| p:abstract
| - :This article refers to the study of dynamical systems. For other meanings, see catastrophe.
In mathematics, catastrophe theory is a branch of bifurcation theory in the study of dynamical systems; it is also a particular special case of more general singularity theory in geometry.
Bifurcation theory studies and classifies phenomena characterized by sudden shifts in behavior arising from small changes in circumstances, analysing how the qualitative nature of equation solutions depends on the parameters that appear in the equation. This may lead to sudden and dramatic changes, for example the unpredictable timing and magnitude of a landslide.
Catastrophe theory, which was originated with the work of the French mathematician René Thom in the 1960s, and became very popular due to the efforts of Christopher Zeeman in the 1970s, considers the special case where the long-run stable equilibrium can be identified with the minimum of a smooth, well-defined potential function (Lyapunov function).
Small changes in certain parameters of a nonlinear system can cause equilibria to appear or disappear, or to change from attracting to repelling and vice versa, leading to large and sudden changes of the behaviour of the system. However, examined in a larger parameter space, catastrophe theory reveals that such bifurcation points tend to occur as part of well-defined qualitative geometrical structures. (en)
- La Teoría de las catástrofes es el intento de desarrollar un sistema matemático que pudiera representar fenómenos naturales discontinuos que no pueden ser descritos por el cálculo diferencial de manera satisfactoria. Fue propuesta por el matemático francés René Thom en 1968 y tuvo gran auge en la década de los 70. Intentó aplicarse en biología y sociología pero cayó en desuso por ser poco práctica. Un ejemplo de catástrofe es cuando un metal se rompe a elevada temperatura. (es)
- Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen von bestimmten dynamischen Systemen. Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen der Parameter sprunghafte, nichtstetige, diskontinuierliche Änderungen der Lösung erfahren. Die Katastrophentheorie untersucht das Verzweigungs-Verhalten dieser Lösungen (Bifurkationen) bei Variation der Parameter und ist damit eine wichtige Grundlage zur mathematischen Behandlung der Chaostheorie. Manchmal wird in der Mathematik lieber von Theorie der Singularitäten differenzierbarer Abbildungen gesprochen, und der reisserische Name Katastrophentheorie vermieden.
Die Katastrophentheorie fußt grundlegend auf der Differentialgeometrie. Entwickelt wurde sie Ende der 1960er Jahre von René Thom, Wladimir Arnold und anderen. Sie findet Anwendung unter anderem in der modernen Physik und Ökonomie, aber auch in der Linguistik und der Psychologie und war deshalb auf diesen Gebieten in den 1970er Jahren als eine unmittelbar anwendbare qualitative mathematische Methode beliebt. Besonders aktiv war dabei der englische Mathematiker Erik Christopher Zeeman, der die Theorie von der Schiffs-Stabilität bis zur Evolutionstheorie einsetzte. Thom selbst suchte, wie der Titel seines Buches von 1972 zeigt, vor allem Anwendungen in der Biologie (speziell der Embryo-Entwicklung, Morphogenese). (de)
- Katastrofiteoria on matemaattinen teoria, joka käsittelee äkillisiä muutoksia.
Jokin järjestelmä voi vaihtaa äkkiä tilaansa, usein katastrofaalisesti.
Esimerkiksi, kun maankuoren laatat hankaavat toisiaan hyvin voimakkasti, jännitys voi vapautua maanjäristyksenä. Katastrofiteoria kuvaa järjestelmiä matemaattisesti ja etsii raja-arvoja, joilla katastrofi tapahtuu. Esim. tietty lumen paksuus x saa lumen vyörymään.
Katastrofiteoria on systeemiteorian bifurkaatioteorian haara ja geometrian singulariteettiteorian erikoistapaus. (fi)
- Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.
Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de "catastrophe" désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.
La force de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines. (fr)
- La teoria delle catastrofi, è una teoria matematica della morfogenesi, iniziata dal matematico e filosofo francese René Thom negli anni '50 e '60, e rappresenta un originale tentativo di applicazione dei più recenti risultati della topologia all'interpretazione dei fenomeni naturali.
Thom suggerì dunque di impiegare la teoria topologica dei sistemi dinamici, avente la sua origine negli studi effettuati da Henri Poincaré, per modellare i mutamenti discontinui che si presentano con una certa frequenza nei fenomeni naturali, in particolare in biologia.
Esempi significativi di cambiamenti improvvisi causati da piccole alterazioni nei parametri del sistema sono le transizioni di fase, i movimenti tellurici, i cedimenti strutturali, i crolli dei mercati finanziari.
