| dbo:abstract
|
- Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren. Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem beschränkten Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein abgeschlossenes Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein abgeschlossenes Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren. Grundideen in Form des Arguments der vollständigen Teilung finden sich bereits bei Zenon von Elea und Aristoteles. (de)
- En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia de subconjuntos de tales que: 1.
* Cada uno de los conjuntos Ik es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma (intervalo cerrado), (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos. 2.
* Se cumple que , esto es, cada intervalo Ik está contenido en el anterior. 3.
* Se tiene que, si los extremos de cada intervalo Ik son ak y bk, entonces , esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva. (es)
- In mathematics, a sequence of nested intervals can be intuitively understood as an ordered collection of intervals on the real number line with natural numbers as an index. In order for a sequence of intervals to be considered nested intervals, two conditions have to be met: 1.
* Every interval in the sequence is contained in the previous one ( is always a subset of ). 2.
* The length of the intervals get arbitrarily small (meaning the length falls below every possible threshold after a certain index ). In other words, the left bound of the interval can only increase, and the right bound can only decrease. Historically - long before anyone defined nested intervals in a textbook - people implicitly constructed such nestings for concrete calculation purposes. For example, the ancient Babylonians discovered a method for computing square roots of numbers. In contrast, the famed Archimedes constructed sequences of polygons, that inscribed and surcumscribed a unit circle, in order to get a lower and upper bound for the circles circumference - which is the circle number Pi. The central question to be posed is the nature of the intersection over all the natural numbers, or, put differently, the set of numbers, that are found in every Interval (thus, for all ). In modern mathematics, nested intervals are used as a construction method for the real numbers (in order to complete the field of rational numbers). (en)
- 수학에서 축소구간열(縮小區間列, sequence of nested intervals)은 각 구간이 바로 앞 구간의 부분 집합인 구간들의 열이다. 축소구간정리(縮小區間定理, 영어: nested intervals theorem)에 따르면, 닫힌구간으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다. (ko)
- Лема про вкладені відрізки, або принцип вкладених відрізків Коші — Кантора, або принцип неперервності Кантора — фундаментальне твердження у математичному аналізі, яке стверджує, що будь-яка послідовність вкладених відрізків на дійсній прямій, довжина яких прямує до нуля, має єдину спільну точку. (uk)
- Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum. (pt)
- 在數學中，一串區間套是實數中的一串區間In（n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有In + 1 是In的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。 關於區間套的主要問題在於探討所有區間In的交集（記作J）的性狀。 事實上，當In都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套(0, 2−n)的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2−n，故而x不在J中。 但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理，這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套In（例如In = [an, bn]並滿足an ≤ bn），它們的交集In非空，且為閉區間；特別地，假若，則它們的交集J為一個包含且僅包含的單點集。 (zh)
- Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, или принцип непрерывности Кантора — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia de subconjuntos de tales que: 1.
* Cada uno de los conjuntos Ik es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma (intervalo cerrado), (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos. 2.
* Se cumple que , esto es, cada intervalo Ik está contenido en el anterior. 3.
* Se tiene que, si los extremos de cada intervalo Ik son ak y bk, entonces , esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva. (es)
- 수학에서 축소구간열(縮小區間列, sequence of nested intervals)은 각 구간이 바로 앞 구간의 부분 집합인 구간들의 열이다. 축소구간정리(縮小區間定理, 영어: nested intervals theorem)에 따르면, 닫힌구간으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다. (ko)
- Лема про вкладені відрізки, або принцип вкладених відрізків Коші — Кантора, або принцип неперервності Кантора — фундаментальне твердження у математичному аналізі, яке стверджує, що будь-яка послідовність вкладених відрізків на дійсній прямій, довжина яких прямує до нуля, має єдину спільну точку. (uk)
- Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum. (pt)
- 在數學中，一串區間套是實數中的一串區間In（n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有In + 1 是In的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。 關於區間套的主要問題在於探討所有區間In的交集（記作J）的性狀。 事實上，當In都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套(0, 2−n)的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2−n，故而x不在J中。 但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理，這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套In（例如In = [an, bn]並滿足an ≤ bn），它們的交集In非空，且為閉區間；特別地，假若，則它們的交集J為一個包含且僅包含的單點集。 (zh)
- Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, или принцип непрерывности Кантора — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел. (ru)
- Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren. Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem beschränkten Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein abgeschlossenes Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein abgeschlossenes Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren. (de)
- In mathematics, a sequence of nested intervals can be intuitively understood as an ordered collection of intervals on the real number line with natural numbers as an index. In order for a sequence of intervals to be considered nested intervals, two conditions have to be met: 1.
* Every interval in the sequence is contained in the previous one ( is always a subset of ). 2.
* The length of the intervals get arbitrarily small (meaning the length falls below every possible threshold after a certain index ). (en)
|
