| dbpprop:abstract
|
- First-order logic is a formal logic used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. It goes by many names, including: first-order predicate calculus, the lower predicate calculus, and predicate logic. First-order logic is distinguished from propositional logic by its use of quantifiers; each interpretation of first-order logic includes a domain of discourse over which the quantifiers range. There are many deductive systems for first-order logic that are sound (only deriving correct results) and complete (able to derive any logically valid implication). Although the logical consequence relation is only semidecidable, much progress has been made in automated theorem proving in first-order logic. First-order logic also satisfies several metalogical theorems that make it amenable to analysis in proof theory, such as the Löwenheim–Skolem theorem and the compactness theorem. First-order logic is of great importance to the foundations of mathematics, where it has become the standard formal logic for axiomatic systems. It has sufficient expressive power to formalize two important mathematical theories: Zermelo–Fraenkel (ZFC) set theory and (first-order) Peano arithmetic. However, no axiom system in first order logic is strong enough to fully describe infinite structures such as the natural numbers or the real line. Categorical axiom systems for these structures can be obtained in stronger logics such as second-order logic. A history of first-order logic and an account of its emergence over other formal logics is provided by Ferreirós.
- Predikátová logika prvního řádu je predikátová logika, která dovoluje používání kvantifikovaných tvrzení ve tvaru „existuje x tak, že…“ (<math>\exists x</math>) nebo „pro každé x platí…“ (<math>\forall x</math>), pokud je x individuem a ne predikátem. Pokud bychom dovolili kvantifikování predikátů, nejedná se o predikátovou logiku prvního, ale vyššího řádu. I přes tato omezení je ale tato logika schopna formalizovat mnohá tvrzení teorie množin. Omezení začnou být překážkou až ve chvíli, kdy začneme studovat topologii.
- La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo. La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas.
- Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.
- Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ... " (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ... " czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną). Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie "dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa", jednak nie można zapisać "każdy zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny", gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu. Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do rachunku zdań), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do komputerowej analizy (co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów). Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie. W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta o książkę Martina Goldsterna i Haima Judaha. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda.
- A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida pela lógica de segunda ordem. As sentenças atômicas da lógica de primeira ordem têm o formato P (t1,…, tn) (um predicado com um ou mais “argumentos”) ao invés de serem símbolos sentenciais sem estruturas. O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença φ qualquer, as novas construções <math>\forall x\, \phi</math> e <math>\exists x\, \phi</math> -- leia “para todo x, φ” e “para algum x, φ”, respectivamente—são introduzidas. <math>\forall x\, \phi</math> significa que φ é verdadeiro para todo valor de x e <math>\exists x\, \phi</math> significa que há pelo menos um x tal que φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refinamento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos. A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finitos ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de primeira ordem de maneira independente(embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano.
- Логика первого порядка (исчисление предикатов) — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высшего порядка.
- 一阶逻辑（First-order logic）是数学家、哲学家、语言学家使用的一种形式演绎系统。它有很多名字包括：一阶谓词演算、低等谓词演算、一阶逻辑的语言或谓词逻辑。不像自然语言如英语，FOL 使用由数学结构来解释的完全无歧义的形式语言。一阶逻辑是通过允许在给定论域的个体上的量化而扩展命题逻辑的演绎系统。例如，在 FOL 中可陈述“所有个体都有性质 P”。 命题逻辑处理简单的陈述性命题，一阶逻辑补充覆盖了谓词和量化。例如下列句子：“苏格拉底是男人”，“柏拉图是男人”。在命题逻辑中，它们是两个无关的命题，比如指示为 p 和 q。但是在一阶逻辑中，这两个句子将由同一个性质联系起来：Man(x)，这里的 Man(x) 意味着 x 是个男人。在 x = 苏格拉底时我们得到了第一个命题 p，而在 x = 柏拉图时我们得到了第二个命题 q。这种构造在介入了量词的时候允许更加强力的逻辑，比如“对于所有 x... ”。例如，“对于所有 x，如果 Man(x) 则... ”。没有量词的话，所有在 FOL 中的有效论证在命题逻辑中也有效的，反之亦然。 一阶理论构成自公理的集合（通常有限的或递归可枚举的）和给定底层可演绎性关系从它们可演绎出的那些陈述。“一阶理论”通常意味着某个公理集合和“与之在一起的完备（和可靠）的一阶逻辑公理化”，它闭合在 FOL 的规则之下。（对任何这种系统 FOL 将引出同样的抽象可演绎性关系，所以我们在头脑中不需要有固定的公理化系统。）一阶语言有足够的表达能力来形式化两个重要的数学理论：ZFC 集合论和皮亚诺算术。但是一阶语言不能无条件的表达可数性的概念，即使它在一阶理论 ZFC 中在 ZFC 符号论的预期释义下是可表达的。这种想法可以用二阶逻辑无条件的表达。
|
| rdfs:comment
|
- First-order logic is a formal logic used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. It goes by many names, including: first-order predicate calculus, the lower predicate calculus, and predicate logic. First-order logic is distinguished from propositional logic by its use of quantifiers; each interpretation of first-order logic includes a domain of discourse over which the quantifiers range.
- Predikátová logika prvního řádu je predikátová logika, která dovoluje používání kvantifikovaných tvrzení ve tvaru „existuje x tak, že…“ (<math>\exists x</math>) nebo „pro každé x platí…“ (<math>\forall x</math>), pokud je x individuem a ne predikátem. Pokud bychom dovolili kvantifikování predikátů, nejedná se o predikátovou logiku prvního, ale vyššího řádu.
- La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo.
- Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.
- Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ... " (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ... " czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...".
- A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida pela lógica de segunda ordem. As sentenças atômicas da lógica de primeira ordem têm o formato P (t1,…, tn) (um predicado com um ou mais “argumentos”) ao invés de serem símbolos sentenciais sem estruturas.
- Логика первого порядка (исчисление предикатов) — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высшего порядка.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
