| dbo:abstract
|
- Fonaments de la matemàtica és el terme amb què sovint s'identifiquen certs camps de la matemàtica, com ara la filosofia de la matemàtica, la lògica matemàtica, la teoria de conjunts axiomàtica, la teoria de la demostració, la teoria de models i la teoria de la recursió, que tenen en comú la cerca d'una fonamentació per la matemàtica. Aquesta recerca consisteix essencialment en l'intent d'elucidar en què consisteix i què garanteix la veritat de les proposicions matemàtiques. (ca)
- أسس الرياضيات (بالإنجليزية: Foundations of mathematics) هي دراسة الأسس الفلسفية والمنطقية و/أو الخوارزمية للرياضيات، أو بمعنى أشمل هي الدراسة الرياضية للنظريات الفلسفية حول ماهية الرياضيات. وبذا يصعب التمييز بين فلسفة الرياضيات وأسس الرياضيات.تُعنى أسس الرياضيات بدراسة المفاهيم الرياضية الأساسية (كالدوال ، والمجموعات والأعداد ، والكائنات الهندسية وغيرها ) . وكيف تكون مركبات ومفاهيم أخرى أكثر تعقيداً ، خصوصاً المفاهيم الجذرية كاللغات الرياضية (الصيغ الصورية ، النظريات الرياضية ونماذجها المعنوية ، التعريفات الرياضية ، المبرهانات ، الخوازميات وغيرها ) ،وتدعى أيضاً مفاهيم ميتا-رياضية ،مع إعتبار الجوانب الفلسفية والوحدة الرياضية لهذه المفاهيم والتركيبات . إن البحث عن أسس للرياضيات هو إحدى الأسئلة الرئيسية جدا في فلسفة الرياضيات ، كما أن الطبيعة المجردة للمفاهيم الرياضية تمثل تحدياً فلسفياً من نوعٍ خاص. أسس الرياضيات أو أصول الرياضيات مصطلح يستعمل في أحيانا في بعض حقول الرياضيات، مثل المنطق الرياضي، ونظرية المجموعات، ونظرية البرهان، ونظرية النموذج، ونظرية النمط ونظرية العودية. إن البحث في أسس الرياضيات هو في نفس الوقت السؤال المركزي في فلسفة الرياضيات: ما القاعدة المطلقة التي تبقى فيها العبارات الرياضياتية صحيحة؟ (ar)
- Ο όρος θεμέλια των μαθηματικών αναφέρεται περιληπτικά σε κλάδους των μαθηματικών ή της φιλοσοφίας, στο μέτρο τουλάχιστον που αυτοί ασχολούνται με την ενοποίηση των . Από τη μεριά των μαθηματικών, ως τέτοιοι κλάδοι θεωρούνται παραδοσιακά η μαθηματική λογική και η θεωρία συνόλων, αλλά και η θεωρία κατηγοριών. Στο χώρο της σύγχρονης φιλοσοφίας, με τη θεμελίωση των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί μεταξύ άλλων ο Ράσελ, ο , ο Γκέντελ, ο και ο Βίτγκενσταϊν. (el)
- Die Grundlagen der Mathematik sind einerseits Teil der Mathematik, andererseits bilden sie einen wichtigen Gegenstand erkenntnistheoretischer Reflexion, wenn diese sich mit den allgemeinen Grundlagen der menschlichen Erkenntnisgewinnung befasst. Insofern solche mathematikphilosophischen Reflexionen in der Geschichte mehrfach Einfluss auf die Formulierung der Grundlagen der Mathematik genommen haben, sind diese nicht ausschließlich Teil der Mathematik, sondern liegen in einem Überschneidungsgebiet mit der Philosophie. (de)
- Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de las matemáticas: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y a favorecer la unidad de la matemática. La búsqueda por los fundamentos de la matemática es una pregunta central de la filosofía de las matemáticas; la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales. Los fundamentos de las matemáticas como un todo no apuntan a contener los fundamentos de cada tópico matemático. Generalmente, los fundamentos de un campo de estudio, se refieren a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos más básicos, su unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, los cuales podrían ayudar a conectarlos con el resto del conocimiento humano. El desarrollo, surgimiento y aclaración de los fundamentos puede aparecer tarde en la historia de un campo, y podría no ser visto por algunos como su parte más interesante. Las matemáticas siempre jugaron un rol especial en el pensamiento científico, sirviendo desde tiempos antiguos como modelo de verdad y rigor para la inquisición racional, dando herramientas o incluso fundamentos para otras ciencias (especialmente la física). Pero las matemáticas ya hacía abstracciones muy elevadas en el siglo XIX, que trajeron paradojas y nuevos desafíos, exigiendo un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y del criterio de la verdad matemática, así como también una unificación de las diversas ramas de la matemática en un todo coherente. La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas empezó al fin del siglo XIX, y formó una disciplina matemática nueva llamada lógica matemática, con fuertes vínculos con la ciencia de la computación teórica. Fue mediante una serie de crisis con resultados paradójicos, que los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo XX con un amplio y coherente cuerpo de conocimiento matemático con muchísimos aspectos o componentes (teoría de conjuntos, teoría de modelos, ...), cuyas detalladas propiedades y posibles variantes aún están en campo de investigación. Su alto nivel de sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que podrían servir como modelo para los fundamentos de otras ciencias. (es)
