First-order logic is a collection of formal systems used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. It is also known as first-order predicate calculus, the lower predicate calculus, quantification theory, and predicate logic. First-order logic uses quantified variables over non-logical objects. It allows the use of sentences that contain variables, so that rather than propositions such as Socrates is a man one can have expressions in the form X is a man where X is a variable. This distinguishes it from propositional logic, which does not use quantifiers.

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  • First-order logic is a collection of formal systems used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. It is also known as first-order predicate calculus, the lower predicate calculus, quantification theory, and predicate logic. First-order logic uses quantified variables over non-logical objects. It allows the use of sentences that contain variables, so that rather than propositions such as Socrates is a man one can have expressions in the form X is a man where X is a variable. This distinguishes it from propositional logic, which does not use quantifiers. A theory about a topic is usually a first-order logic together with a specified domain of discourse over which the quantified variables range, finitely many functions from that domain to itself, finitely many predicates defined on that domain, and a set of axioms believed to hold for those things. Sometimes "theory" is understood in a more formal sense, which is just a set of sentences in first-order logic. The adjective "first-order" distinguishes first-order logic from higher-order logic in which there are predicates having predicates or functions as arguments, or in which one or both of predicate quantifiers or function quantifiers are permitted. In first-order theories, predicates are often associated with sets. In interpreted higher-order theories, predicates may be interpreted as sets of sets. There are many deductive systems for first-order logic which are both sound (all provable statements are true in all models) and complete (all statements which are true in all models are provable). Although the logical consequence relation is only semidecidable, much progress has been made in automated theorem proving in first-order logic. First-order logic also satisfies several metalogical theorems that make it amenable to analysis in proof theory, such as the Löwenheim–Skolem theorem and the compactness theorem. First-order logic is the standard for the formalization of mathematics into axioms and is studied in the foundations of mathematics. Peano arithmetic and Zermelo–Fraenkel set theory are axiomatizations of number theory and set theory, respectively, into first-order logic. No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line. Axioms systems that do fully describe these two structures (that is, categorical axiom systems) can be obtained in stronger logics such as second-order logic. For a history of first-order logic and how it came to dominate formal logic, see José Ferreirós (2001). (en)
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) منطق الرتبة الأولى (First-order logic FOL) أو المنطق الإسنادي عبارة عن نظام للمنطق الرياضي يستخدم في الرياضيات والفلسفة والذكاء الصناعي وعلوم الحاسب. وهو يستخدم في التعبير عن الجمل المنطقية بشكل غير مبهم وبهذا يخالف عن اللغات الطبيعية والتي قد تحتوي على جمل مبهمة. ذلك يسهل الاستنتاج واجراء العمليات المنطقية على الجمل أو المعادلات التي تنشاء باستخدامه.و يعتبر منطق الرتبة الأولى هو تمديد منطق القضايا (منطق العبارات) propositional logic وذلك بإضافة القياس سواء كان عالمي أو وجودي. يعتبر بمنطق الرتبة الثانية تمديد لمنطق الرتبة الأولى وذلك بإضافة القياس على المجموعات. يدعى منطق الرتبة الأولى أحيانا : بمنطق الرتبة الأولى الإسنادي أو first-order predicate calculus (FOPC. * 32xبوابة رياضيات * 32xبوابة منطق (ar)
  • La lógica de primer orden, también llamada lógica predicativa, lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo. La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas. (es)
  • Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Sie befasst sich mit der Struktur gewisser mathematischer Ausdrücke und dem logischen Schließen, mit dem man von derartigen Ausdrücken zu anderen gelangt. Dabei gelingt es, sowohl die Sprache als auch das Schließen rein syntaktisch, das heißt ohne Bezug zu mathematischen Bedeutungen, zu definieren. Das dadurch ermöglichte Zusammenspiel von rein syntaktischen Überlegungen einerseits und semantischen Betrachtungen andererseits führt zu wichtigen Erkenntnissen, die Bedeutung für die gesamte Mathematik haben, denn diese lässt sich mittels der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Prädikatenlogik erster Stufe formulieren. Im Unterschied zur Aussagenlogik macht die Prädikatenlogik von Quantoren Gebrauch. (de)
  • Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico. (it)
  • 一階述語論理(いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic)とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理(にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic)と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理(こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic)という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。 (ja)
  • Rachunek predykatów pierwszego rzędu (ang. first order predicate calculus) – system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu „dla każdej funkcji z X na Y...” (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), „istnieje własność p, taka że...” czy „dla każdego podzbioru X zbioru Z...”. Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną). Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie „dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa”, jednak nie można zapisać „każdy zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny”, gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu. Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do rachunku zdań), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do komputerowej analizy (co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów). Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie. W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta na książce Martina Goldsterna i Haima Judaha. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda. (pl)
