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- The arithmetization of analysis was a research program in the foundations of mathematics carried out in the second half of the 19th century. (en)
- La aritmetikigo de analitiko estis esplora programo en la okazinta en la dua duono de la 19-a jarcento. Ĝia ĉefa proponanto estis Karl Weierstrass, kiu argumentis ke la geometriaj fundamentoj de infinitezima kalkulo estas ne sufiĉaj por rigora laboro. La emfazoj de ĉi tiu esplori programo estis:
* algebra konstruado de la reelaj nombroj de Richard Dedekind, rezultanta en la moderna aksioma difino de kampo de reelaj nombroj;
* la epsilono-delta difino de limigo;
* difino de funkcio per naiva aroteorio. Grava rezulto de la aritmetikigo de analitiko estas aroteorio. Naiva aroteorio estis kreita de Georg Cantor kaj aliaj kaj post aritmetikigo estis plenumita kiel maniero por studi la specialaĵojn de funkcioj aperantaj en kalkulo. La aritmetikigo de analitiko havis kelkajn gravajn konsekvencojn:
* forigo de infinitezimoj el matematiko ĝis la kreado de per en la 1960-aj jaroj;
* la ŝanĝo de la emfazo de geometria al algebra rezonado, ĉi tiu havas gravajn konsekvencojn en la maniero kiel matematiko estas instruata hodiaŭ;
* ebligo de evoluo de moderna de Henri Leon Lebesgue kaj apero de de David Hilbert;
* motivigo de la pli ege filozofia pozicio ke ĉio en matematiko devus esti derivebla de logiko kaj aroteorio, definitive kondukanta al la , teoremoj de Kurt Gödel kaj . Kurzoj:
* Dio kreis la naturaj nombroj, ĉio la alia estas la laboro de homoj." (eo)
- De aritmetisering van de analyse was een stroming in de fundamentele wiskunde in de late 19e eeuw die ernaar streefde de wiskundige analyse te baseren op de natuurlijke getallen. Leopold Kronecker vatte dit als volgt samen: "De gehele getallen zijn door de goede God gemaakt, al het andere is mensenwerk." Later streefde Karl Weierstrass ernaar wiskundige analyse te grondvesten op de verzamelingenleer, omdat hij de meetkundige grondslag van analyse met raaklijnen en oppervlakten niet rigoureus achtte. Enkele mijlpalen waren:
* axiomatische opbouw van reële getallen door Richard Dedekind en Georg Cantor;
* de epsilon-delta definitie van de limiet;
* de definitie van functies met verzamelingenleer.
* de toepassing door Georg Cantor van de verzamelingenleer om singulariteiten van functies te bestuderen. Gevolgen waren:
* afschaffing van de infinitesimaal;
* verschuiving van meetkunde naar algebra in bewijzen en onderwijs;
* ontwikkeling van maattheorie door Henri Lebesgue en functionaalanalyse door David Hilbert;
* logica en verzamelingenleer als grondslag voor alle wiskunde: het programma van Hilbert, de stellingen van Kurt Gödel en .
* ontwikkeling van surreële getallen door John Conway (nl)
- A aritmetização da análise foi um programa de pesquisa em fundamentos de matemática realizado na segunda metade do século XIX que visava abolir toda intuição geométrica das demonstrações em análise. Para os seguidores desse programa, os conceitos fundamentais do cálculo também não deveriam fazer referências às ideias de movimento e velocidade. Este ideal foi perseguido por Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, entre outros, que consideravam que o cálculo de Isaac Newton carecia de rigor. Bernard Bolzano (1781-1848) foi um matemático, teólogo e filósofo de língua alemã nascido em Praga, na Bohemia, hoje capital da República Tcheca. Sua obra se insere no contexto das grandes transformações por que passaram a matemática e a filosofia no século XIX, em particular com o movimento de aritmetização que transformou a matemática e com a tendência da filosofia a passar de uma abordagem epistemológica, centrada no sujeito cognoscente e num discurso mental e intuitivo que caracterizou o período que vai do cartesianismo ao kantismo, chamado por Foucault (2007) de "época das representações" para uma abordagem semântica. Esta última se caracteriza por ser centrada na necessidade de criação e explicitação de conceitos, de uma revalorização da lógica e nas necessidades de um discurso explícito e público. A passagem conceitual de uma geometria/física da continuidade para uma aritmética da continuidade, constitui um dos componentes metodológicos do processo de aritmetização da análise, já é um pré-anúncio teórico da ruptura epistemológica que estabelece a aceitação dos números reais como fundamento da Análise na Reta. O processo de aritmetização da análise, consiste em fundamentar a Análise na Reta na teoria dos números naturais (o que se estende para a análise de funções de várias variáveis, de funções complexas, à teoria das equações diferenciais, à geometria diferencial e até às próprias geometrias euclidiana e não-euclidianas). Esse processo reconstrói geneticamente os números inteiros a partir dos naturais, os racionais a partir dos inteiros, e finalmente os reais a partir dos racionais, sendo que esta última etapa pode ser realizada utilizando-se o método das sequências de Cauchy, ou dos cortes de Dedekind, ou dos intervalos encaixantes, etc. A análise matemática baseada nesses números é chamada hoje de análise real, clássica ou standard. O processo da aritmetização da análise foi, então, um fator importante e determinante na constituição da análise matemática clássica. (pt)
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- The arithmetization of analysis was a research program in the foundations of mathematics carried out in the second half of the 19th century. (en)
- La aritmetikigo de analitiko estis esplora programo en la okazinta en la dua duono de la 19-a jarcento. Ĝia ĉefa proponanto estis Karl Weierstrass, kiu argumentis ke la geometriaj fundamentoj de infinitezima kalkulo estas ne sufiĉaj por rigora laboro. La emfazoj de ĉi tiu esplori programo estis:
* algebra konstruado de la reelaj nombroj de Richard Dedekind, rezultanta en la moderna aksioma difino de kampo de reelaj nombroj;
* la epsilono-delta difino de limigo;
* difino de funkcio per naiva aroteorio. La aritmetikigo de analitiko havis kelkajn gravajn konsekvencojn: Kurzoj: (eo)
- De aritmetisering van de analyse was een stroming in de fundamentele wiskunde in de late 19e eeuw die ernaar streefde de wiskundige analyse te baseren op de natuurlijke getallen. Leopold Kronecker vatte dit als volgt samen: "De gehele getallen zijn door de goede God gemaakt, al het andere is mensenwerk." Later streefde Karl Weierstrass ernaar wiskundige analyse te grondvesten op de verzamelingenleer, omdat hij de meetkundige grondslag van analyse met raaklijnen en oppervlakten niet rigoureus achtte. Enkele mijlpalen waren: Gevolgen waren: (nl)
- A aritmetização da análise foi um programa de pesquisa em fundamentos de matemática realizado na segunda metade do século XIX que visava abolir toda intuição geométrica das demonstrações em análise. Para os seguidores desse programa, os conceitos fundamentais do cálculo também não deveriam fazer referências às ideias de movimento e velocidade. Este ideal foi perseguido por Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, entre outros, que consideravam que o cálculo de Isaac Newton carecia de rigor. (pt)
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