| dbo:abstract
|
- Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin (někdy také označovaná jako Gödelova-Bernaysova teorie množin nebo NBG či GB) je jedním z nejšířeji přijatých a používaných axiomatických systémů teorie množin. Stejně jako v případě Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin nebo Kelleyova-Morseova teorie množin se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu Russellova paradoxu. (cs)
- Die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) ist eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie ist nach John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel benannt, da sie auf Arbeiten dieser Mathematiker aufbaut. Im Mengenbereich ist sie äquivalent zur weiter verbreiteten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC). Im Gegensatz zu ZFC sind die Objekte von NBG nicht nur Mengen, sondern vielmehr Klassen. Mengen sind spezielle definierte Klassen: Eine Klasse heißt Menge, wenn sie Element einer Klasse ist. Die Klassen von NBG können damit nur Mengen als Elemente enthalten. Es gibt auch Klassen, die keine Mengen sind; sie werden als echte Klassen bezeichnet (etwas scherzhaft auch als Unmengen). (de)
- La teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (denotada NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en la teoría de Zermelo-Fraenkel (denotada ZF). A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable. (es)
- La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente à la théorie ZFC de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles), mais dont le pouvoir expressif est plus riche. Elle peut s’énoncer en un nombre fini d’axiomes, et donc sans schéma, au contraire de ZFC (voir schéma d'axiomes de compréhension et schéma d'axiomes de remplacement). Ceci n’est possible que grâce à une modification du langage de la théorie, qui permet de parler directement de classe, une notion par ailleurs utile en théorie des ensembles et qui apparaissait déjà, de façon assez informelle, dans les écrits de Georg Cantor dès avant 1900. La théorie des classes a été introduite en 1925 par John von Neumann, mais celui-ci avait pris des fonctions pour objets primitifs. Elle est reformulée en termes de théorie des ensembles et simplifiée par Paul Bernays vers 1929. Kurt Gödel en donne une version inspirée de celle de Bernays, pour sa preuve de cohérence relative de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu par les constructibles, lors de conférences à Princeton en 1937-1938 (publiées en 1940). Une théorie des classes plus forte, la théorie de Morse-Kelley, a été proposée plus tard par plusieurs mathématiciens, et apparaît pour la première fois en 1955 dans le livre de topologie générale de John L. Kelley. (fr)
- In the foundations of mathematics, von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG) is an axiomatic set theory that is a conservative extension of Zermelo–Fraenkel–choice set theory (ZFC). NBG introduces the notion of class, which is a collection of sets defined by a formula whose quantifiers range only over sets. NBG can define classes that are larger than sets, such as the class of all sets and the class of all ordinals. Morse–Kelley set theory (MK) allows classes to be defined by formulas whose quantifiers range over classes. NBG is finitely axiomatizable, while ZFC and MK are not. A key theorem of NBG is the class existence theorem, which states that for every formula whose quantifiers range only over sets, there is a class consisting of the sets satisfying the formula. This class is built by mirroring the step-by-step construction of the formula with classes. Since all set-theoretic formulas are constructed from two kinds of atomic formulas (membership and equality) and finitely many logical symbols, only finitely many axioms are needed to build the classes satisfying them. This is why NBG is finitely axiomatizable. Classes are also used for other constructions, for handling the set-theoretic paradoxes, and for stating the axiom of global choice, which is stronger than ZFC's axiom of choice. John von Neumann introduced classes into set theory in 1925. The primitive notions of his theory were function and argument. Using these notions, he defined class and set. Paul Bernays reformulated von Neumann's theory by taking class and set as primitive notions. Kurt Gödel simplified Bernays' theory for his relative consistency proof of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis. (en)
- 수학기초론에서 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG)은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장 형태의 공리적 집합론이다. 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 또한 재귀적 정의를 허용할 경우 NBG는 (Morse–Kelley set theory, 약자 MK)가 된다. NBG는 ZFC나 MK와 다르게 유한적으로 공리화가능(finitely axiomatizable)하다. ZFC와는 달리 NBG는 집합이 아닌 모임, 곧 고유 모임(proper class)도 다룰 수 있다. 가장 핵심적인 모임 존재 정리(class existence theorem)는 어떤 논리식의 모든 양화자의 범위가 집합에만 국한된다면 해당 식을 만족시키는 집합들로 구성되는 모임도 존재한다는 내용이다. 이때 모임은 그 논리식의 단계적인 구축을 모임에 반영하는 방식으로 구성된다. 모든 집합론적 식들은 두 종류의 (구성원소와 등식관계)과 유한한 개수의 논리기호로부터 이루어지므로, 이들을 만족시키는 모임을 구성하는 데에는 유한한 공리만 있으면 충분하기 때문에 NBG는 유한적 공리화가능이다. NBG에서 모임의 개념은 ZFC의 선택 공리보다 더 강력한 전역 선택 공리(axiom of global choice)를 진술하는 데에도 사용된다. (ko)