- Foundations of mathematics is the study of the philosophical and logical and/or algorithmic basis of mathematics, or, in a broader sense, the mathematical investigation of what underlies the philosophical theories concerning the nature of mathematics. In this latter sense, the distinction between foundations of mathematics and philosophy of mathematics turns out to be quite vague.Foundations of mathematics can be conceived as the study of the basic mathematical concepts (set, function, geometrical figure, number, etc.) and how they form hierarchies of more complex structures and concepts, especially the fundamentally important structures that form the language of mathematics (formulas, theories and their models giving a meaning to formulas, definitions, proofs, algorithms, etc.) also called metamathematical concepts, with an eye to the philosophical aspects and the unity of mathematics. The search for foundations of mathematics is a central question of the philosophy of mathematics; the abstract nature of mathematical objects presents special philosophical challenges. The foundations of mathematics as a whole does not aim to contain the foundations of every mathematical topic.Generally, the foundations of a field of study refers to a more-or-less systematic analysis of its most basic or fundamental concepts, its conceptual unity and its natural ordering or hierarchy of concepts, which may help to connect it with the rest of human knowledge. The development, emergence, and clarification of the foundations can come late in the history of a field, and might not be viewed by everyone as its most interesting part. Mathematics always played a special role in scientific thought, serving since ancient times as a model of truth and rigor for rational inquiry, and giving tools or even a foundation for other sciences (especially physics). Mathematics' many developments towards higher abstractions in the 19th century brought new challenges and paradoxes, urging for a deeper and more systematic examination of the nature and criteria of mathematical truth, as well as a unification of the diverse branches of mathematics into a coherent whole. The systematic search for the foundations of mathematics started at the end of the 19th century and formed a new mathematical discipline called mathematical logic, which later had strong links to theoretical computer science.It went through a series of crises with paradoxical results, until the discoveries stabilized during the 20th century as a large and coherent body of mathematical knowledge with several aspects or components (set theory, model theory, proof theory, etc.), whose detailed properties and possible variants are still an active research field.Its high level of technical sophistication inspired many philosophers to conjecture that it can serve as a model or pattern for the foundations of other sciences. (en)
- Les fondements des mathématiques sont les principes de la philosophie des mathématiques sur lesquels est établie cette science. (fr)
- Fondasi matematika adalah sebuah studi tentang dasar-dasar logika dan filsafat dari matematika, atau, dalam arti yang lebih luas, investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari beberapa filsafat dasar tentang nature dari matematika itu sendiri. Dengan pengertian yang lebih luas ini, perbedaan antara fondasi matematika, dan filsafat matematika sepertinya menjadi kabur. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis (bilangan, bentuk-bentuk geometris, himpunan, fungsi) dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika (rumus-rumus, teori-teori, dan model-model matematis yang memberikan makna kepada rumus-rumus, definisi-definisi, pembuktian-pembuktian, algoritme-algoritme) yang juga sering disebut sebagai konsep-konsep matematis, dengan tetap memperhatikan aspek-aspek filsafat dan kesatuan dari matematika. Pencarian fondasi matematika adalah pertanyaan dan fokus utama dari filsafat matematika; namun natur yang abstrak dari objek-objek matematika memberikan tantangan filsafat yang khusus dalam pencarian ini. (in)
- Per fondamenti della matematica si intende lo studio delle basi logiche e filosofiche della matematica. (it)
