Så får man igen ’X’. Lad os tage et par eksempler: Lad x være 2: 2 gange 10 er 20, 20 minus 2 er 18, 18/9 er 2. Lad så x være den uendelige decimalbrøk der konvergerer imod tallet 1/3, nemlig 0,333...: 0,333... gange med 10 er 3,333..., 3. 333... minus 0,333... er 3, 3/9 er 0. 333... Således har vi nu checket, at denne funktion kan anvendes på såvel naturlige tal som på en uendelig decimalbrøk. Lad os da prøve med en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal, eksempelvis 0,999...: 0,999... gange med 10 er 9,999... ,999... minus 0,999... er 9, 9/9 er l. Med andre ord, hvis vi har at /9=X så gælder det, at =(X=1), hvilket igen kan reduceres til udtrykket 0,999...=1. Således har vi her tilsyneladende et bevis for at en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal er identisk med sin grænseværdi. Hvis man er lidt fræk, kan man nøjes med at se på forskellen 1 - 0,999... Lad os holde os til noget, vi kan håndtere, og prøve at beregne 1 - 0,9 først. Det giver 0,1. Så lad os prøve med 1 - 0,99 = 0,01. Ligeledes udregnes 1 - 0,999 = 0,001. Nu er mønsteret tydeligt. Pointen er, at hvis man trækker 0,999... op til n decimaler fra 1, så får man 0,000... med et 1-tal på n'te decimalplads. Trækker man derimod 0,999... fra, dvs. hele den uendelige decimalbrøk, vil man aldrig nogensinde nå til den plads, hvor 1-tallet skal placeres. Deraf sluttes, at 1 - 0,999... = 0. (da)
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* 3. März 1845 in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle) war ein deutscher Mathematiker. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der Begründer der Mengenlehre. (de)
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (født 3. mars 1845 i St. Petersburg, død 6. januar 1918 i Halle) var en tysk matematiker; professor i Halle. Hans far var født i Danmark, og moren var østerriksk. Han er grunnleggeren av mengdelæren og er kjent for Cantors teorem som sier at uansett hvilken mengde vi betrakter, finnes det en mengde som er større. Dette er trivielt hvis vi tenker på endelige mengder, men ikke hvis vi tenker på uendelige mengder. (no)
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