- Nello studio dei fondamenti della matematica, la teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) è una teoria assiomatica degli insiemi che costituisce un'estensione conservativa della canonica teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta (ZFC). Una formula nel linguaggio di ZFC è dimostrabile in NBG se e solo se è dimostrabile in ZFC. L'ontologia di NBG include le classi proprie, oggetti che possono avere elementi ma che non possono essere elementi a loro volta. Il principio di comprensione di NBG è predicativo; le variabili quantificate nella formula possono spaziare solo all'interno di insiemi. Permettere la comprensione trasforma NBG nella (MK). NBG, a differenza di ZFC e di MK, può essere finitamente assiomatizzata. (it)
- De Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer (NBG) is een axiomatisering van de verzamelingenleer. Zij bouwt voort op de axioma's van de eerste orde predicatenlogica en een aantal extra axioma's uit de verzamelingenleer. NBG is vernoemd naar de wiskundigen, John von Neumann, Paul Bernays en Kurt Gödel, omdat deze verzamelingenleer zich op werken van deze wiskundigen uit respectievelijk de jaren 1925/1927, 1937 en 1940 baseert. NBG is gelijkwaardig aan de meer wijdverbreide Zermelo-Frankel-Cantor-verzamelingenleer (ZFC). In tegenstelling tot ZFC zijn de basisobjecten van NBG geen verzamelingen, maar klassen. Verzamelingen zijn in NBG als volgt gedefinieerd: Een klasse is precies dan een verzameling, wanneer zij een element van een klasse is. Formeel betekent dit: Klassen hebben alleen verzamelingen als elementen. Men kan klassen zien als samenvoegingen van objecten, die aan een bepaalde eigenschap voldoen. Klassen die geen verzamelingen zijn, worden als echte klassen aangeduid. (nl)
- Em fundamentos da matemática, a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NGB)é uma extensão do sistema ZFC para a teoria axiomática dos conjuntos (pt)
- Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя — Бернайса) в метаматематике — одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предложения, сформулированные на языке теории ZFC, доказуемы в ZFC тогда и только тогда, когда они доказуемы в NBG. Теория NBG дополнительно включает понятие собственного класса — объекта, имеющего элементы, но который сам не может быть элементом каких-либо объектов. NBG включает только такие определения понятий, которые не ссылаются наопределяемое понятие; значения связанных переменных в формулах могут быть только множествами. Исключение этого принципа (отсутствие ссылок на определяемое понятие внутри определений) превращает систему NBG в (MK). NBG в отличие от ZFC и MK может быть конечно аксиоматизирована (конечным числом аксиом). (ru)
- Теорія множин та класів фон Ноймана — Бернайса — Геделя (скорочено NBG) — аксіоматична теорія першого порядку, що є (консервативним) розширенням теорії множин ZF Цермело — Френкеля. На відміну від ZF, NBG є скінченно аксіоматизовною теорією, яка дозволяє вільно оперувати як множинами, так і класами. Окрім стандартних логічних зв'язок, кванторів та символу рівності, мова теорії NBG включає символ бінарного відношення , що інтерпретується як належність. Первинними (тобто неозначуваними) поняттями теорії NBG є поняття класу та елемента. Клас може бути елементом іншого класу , це позначається як . Позначення є скороченим записом формули . Два класи називають рівними, якщо вони складаються з однакових елементів, тобто , якщо . Клас називається множиною, якщо він є елементом деякого класу, тобто якщо . Клас, який не є множиною, називають властивим класом (англ. proper class). Щоб розрізняти класи та множини, для позначення класів вживають великі літери, а для множин — малі. Властиві класи позначають великими товстими літерами. Прикладом такого класу є клас усіх множин. Розрізнення класів та множин дозволяє уникнути відомого парадоксу Рассела, який у випадку NBG стає доведенням того, що клас не є множиною. Система NBG містить 13 аксіом і може доповнюватися аксіомою (глобального) вибору або аксіомою конструктивності. (uk)
- 在数学基础中，冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起（ZFC）同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理，即是不使用公理模式。 NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出，從1937年开始由作修改，在1940年由哥德尔进一步简化。 不像ZFC，NBG只有有限多个公理。在1961年证明，不可能找到在逻辑上等价于ZFC的有限数目的公理；因此NBG的语言有能力谈论真类同谈论集合一样，并且关于集合的陈述在NBG中是可证明的，当且仅当它在ZFC中是可证明的（就是说NBG是ZFC的保守扩展）。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin (někdy také označovaná jako Gödelova-Bernaysova teorie množin nebo NBG či GB) je jedním z nejšířeji přijatých a používaných axiomatických systémů teorie množin. Stejně jako v případě Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin nebo Kelleyova-Morseova teorie množin se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu Russellova paradoxu. (cs)