- 수학기초론(Foundations of mathematics)은 수학의 분야들 중 수리논리학과 공리적 집합론, 모형 이론, 증명 이론 및 계산 가능성 이론 등을 가리키는 말이다. 수학의 기초를 찾는 것은 근본적인 의미에서 수학적 명제가 옳다고 말할 수 있는 근거가 무엇인지를 연구하는 것이며, 이는 수리철학의 중심 과제이다. (ko)
- 数学基礎論（すうがくきそろん、英: foundations of mathematics, mathematical logic and foundations of mathematics）は、現在の日本では、専ら数理論理学（mathematical logic）を指す言葉として使われる。 (ja)
- Grondslagen van de wiskunde zijn de aannames, de grondbeginselen en de uitgangspunten van de wiskunde. Grondslagenonderzoek is een deelgebied tussen de wiskunde en de filosofie, waar men deze fundamenten van de wiskunde bestudeert. Deze studie wordt tegenwoordig tot de filosofie van de wiskunde gerekend. (nl)
- Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы. С античности и приблизительно до конца XVII века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания тогдашней математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали. Положение стало меняться в конце XVII века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непрояснённым. Оно было получено лишь в середине XIX века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причём проведённый в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел. Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Открытия Николая Лобачевского и других показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы. Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти XIX века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале XX века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований. Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики. Кроме того, в настоящее время развивается теория категорий, которая потенциально может заменить теорию множеств в качестве основания математики. (ru)
- Podstawy matematyki – wspólna nazwa kilku powiązanych dziedzin matematyki, zwłaszcza logiki matematycznej, teorii mnogości i leżącej na ich pograniczu metamatematyki; dziedziny te stanowią fundament wszystkich innych dyscyplin matematycznych. Późniejszym, alternatywnym gruntem dla różnych działów – w tym teorii mnogości – stała się też teoria kategorii, historycznie związana z algebrą i czasem do niej zaliczana. Pojęcie podstaw matematyki czasem obejmuje też część filozofii tej nauki – teoretyczne podstawy poznania matematycznego (epistemologię matematyki); przykładowo Ludwig Wittgenstein zatytułował tak jedną ze swoich prac na ten temat (Uwagi o podstawach matematyki, niem. Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik). Podstawom matematyki jako pewnej całości poświęcano osobne czasopisma badawcze (jak „Fundamenta Mathematicae”), kursy akademickie oraz książki popularnonaukowe. Jest to jedna z jednostek klasyfikacyjnych MSC 2000 opracowanych przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (ang. AMS). (pl)
- Denomina-se fundamentos da matemática a uma área de estudo que abrange tanto problemas da filosofia da matemática, como da lógica e da matemática. Ela teve a sua origem nas últimas décadas do século XIX e desenvolveu-se durante as primeiras décadas do século XX, como uma resposta à crise dos fundamentos gerada pelos paradoxos.Do ponto de vista lógico, tem como questão fundamental as relações entre a lógica e a matemática. Do ponto de vista matemático abrange pesquisas nas áreas de lógica matemática, teoria de conjuntos, teoria dos tipos, teoria de modelos, teoria da prova, teoria da recursão e topologia. Como ramo de estudo, está intimamente ligado com educação matemática que tenta descobrir quais são os axiomas e as definições mais elementares da matemática, e que regras de inferência são aceitáveis ao se trabalhar com tais axiomas. Suas principais vertentes são o Intuicionismo, o Formalismo e o Logicismo. Fundamentos da matemática é uma expressão cujo significado consiste no estudo de conceitos básicos da matemática, como números, figuras geométricas, conjuntos, funções, e como eles formam hierarquias de conceitos e estruturas mais complexas, especialmente estruturas importantes da (teorias como a dos modelos, propondo um significado para fórmulas, definições, provas, algoritmos). Também chamado conceitos da metamatemática, com um olhar para os aspectos filosóficos e da unidade matemática. A pesquisa por fundamentos da matemática é uma questão central da filosofia da matemática; a abstração da natureza dos objetos da matemática presenteia especialmente desafios filosóficos. Os fundamentos da matemática são como um todo que não contém os fundamentos de todos os tópicos matemáticos. Geralmente, os fundamentos de um campo de estudo se