  • A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida pela lógica de segunda ordem. As sentenças atômicas da lógica de primeira ordem têm o formato P (t1,…, tn) (um predicado com um ou mais "argumentos") ao invés de serem símbolos sentenciais sem estruturas. O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença φ qualquer, as novas construções e -- leia "para todo x, φ" e "para algum x, φ", respectivamente—são introduzidas. significa que φ é verdadeiro para todo valor de x e significa que há pelo menos um x tal que φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refinamento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos. A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finito ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de primeira ordem de maneira independente(embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano. (pt)
  • Ло́гика пе́рвого поря́дка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков. (ru)
  • 一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统。 過去一百多年,一階邏輯出現過許多種名稱,包括:一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或斷言逻辑(一個較不精確的用詞)。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於,一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯,若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域,即是一個一階理論。 一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於,高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數,且允許斷言量詞或函數量詞的(同時或不同時)存在。在一階邏輯中,斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中,斷言則會被解釋為集合的集合。 存在許多對一階邏輯是可靠(所有可證的敘述皆為真)且完備(所有為真的敘述皆可證)的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的,但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理,如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份,因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統,如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等,都可以形式化成一階理論。然而,一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。 (zh)
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  • La lógica de primer orden, también llamada lógica predicativa, lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo. La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas. (es)
  • Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Sie befasst sich mit der Struktur gewisser mathematischer Ausdrücke und dem logischen Schließen, mit dem man von derartigen Ausdrücken zu anderen gelangt. Dabei gelingt es, sowohl die Sprache als auch das Schließen rein syntaktisch, das heißt ohne Bezug zu mathematischen Bedeutungen, zu definieren. Das dadurch ermöglichte Zusammenspiel von rein syntaktischen Überlegungen einerseits und semantischen Betrachtungen andererseits führt zu wichtigen Erkenntnissen, die Bedeutung für die gesamte Mathematik haben, denn diese lässt sich mittels der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Prädikatenlogik erster Stufe formulieren. Im Unterschied zur Aussagenlogik macht die Prädikatenlogik von Quantoren Gebrauch. (de)
  • Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico. (it)
  • 一階述語論理(いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic)とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理(にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic)と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理(こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic)という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。 (ja)
  • Ло́гика пе́рвого поря́дка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков. (ru)
  • 一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统。 過去一百多年,一階邏輯出現過許多種名稱,包括:一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或斷言逻辑(一個較不精確的用詞)。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於,一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯,若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域,即是一個一階理論。 一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於,高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數,且允許斷言量詞或函數量詞的(同時或不同時)存在。在一階邏輯中,斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中,斷言則會被解釋為集合的集合。 存在許多對一階邏輯是可靠(所有可證的敘述皆為真)且完備(所有為真的敘述皆可證)的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的,但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理,如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份,因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統,如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等,都可以形式化成一階理論。然而,一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。 (zh)
  • First-order logic is a collection of formal systems used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. It is also known as first-order predicate calculus, the lower predicate calculus, quantification theory, and predicate logic. First-order logic uses quantified variables over non-logical objects. It allows the use of sentences that contain variables, so that rather than propositions such as Socrates is a man one can have expressions in the form X is a man where X is a variable. This distinguishes it from propositional logic, which does not use quantifiers. (en)
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) منطق الرتبة الأولى (First-order logic FOL) أو المنطق الإسنادي عبارة عن نظام للمنطق الرياضي يستخدم في الرياضيات والفلسفة والذكاء الصناعي وعلوم الحاسب. وهو يستخدم في التعبير عن الجمل المنطقية بشكل غير مبهم وبهذا يخالف عن اللغات الطبيعية والتي قد تحتوي على جمل مبهمة. ذلك يسهل الاستنتاج واجراء العمليات المنطقية على الجمل أو المعادلات التي تنشاء باستخدامه.و يعتبر منطق الرتبة الأولى هو تمديد منطق القضايا (منطق العبارات) propositional logic وذلك بإضافة القياس سواء كان عالمي أو وجودي. يعتبر بمنطق الرتبة الثانية تمديد لمنطق الرتبة الأولى وذلك بإضافة القياس على المجموعات. يدعى منطق الرتبة الأولى أحيانا : بمنطق الرتبة الأولى الإسنادي أو first-order predicate calculus (FOPC. (ar)
  • Rachunek predykatów pierwszego rzędu (ang. first order predicate calculus) – system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu „dla każdej funkcji z X na Y...” (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), „istnieje własność p, taka że...” czy „dla każdego podzbioru X zbioru Z...”. Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną). (pl)
  • A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida pela lógica de segunda ordem. As sentenças atômicas da lógica de primeira ordem têm o formato P (t1,…, tn) (um predicado com um ou mais "argumentos") ao invés de serem símbolos sentenciais sem estruturas. O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença φ qualquer, as novas construções e (pt)
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  • منطق الرتبة الأولى (ar)
  • Prädikatenlogik erster Stufe (de)
  • Lógica de primer orden (es)
  • Teoria del primo ordine (it)
  • 一階述語論理 (ja)
  • Rachunek predykatów pierwszego rzędu (pl)
  • Lógica de primeira ordem (pt)
  • Логика первого порядка (ru)
  • 一阶逻辑 (zh)
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