- Die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) ist eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie ist nach John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel benannt, da sie auf Arbeiten dieser Mathematiker aufbaut. Im Mengenbereich ist sie äquivalent zur weiter verbreiteten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC). Im Gegensatz zu ZFC sind die Objekte von NBG nicht nur Mengen, sondern vielmehr Klassen. Mengen sind spezielle definierte Klassen: Eine Klasse heißt Menge, wenn sie Element einer Klasse ist. Die Klassen von NBG können damit nur Mengen als Elemente enthalten. Es gibt auch Klassen, die keine Mengen sind; sie werden als echte Klassen bezeichnet (etwas scherzhaft auch als Unmengen). (de)
- La teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (denotada NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en la teoría de Zermelo-Fraenkel (denotada ZF). A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable. (es)
- Nello studio dei fondamenti della matematica, la teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) è una teoria assiomatica degli insiemi che costituisce un'estensione conservativa della canonica teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta (ZFC). Una formula nel linguaggio di ZFC è dimostrabile in NBG se e solo se è dimostrabile in ZFC. L'ontologia di NBG include le classi proprie, oggetti che possono avere elementi ma che non possono essere elementi a loro volta. Il principio di comprensione di NBG è predicativo; le variabili quantificate nella formula possono spaziare solo all'interno di insiemi. Permettere la comprensione trasforma NBG nella (MK). NBG, a differenza di ZFC e di MK, può essere finitamente assiomatizzata. (it)
- Em fundamentos da matemática, a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NGB)é uma extensão do sistema ZFC para a teoria axiomática dos conjuntos (pt)
- 在数学基础中，冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起（ZFC）同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理，即是不使用公理模式。 NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出，從1937年开始由作修改，在1940年由哥德尔进一步简化。 不像ZFC，NBG只有有限多个公理。在1961年证明，不可能找到在逻辑上等价于ZFC的有限数目的公理；因此NBG的语言有能力谈论真类同谈论集合一样，并且关于集合的陈述在NBG中是可证明的，当且仅当它在ZFC中是可证明的（就是说NBG是ZFC的保守扩展）。 (zh)
- La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente à la théorie ZFC de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles), mais dont le pouvoir expressif est plus riche. Elle peut s’énoncer en un nombre fini d’axiomes, et donc sans schéma, au contraire de ZFC (voir schéma d'axiomes de compréhension et schéma d'axiomes de remplacement). Ceci n’est possible que grâce à une modification du langage de la théorie, qui permet de parler directement de classe, une notion par ailleurs utile en théorie des ensembles et qui apparaissait déjà, de façon assez informelle, dans les écrits de Georg Cantor dès avant 1900. (fr)
- In the foundations of mathematics, von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG) is an axiomatic set theory that is a conservative extension of Zermelo–Fraenkel–choice set theory (ZFC). NBG introduces the notion of class, which is a collection of sets defined by a formula whose quantifiers range only over sets. NBG can define classes that are larger than sets, such as the class of all sets and the class of all ordinals. Morse–Kelley set theory (MK) allows classes to be defined by formulas whose quantifiers range over classes. NBG is finitely axiomatizable, while ZFC and MK are not. (en)
- 수학기초론에서 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG)은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장 형태의 공리적 집합론이다. 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 또한 재귀적 정의를 허용할 경우 NBG는 (Morse–Kelley set theory, 약자 MK)가 된다. NBG는 ZFC나 MK와 다르게 유한적으로 공리화가능(finitely axiomatizable)하다. (ko)
- De Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer (NBG) is een axiomatisering van de verzamelingenleer. Zij bouwt voort op de axioma's van de eerste orde predicatenlogica en een aantal extra axioma's uit de verzamelingenleer. NBG is vernoemd naar de wiskundigen, John von Neumann, Paul Bernays en Kurt Gödel, omdat deze verzamelingenleer zich op werken van deze wiskundigen uit respectievelijk de jaren 1925/1927, 1937 en 1940 baseert. NBG is gelijkwaardig aan de meer wijdverbreide Zermelo-Frankel-Cantor-verzamelingenleer (ZFC). In tegenstelling tot ZFC zijn de basisobjecten van NBG geen verzamelingen, maar klassen. Verzamelingen zijn in NBG als volgt gedefinieerd: Een klasse is precies dan een verzameling, wanneer zij een element van een klasse is. Formeel betekent dit: (nl)
- Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя — Бернайса) в метаматематике — одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предложения, сформулированные на языке теории ZFC, доказуемы в ZFC тогда и только тогда, когда они доказуемы в NBG. (ru)
- Теорія множин та класів фон Ноймана — Бернайса — Геделя (скорочено NBG) — аксіоматична теорія першого порядку, що є (консервативним) розширенням теорії множин ZF Цермело — Френкеля. На відміну від ZF, NBG є скінченно аксіоматизовною теорією, яка дозволяє вільно оперувати як множинами, так і класами. Окрім стандартних логічних зв'язок, кванторів та символу рівності, мова теорії NBG включає символ бінарного відношення , що інтерпретується як належність. Два класи називають рівними, якщо вони складаються з однакових елементів, тобто , якщо . (uk)
|
