Chaos theory is the field of study in mathematics that studies the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions—a response popularly referred to as the butterfly effect. Small differences in initial conditions (such as those due to rounding errors in numerical computation) yield widely diverging outcomes for such dynamical systems, rendering long-term prediction impossible in general. This happens even though these systems are deterministic, meaning that their future behavior is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos. The theory was summarized by Edward Lorenz as:

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  • Chaos theory is the field of study in mathematics that studies the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions—a response popularly referred to as the butterfly effect. Small differences in initial conditions (such as those due to rounding errors in numerical computation) yield widely diverging outcomes for such dynamical systems, rendering long-term prediction impossible in general. This happens even though these systems are deterministic, meaning that their future behavior is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos. The theory was summarized by Edward Lorenz as: Chaos: When the present determines the future, but the approximate present does not approximately determine the future. Chaotic behavior exists in many natural systems, such as weather and climate. It also occurs spontaneously in some systems with artificial components, such as road traffic. This behavior can be studied through analysis of a chaotic mathematical model, or through analytical techniques such as recurrence plots and Poincaré maps. Chaos theory has applications in several disciplines, including meteorology, sociology, physics, environmental science, computer science, engineering, economics, biology, ecology, and philosophy. (en)
  • نظرية الشواش من أحدث النظريات الرياضية الفيزيائية - وتترجم أحيانا بنظرية الفوضى - التي تتعامل مع موضوع الجمل المتحركة (الديناميكية) اللاخطية التي تبدي نوعا من السلوك العشوائي يعرف بالشواش، وينتج هذا السلوك العشوائي إما عن طريق عدم القدرة على تحديد الشروط البدئية (تأثير الفراشة) أو عن طريق الطبيعة الفيزيائية الاحتمالية لميكانيك الكم. تحاول نظرية الشواش أن تستكشف النظام الخفي المضمر في هذه العشوائية الظاهرة محاولة وضع قواعد لدراسة مثل هذه النظم مثل الموائع والتنبؤات الجوية والنظام الشمسي واقتصاد السوق وحركة اللأسهم المالية والتزايد السكاني. (ar)
  • Die Chaosforschung oder Chaostheorie bezeichnet ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der Nichtlinearen Dynamik bzw. der Dynamischen Systeme, welches der Mathematischen Physik oder angewandten Mathematik zugeordnet ist. Im Wesentlichen beschäftigt sie sich mit Ordnungen in speziellen dynamischen Systemen, deren zeitliche Entwicklung unvorhersagbar erscheint, obwohl die zugrundeliegenden Gleichungen deterministisch sind. Dieses Verhalten wird als deterministisches Chaos bezeichnet und entsteht, wenn Systeme empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängen: Ganz leicht verschiedene Wiederholungen eines Experimentes können im Langzeitverhalten zu höchst unterschiedlichen Messergebnissen führen (die Chaostheorie besagt also nicht, dass identische Anfangsbedingungen zu verschiedenen Ergebnissen führen würden). Als einführendes Beispiel wird oft auf das magnetische Pendel oder das Doppelpendel verwiesen. Chaotische dynamische Systeme sind nichtlinear. Andere Beispiele sind der Schmetterlingseffekt beim Wetter, Turbulenzen, Wirtschaftskreisläufe, bestimmte Musterbildungsprozesse, wie beispielsweise Erosion, die Entstehung eines Verkehrsstaus, neuronale Netze sowie bei Lasern. Die Chaosforschung basiert unter anderem auf Arbeiten von Henri Poincaré, Edward N. Lorenz, Benoît Mandelbrot und Mitchell Feigenbaum. Die hier dargestellten Phänomene entsprechen dem Minimalkonsens darüber, was thematisch zur Chaosforschung zählt. (de)
  • La teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias (biología, meteorología, economía, entre otras) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor deterministas, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales. (es)