debruça mais ou menos em analisar sistematicamente os mais básicos ou conceitos fundamentais, essa concepção unitária e a sua ordem natural de hierarquia de conceitos, que pode ajudar a juntar com o resto do conhecimento humano. O desenvolvimento, aparição e esclarecimento de fundamentos pode aparecer depois em um campo da história, e pode ser visto por qualquer um que esteja muito interessado nessa parte. A procura sistemática dos fundamentos da matemática começou no fim do século XIX e formou uma nova disciplina da matemática chamada lógica matemática, que tem fortes ligações com a teoria da computação. Ela trouxe uma crise de pensamentos sobre resultados paradoxos, até as descobertas serem estabilizadas durante o século XX como uma grande e coerente vertente do conhecimento matemático com aspectos rígidos ou componentes (teoria dos conjuntos, teoria dos modelos, teoria da prova...), que detalharam propriedades e possíveis variantes sendo ainda um ativo campo de pesquisa. Seu alto nível de técnicas sofisticadas inspirou muitos filósofos a supor que ela pode servir como um modelo ou exemplo de fundamentos de outras ciências. (pt)
- 数学上，数学基础（英語：foundations of mathematics）一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可計算性理論）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为“真”? 目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。 这个不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么「真」数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。 在（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类「发现」。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？ 一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注，並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个，把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础， (zh)
- Криза основ математики — термін, що позначає пошук фундаментальних основ математики на межі XIX та XX століть. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Fonaments de la matemàtica és el terme amb què sovint s'identifiquen certs camps de la matemàtica, com ara la filosofia de la matemàtica, la lògica matemàtica, la teoria de conjunts axiomàtica, la teoria de la demostració, la teoria de models i la teoria de la recursió, que tenen en comú la cerca d'una fonamentació per la matemàtica. Aquesta recerca consisteix essencialment en l'intent d'elucidar en què consisteix i què garanteix la veritat de les proposicions matemàtiques. (ca)
- Ο όρος θεμέλια των μαθηματικών αναφέρεται περιληπτικά σε κλάδους των μαθηματικών ή της φιλοσοφίας, στο μέτρο τουλάχιστον που αυτοί ασχολούνται με την ενοποίηση των . Από τη μεριά των μαθηματικών, ως τέτοιοι κλάδοι θεωρούνται παραδοσιακά η μαθηματική λογική και η θεωρία συνόλων, αλλά και η θεωρία κατηγοριών. Στο χώρο της σύγχρονης φιλοσοφίας, με τη θεμελίωση των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί μεταξύ άλλων ο Ράσελ, ο , ο Γκέντελ, ο και ο Βίτγκενσταϊν. (el)
- Die Grundlagen der Mathematik sind einerseits Teil der Mathematik, andererseits bilden sie einen wichtigen Gegenstand erkenntnistheoretischer Reflexion, wenn diese sich mit den allgemeinen Grundlagen der menschlichen Erkenntnisgewinnung befasst. Insofern solche mathematikphilosophischen Reflexionen in der Geschichte mehrfach Einfluss auf die Formulierung der Grundlagen der Mathematik genommen haben, sind diese nicht ausschließlich Teil der Mathematik, sondern liegen in einem Überschneidungsgebiet mit der Philosophie. (de)
- Les fondements des mathématiques sont les principes de la philosophie des mathématiques sur lesquels est établie cette science. (fr)
- Per fondamenti della matematica si intende lo studio delle basi logiche e filosofiche della matematica. (it)
- 수학기초론(Foundations of mathematics)은 수학의 분야들 중 수리논리학과 공리적 집합론, 모형 이론, 증명 이론 및 계산 가능성 이론 등을 가리키는 말이다. 수학의 기초를 찾는 것은 근본적인 의미에서 수학적 명제가 옳다고 말할 수 있는 근거가 무엇인지를 연구하는 것이며, 이는 수리철학의 중심 과제이다. (ko)
- 数学基礎論（すうがくきそろん、英: foundations of mathematics, mathematical logic and foundations of mathematics）は、現在の日本では、専ら数理論理学（mathematical logic）を指す言葉として使われる。 (ja)
- Grondslagen van de wiskunde zijn de aannames, de grondbeginselen en de uitgangspunten van de wiskunde. Grondslagenonderzoek is een deelgebied tussen de wiskunde en de filosofie, waar men deze fundamenten van de wiskunde bestudeert. Deze studie wordt tegenwoordig tot de filosofie van de wiskunde gerekend. (nl)
- Криза основ математики — термін, що позначає пошук фундаментальних основ математики на межі XIX та XX століть. (uk)
