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| - In the philosophy of mathematics, finitism is an extreme form of constructivism, according to which a mathematical object does not exist unless it can be constructed from natural numbers in a finite number of steps. In her book Philosophy of Set Theory, Mary Tiles characterized those who allow countably infinite as Classical Finitists, and those who deny even countably infinite as Strict Finitists.
The most famous proponent of finitism was Leopold Kronecker, who said:
:"God created the natural numbers, all else is the work of man."
Although most modern constructivists take a weaker view, they can trace the origins of constructivism back to Kronecker's finitist work.
In 1923, Thoralf Skolem published a paper in which he presented a semi-formal system, what is now known as Primitive recursive arithmetic, which is widely taken to be a suitable background for finitist mathematics. This was adopted by Hilbert and Bernays as the 'contentual', finitist system for metamathematics, in which a proof of the consistency of other mathematical systems (e.g. full Peano Arithmetic) was to be given. (See Hilbert's program.)
Reuben Goodstein is another proponent of finitism. Some of his work involved building up to analysis from finitist foundations. Although he denied it, much of Ludwig Wittgenstein's writing on mathematics has a strong affinity with finitism. If finitists are contrasted with transfinitists (proponents of e.g. Cantor's hierarchy of infinities), then also Aristotle may be characterized as a Classical Finitist. Aristotle especially promoted the potential infinity as a middle option between strict finitism and actual infinity. (Note that Aristotle's actual infinity means simply an actualization of something neverending in nature, when in contrast the Cantorist actual infinity means the transfinite cardinal and ordinal numbers, that have nothing to do with the things in nature):
"But on the other hand to suppose that the infinite does not exist
in any way leads obviously to many impossible consequences:
there will be a beginning and end of time, a magnitude will not
be divisible into magnitudes, number will not be infinite. If, then,
in view of the above considerations, neither alternative seems possible,
an arbiter must be called in;" -Aristotle, Metaphysics, Book 3, Chapter 6.
Even stronger than finitism is ultrafinitism (also known as ultraintuitionism), associated primarily with Alexander Esenin-Volpin. (en)
- En la filosofía de la matemática, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable. El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker, que dijo: "Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre."
Aunque la mayoría de los constructivistas modernos tienen un punto de vista más laxo, se puede buscar el origen del constructivismo en el trabajo de Kronecker sobre el finitismo.
Reuben Goodstein es otro exponente del finitismo. Parte de su trabajo implicaba construir el análisis partiendo de fundamentos finitistas. Aunque lo negase, gran parte de los escritos matemáticos de Ludwig Wittgenstein tiene una gran afinidad con el finitismo.
Incluso más estricto que el finitismo es el ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo), asociado principalmente con Alexander Esenin-Volpin. (es)
- In der Philosophie der Mathematik ist der Finitismus eine Form des Konstruktivismus, nach der über ein mathematisches Objekt erst dann sinnvoll gesprochen werden kann, wenn es in einer endlichen (oder, in einer abgeschwächten Variante, abzählbar unendlichen) Anzahl von Schritten aus natürlichen Zahlen abgeleitet werden kann.
Noch strenger als der Finitismus ist der Ultrafinitismus (oder Ultraintuitionismus), wie er etwa von Alexander Jessenin-Wolpin vertreten wird. Dieser fordert eine Konstruierbarkeit nicht nur in endlich vielen Schritten, sondern in einer physikalisch möglichen Anzahl von Schritten.
Die Diskrete Mathematik beschäftigt sich mit endlichen oder höchstens abzählbaren mathematischen Strukturen. Dadurch kommt es zu einer gewissen Überschneidung zwischen Finitismus und Diskreter Mathematik, wobei letzterer aber keine finitistischen Motive zu Grunde liegen müssen. (de)
- Nella filosofia della matematica, il finitismo è un atteggiamento estremo di
costruttivismo: esso sostiene che ogni oggetto matematico esiste
solo se può essere costruito in un numero finito di passi a partire da numeri naturali o da
stringhe su un alfabeto finito in un numero finito di passi. Molti costruttivisti però, in contrasto con
questa posizione drastica, ammettono anche l'esistenza di oggetti costruiti con una procedura che effettua
una infinità numerabile di passi.