  • En mathématiques, la théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques qui sont très sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon. Des différences infimes dans les conditions initiales (comme des erreurs d'arrondi dans les calculs numériques) entraînent des résultats totalement différents pour de tels systèmes, rendant en général toute prédiction impossible à long terme. Cela est valable même pour des systèmes déterministes, ce qui signifie que leur comportement futur est entièrement déterminé par leurs conditions initiales, sans intervention du hasard. En d'autres termes, la nature déterministe de ces systèmes ne les rend pas prévisibles. Ce comportement est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos. Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie. (fr)
  • La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali. I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche. Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro. (it)
  • カオス理論(カオスりろん、英: chaos theory、独: Chaosforschung、仏: Théorie du chaos)は、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。 ここで言う予測できないとは、決して確率的にランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来(および過去)の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、(コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する)数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。 (ja)
  • De chaostheorie is de populaire benaming voor het gebied binnen de wiskunde dat het gedrag van bepaalde dynamische systemen (Engels: Dynamical systems of systeemtheorie) onderzoekt. De officiële naam binnen de wiskunde is dynamische systemen. Het onderzoekt omstandigheden waarbij deterministische chaos optreedt en welke eigenschappen die heeft. Het begrip chaos heeft hierbij een technische betekenis, te onderscheiden van het losse alledaagse woordgebruik. Deterministische chaos betekent dat de schijnbare wanorde toch exact bepaald is en geordend tot stand komt volgens een algoritme of rekenregel. Bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking of recursie. Het gebied is bijzonder praktisch want de stabiliteit en betrouwbaarheid van systemen wordt ermee onderzocht. (nl)
  • Chaos deterministyczny − własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne. Przesłankę prowadzącą do sformułowania teorii chaosu były badania Edwarda Lorenza nad modelami prognozowania pogody. Zgodnie z ówczesnym, deterministycznym rozumieniem rzeczywistości minimalna zmiana warunków początkowych powinna prowadzić do proporcjonalnie niewielkich zmian wyniku modelu. W trakcie pracy nad modelem, z natury dynamicznym (dane z iteracji wcześniejszych są danymi wejściowymi dla iteracji następujących), w celu ułatwienia pracy wprowadził zaokrąglone wartości wyjściowe. Okazało się, że wynik modelu diametralnie odbiegał od tego co przewidywał ten sam model przy danych wprowadzonych z większą dokładnością. Dalsze badania nad układami dynamicznymi doprowadziły do wniosku, iż wbrew powszechnym przekonaniom w nauce, niewielkie zaburzenie warunków początkowych powoduje rosnące wykładniczo z czasem zmiany w zachowaniu układu. Popularnie nazywane jest to efektem motyla - znikoma różnica na jakimś etapie może po dłuższym czasie urosnąć do dowolnie dużych rozmiarów. Powoduje to, że choć model jest deterministyczny, w dłuższej skali czasowej wydaje się zachowywać w sposób losowy. Zachowanie takie można zaobserwować w wielu zjawiskach fizycznych, między innymi w zmianach pogody, oscylujących reakcjach chemicznych, zachowaniu niektórych obwodów elektrycznych i ruchu ciał oddziałujących grawitacyjnie. (pl)
  • A Teoria do caos trata de sistemas complexos e dinâmicos rigorosamente deterministas, mas que apresentam um fenômeno fundamental de instabilidade chamado sensibilidade às condições iniciais que, modulando uma propriedade suplementar de recorrência, torna-os não previsíveis na prática a longo prazo. Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados determinados são causados pela ação e a iteração de elementos de forma praticamente aleatória. Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a evaporação da água, os ventos, o clima, condições do Sol, os eventos sobre a superfície e inúmeros outros. Além disso, mesmo que o número de fatores influenciando um determinado resultado seja pequeno, ainda assim a ocorrência do resultado esperado pode ser instável, desde que o sistema seja não-linear. A conseqüência desta instabilidade dos resultados é que mesmo sistemas determinísticos (os quais tem resultados determinados por leis de evolução bem definidas) apresentem uma grande sensibilidade a perturbações (ruído) e erros, o que leva a resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios, ocorrendo