- أسس الرياضيات (بالإنجليزية: Foundations of mathematics) هي دراسة الأسس الفلسفية والمنطقية و/أو الخوارزمية للرياضيات، أو بمعنى أشمل هي الدراسة الرياضية للنظريات الفلسفية حول ماهية الرياضيات. وبذا يصعب التمييز بين فلسفة الرياضيات وأسس الرياضيات.تُعنى أسس الرياضيات بدراسة المفاهيم الرياضية الأساسية (كالدوال ، والمجموعات والأعداد ، والكائنات الهندسية وغيرها ) . وكيف تكون مركبات ومفاهيم أخرى أكثر تعقيداً ، خصوصاً المفاهيم الجذرية كاللغات الرياضية (الصيغ الصورية ، النظريات الرياضية ونماذجها المعنوية ، التعريفات الرياضية ، المبرهانات ، الخوازميات وغيرها ) ،وتدعى أيضاً مفاهيم ميتا-رياضية ،مع إعتبار الجوانب الفلسفية والوحدة الرياضية لهذه المفاهيم والتركيبات . إن البحث عن أسس للرياضيات هو إحدى الأسئلة الرئيسية جدا في فلسفة الرياضيات ، كما أن الطبيعة المجردة للمفاهيم الرياضية تمثل تحدياً فلسفياً من (ar)
- Foundations of mathematics is the study of the philosophical and logical and/or algorithmic basis of mathematics, or, in a broader sense, the mathematical investigation of what underlies the philosophical theories concerning the nature of mathematics. In this latter sense, the distinction between foundations of mathematics and philosophy of mathematics turns out to be quite vague.Foundations of mathematics can be conceived as the study of the basic mathematical concepts (set, function, geometrical figure, number, etc.) and how they form hierarchies of more complex structures and concepts, especially the fundamentally important structures that form the language of mathematics (formulas, theories and their models giving a meaning to formulas, definitions, proofs, algorithms, etc.) also calle (en)
- Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de las matemáticas: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y a favorecer la unidad de la matemática. La búsqueda por los fundamentos de la matemática es una pregunta central de la filosofía de las matemáticas; la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales. (es)
- Fondasi matematika adalah sebuah studi tentang dasar-dasar logika dan filsafat dari matematika, atau, dalam arti yang lebih luas, investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari beberapa filsafat dasar tentang nature dari matematika itu sendiri. Dengan pengertian yang lebih luas ini, perbedaan antara fondasi matematika, dan filsafat matematika sepertinya menjadi kabur. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis (bilangan, bentuk-bentuk geometris, himpunan, fungsi) dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika (rumus-rumus, teori-teori, dan model-model matematis yang memberikan makna kepada rumus-rum (in)
- Podstawy matematyki – wspólna nazwa kilku powiązanych dziedzin matematyki, zwłaszcza logiki matematycznej, teorii mnogości i leżącej na ich pograniczu metamatematyki; dziedziny te stanowią fundament wszystkich innych dyscyplin matematycznych. Późniejszym, alternatywnym gruntem dla różnych działów – w tym teorii mnogości – stała się też teoria kategorii, historycznie związana z algebrą i czasem do niej zaliczana. Pojęcie podstaw matematyki czasem obejmuje też część filozofii tej nauki – teoretyczne podstawy poznania matematycznego (epistemologię matematyki); przykładowo Ludwig Wittgenstein zatytułował tak jedną ze swoich prac na ten temat (Uwagi o podstawach matematyki, niem. Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik). (pl)
- Denomina-se fundamentos da matemática a uma área de estudo que abrange tanto problemas da filosofia da matemática, como da lógica e da matemática. Ela teve a sua origem nas últimas décadas do século XIX e desenvolveu-se durante as primeiras décadas do século XX, como uma resposta à crise dos fundamentos gerada pelos paradoxos.Do ponto de vista lógico, tem como questão fundamental as relações entre a lógica e a matemática. Do ponto de vista matemático abrange pesquisas nas áreas de lógica matemática, teoria de conjuntos, teoria dos tipos, teoria de modelos, teoria da prova, teoria da recursão e topologia. (pt)
- 数学上，数学基础（英語：foundations of mathematics）一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可計算性理論）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为“真”? 目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。 这个不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么「真」数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。 在（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类「发现」。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？ (zh)
- Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы. С античности и приблизительно до конца XVII века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания (ru)
|