Il più famoso propugnatore del finitismo fu Leopold Kronecker, che affermò:
:"Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo."
Una posizione meno spinta è quella dei costruttivisti; anch'essi però
si richiamano alle idee finitiste di Kronecker.
Una posizione ancora più drastica del finitismo è chiamata ultrafinitismo o ultraintuizionismo;
figura di spicco di questo atteggiamento è Alexander Esenin-Volpin. (it)
- Finityzm - nurt filozofii matematyki, będący skrajną odmianą konstruktywizmu. Zwolennicy finityzmu uznają istnienie obiektów matematycznych o tyle, o ile są one dane "bezpośrednio" (jak na przykład liczby naturalne), lub dają się skonstruować z takich obiektów za pomocą skończonej liczby kroków. "Umiarkowany" konstruktywizm dopuszcza również konstrukcje o nieskończonej liczbie kroków, pod warunkiem, że są one jednoznacznie opisane. W szczególności, dozwolone są konstrukcje obiektów oparte o indukcję matematyczną.
Jednym z pierwszych konstruktywistów był Leopold Kronecker. Znane jest jego powiedzenie:
:"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka."
Oprócz Kroneckera, z filozofią finityzmu związane są takie postaci jak Reuben Goodstein i Alexander Esenin-Volpin. Ten ostatni określany jest również jako "ultrafinitysta" (lub "ultraintuicjonista"). (pl)
- 在數學哲學，有限主義是構成主義的極端形式，意即除非某數學物件能經過有限步從自然數中構造出來，否則該物件便不存在。相反，大部分構成主義者容許可列出的無限步。
著名有限主義者利奧波德·克羅內克曾說：「上帝創造整數，其他的都是人類的工作。」
雖然大部分現代有限主義者的觀點較弱，但他們的有限主義思想源頭都可以在克羅內克的作品找到。
更強的有限主義是極端有限主義。 (zh)
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| - In the philosophy of mathematics, finitism is an extreme form of constructivism, according to which a mathematical object does not exist unless it can be constructed from natural numbers in a finite number of steps. In her book Philosophy of Set Theory, Mary Tiles characterized those who allow countably infinite as Classical Finitists, and those who deny even countably infinite as Strict Finitists. (en)
- En la filosofía de la matemática, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable. (es)
- In der Philosophie der Mathematik ist der Finitismus eine Form des Konstruktivismus, nach der über ein mathematisches Objekt erst dann sinnvoll gesprochen werden kann, wenn es in einer endlichen (oder, in einer abgeschwächten Variante, abzählbar unendlichen) Anzahl von Schritten aus natürlichen Zahlen abgeleitet werden kann. (de)
- Nella filosofia della matematica, il finitismo è un atteggiamento estremo di costruttivismo: esso sostiene che ogni oggetto matematico esiste solo se può essere costruito in un numero finito di passi a partire da numeri naturali o da stringhe su un alfabeto finito in un numero finito di passi. Molti costruttivisti però, in contrasto con questa posizione drastica, ammettono anche l'esistenza di oggetti costruiti con una procedura che effettua una infinità numerabile di passi. (it)
- Finityzm - nurt filozofii matematyki, będący skrajną odmianą konstruktywizmu. Zwolennicy finityzmu uznają istnienie obiektów matematycznych o tyle, o ile są one dane "bezpośrednio" (jak na przykład liczby naturalne), lub dają się skonstruować z takich obiektów za pomocą skończonej liczby kroków. "Umiarkowany" konstruktywizm dopuszcza również konstrukcje o nieskończonej liczbie kroków, pod warunkiem, że są one jednoznacznie opisane. (pl)
- 在數學哲學，有限主義是構成主義的極端形式，意即除非某數學物件能經過有限步從自然數中構造出來，否則該物件便不存在。相反，大部分構成主義者容許可列出的無限步。 (zh)
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