ao acaso. Mesmo em sistemas nos quais não há ruído, erros microscópicos na determinação do estado inicial e atual do sistema podem ser amplificados pela não-linearidade ou pelo grande número de interações entre os componentes, levando ao resultado aleatório. É o que se chama de "Caos Determinístico" Na verdade, embora a descrição da mecânica clássica e relativística seja determinística, a complexidade da maioria dos sistemas leva a uma abordagem na qual a maioria dos graus de liberdade microscópicos é tratada como ruído (variáveis estocásticas, ou seja, que apresentam valores verdadeiramente aleatórios) e apenas algumas variáveis são analisadas com uma lei de comportamento determinada, mais simples, sujeita à ação deste ruído. Este método foi utilizado por Einstein e Paul Langevin no início do século XX para compreender o Movimento Browniano. Pois, é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o que as pessoas pensam que é acaso mas, na realidade, é um fenômeno que pode ser representado por equações. Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas equações capazes de simular o resultado de sistemas como esses, ainda assim, a maior parte desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que normalmente não ocorre na natureza. Os cálculos envolvendo a Teoria do Caos são utilizados para descrever e entender fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro e movimentos de placas tectônicas, entre outros. Uma das mais conhecidas bases da teoria é o chamado "efeito borboleta", teorizado pelo matemático Edward Lorenz, em 1963. (pt)
  • Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса. Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием. Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику. (ru)
  • 混沌理论(Chaos theory)是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔(bifurcation)、周期运动与非周期运动相互纠缠,以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中,混沌运动有不同表现,前者有吸引子,后者无(也称含混吸引子)。 从20世纪80年代中期到20世纪末,混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注,引发了全球混沌热。混沌,也写作浑沌(比如《庄子》)。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机的行为或性态。确定性(deterministic)是指方程不含随机项的系统,也称动力系统(dynamical system)。典型的模型有單峰映象(logistic map)迭代系统,洛伦兹微分方程系统,若斯叻吸引子,杜芬方程,蔡氏电路,Chen 吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮(Y. Ueda)、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究,他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念,他也被称为浑沌学之父。 混沌行为可以在许多自然系统中被观测到,例如天气和气候。对于这个行为的研究,可以通过分析混沌数学模型,或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。 (zh)
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  • نظرية الشواش من أحدث النظريات الرياضية الفيزيائية - وتترجم أحيانا بنظرية الفوضى - التي تتعامل مع موضوع الجمل المتحركة (الديناميكية) اللاخطية التي تبدي نوعا من السلوك العشوائي يعرف بالشواش، وينتج هذا السلوك العشوائي إما عن طريق عدم القدرة على تحديد الشروط البدئية (تأثير الفراشة) أو عن طريق الطبيعة الفيزيائية الاحتمالية لميكانيك الكم. تحاول نظرية الشواش أن تستكشف النظام الخفي المضمر في هذه العشوائية الظاهرة محاولة وضع قواعد لدراسة مثل هذه النظم مثل الموائع والتنبؤات الجوية والنظام الشمسي واقتصاد السوق وحركة اللأسهم المالية والتزايد السكاني. (ar)
  • La teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias (biología, meteorología, economía, entre otras) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor deterministas, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales. (es)
  • La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali. I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche. Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro. (it)
  • カオス理論(カオスりろん、英: chaos theory、独: Chaosforschung、仏: Théorie du chaos)は、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。 ここで言う予測できないとは、決して確率的にランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来(および過去)の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、(コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する)数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。 (ja)
  • De chaostheorie is de populaire benaming voor het gebied binnen de wiskunde dat het gedrag van bepaalde dynamische systemen (Engels: Dynamical systems of systeemtheorie) onderzoekt. De officiële naam binnen de wiskunde is dynamische systemen. Het onderzoekt omstandigheden waarbij deterministische chaos optreedt en welke eigenschappen die heeft. Het begrip chaos heeft hierbij een technische betekenis, te onderscheiden van het losse alledaagse woordgebruik. Deterministische chaos betekent dat de schijnbare wanorde toch exact bepaald is en geordend tot stand komt volgens een algoritme of rekenregel. Bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking of recursie. Het gebied is bijzonder praktisch want de stabiliteit en betrouwbaarheid van systemen wordt ermee onderzocht. (nl)
  • 混沌理论(Chaos theory)是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔(bifurcation)、周期运动与非周期运动相互纠缠,以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中,混沌运动有不同表现,前者有吸引子,后者无(也称含混吸引子)。 从20世纪80年代中期到20世纪末,混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注,引发了全球混沌热。混沌,也写作浑沌(比如《庄子》)。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机的行为或性态。确定性(deterministic)是指方程不含随机项的系统,也称动力系统(dynamical system)。典型的模型有單峰映象(logistic map)迭代系统,洛伦兹微分方程系统,若斯叻吸引子,杜芬方程,蔡氏电路,Chen 吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮(Y. Ueda)、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究,他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念,他也被称为浑沌学之父。 混沌行为可以在许多自然系统中被观测到,例如天气和气候。对于这个行为的研究,可以通过分析混沌数学模型,或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。 (zh)
  • Chaos theory is the field of study in mathematics that studies the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions—a response popularly referred to as the butterfly effect. Small differences in initial conditions (such as those due to rounding errors in numerical computation) yield widely diverging outcomes for such dynamical systems, rendering long-term prediction impossible in general. This happens even though these systems are deterministic, meaning that their future behavior is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos. The theory was summarized by Edward Lorenz as: (en)
  • Die Chaosforschung oder Chaostheorie bezeichnet ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der Nichtlinearen Dynamik bzw. der Dynamischen Systeme, welches der Mathematischen Physik oder angewandten Mathematik zugeordnet ist. Im Wesentlichen beschäftigt sie sich mit Ordnungen in speziellen dynamischen Systemen, deren zeitliche Entwicklung unvorhersagbar erscheint, obwohl die zugrundeliegenden Gleichungen deterministisch sind. Dieses Verhalten wird als deterministisches Chaos bezeichnet und entsteht, wenn Systeme empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängen: Ganz leicht verschiedene Wiederholungen eines Experimentes können im Langzeitverhalten zu höchst unterschiedlichen Messergebnissen führen (die Chaostheorie besagt also nicht, dass identische Anfangsbedingungen zu verschiedenen Ergebnissen f (de)
  • En mathématiques, la théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques qui sont très sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon. Des différences infimes dans les conditions initiales (comme des erreurs d'arrondi dans les calculs numériques) entraînent des résultats totalement différents pour de tels systèmes, rendant en général toute prédiction impossible à long terme. Cela est valable même pour des systèmes déterministes, ce qui signifie que leur comportement futur est entièrement déterminé par leurs conditions initiales, sans intervention du hasard. En d'autres termes, la nature déterministe de ces systèmes ne les rend pas prévisibles. Ce comportement est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos. (fr)
  • Chaos deterministyczny − własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne. Zachowanie takie można zaobserwować w wielu zjawiskach fizycznych, między innymi w zmianach pogody, oscylujących reakcjach chemicznych, zachowaniu niektórych obwodów elektrycznych i ruchu ciał oddziałujących grawitacyjnie. (pl)
  • A Teoria do caos trata de sistemas complexos e dinâmicos rigorosamente deterministas, mas que apresentam um fenômeno fundamental de instabilidade chamado sensibilidade às condições iniciais que, modulando uma propriedade suplementar de recorrência, torna-os não previsíveis na prática a longo prazo. Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. (pt)
  • Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса. Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику. (ru)
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  • Chaos theory (en)
  • نظرية الشواش (ar)
  • Chaosforschung (de)
  • Teoría del caos (es)
  • Théorie du chaos (fr)
  • Teoria del caos (it)
  • カオス理論 (ja)
  • Chaostheorie (nl)
  • Chaos (matematyka) (pl)
  • Teoria do caos (pt)
  • Теория хаоса (ru)
  • 混沌理论 (zh)
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