Thom evidenziò inoltre l'importanza, in questo contesto, della stabilità strutturale, intesa come insensibilità del sistema a piccole perturbazioni, rimarcando il fatto che tale requisito implica che il sistema stesso può essere descritto localmente da una di sette forme standard, le cosiddette catastrofi elementari.
Nel linguaggio matematico, una catastrofe è un punto critico (o stazionario, o singolare) degenere (o non regolare) di una superficie liscia (ovunque derivabile) definita in uno spazio euclideo di dimensione n, in quanto a tali punti corrispondono biforcazioni radicali nel comportamento del sistema. Nel caso n=2, è facile mostrare che, per le curve lisce, si hanno solo tre tipologie di punti critici, ossia i punti di massimo locale, minimo locale ed i punti di flesso. Mentre gli estremi locali rappresentano punti critici non degeneri, i flessi sono invece punti critici degeneri, e pertanto rappresentano altrettante catastrofi.
Tale nuova impostazione nell'analisi dei fenomeni complessi si basa su una constatazione teorica molto rilevante, cioè sul fatto che in un dominio definito di fenomeni, per esempio un scatola contenente diverse sostanze chimiche, in un tempo relativamente breve, si raggiungono degli equilibri dinamici, che dipendono dalle condizioni iniziali del preparato, per cui per esempio, a seconda delle dosi iniziali i possibili domini di equilibrio possono essere 2.
Chiaramente tra una condizione iniziale che porta all'equilibrio 1, e quella che porta all'equilibrio 2, esistono delle condizioni iniziali (instabili), per le quali non è possibile prevedere se il risultato sarà 1 o 2, in questi casi, si dice che il sistema è in condizioni "catastrofiche", nel senso che una piccola variazione delle concentrazioni iniziali in una direzione o l'altra, può comportare fortissime differenze sui risultati finali. (it)
- カタストロフィー理論（または、カタストロフ理論、Catastrophe theory）は、力学系の分岐理論の一種を扱う理論。不連続な現象を説明する、画期的な理論として一時注目をあび、さかんに研究、議論された。
カタストロフィーとは周期的な秩序だった現象の中から不意に発生する無秩序な現象の総称。
ルネ・トムの『構造安定性と形態形成』（Structural Stability and Morphogenesis , 1972年）により提唱された。 (ja)
- De term catastrofentheorie slaat op een geheel van wiskundige en filosofische verhandelingen, voornamelijk uit de jaren 1960 en 1970, waarin gepoogd wordt om natuurverschijnselen op een zeer algemeen niveau uit te leggen aan de hand van de classificatie van singulariteiten van differentieerbare functies.
Het uitgangspunt is een opmerking van René Thom dat waarneembare objecten in de natuur hun vorm niet ontlenen aan regelmatige, homogene media, maar precies aan de randgebieden waar overgangen tussen toestanden geschieden. Hij identificeert toestands-overgangen met singulariteiten van differentieerbare functies (nulpunten van de afgeleide).
De interessantste singulariteiten, vanuit het standpunt van de vormgeving (morfogenese), zijn ontaard. Immers, het gedrag van een functie in de buurt van een niet-ontaarde singulariteit wordt, eventueel op een kleine vervorming na, volledig beschreven door de matrix van haar tweede partiële afgeleiden, meer bepaald door diens signatuur (het verschil tussen het aantal positieve en negatieve eigenwaarden).
Thom beperkt zijn studie bovendien tot stabiele singulariteiten. Hij gaat ervan uit dat een natuurverschijnsel pas consistent waarneembaar wordt, als het ongewijzigd blijft onder kleine storingen.
Wiskundig is de catastrofentheorie de classificatie van differentieerbare kiemen. Onder bepaalde voorwaarden van stabiliteit en regulariteit zijn alle differentieerbare kiemen te herleiden tot zeven basistypes, met namen die tot de verbeelding spreken of minstens plastisch klinken:
naamprototype
plooix3+y2
doornx4+y2
zwaluwstaartx5+y2
vlinderx6+y2
hyperbolisch naveloppervlakx3+xy2
elliptisch naveloppervlakx3-xy2
parabolisch naveloppervlakx4+xy2
Catastrofentheorie raakte wijd verspreid, ook buiten de wereld der professionele wiskundigen, vooral door het populariserende werk van een groep wiskundigen aan de universiteit van Warwick. Enkele bekende auteurs van die school zijn Erik Christopher Zeeman, Tim Poston en Ian Stewart. Hun werk omvatte originele inzichten in onder meer de biologie en de gedragswetenschappen.
Het ambitieuze programma van de catastrofentheorie (ogenschijnlijk, de verklaring van alle natuurverschijnselen) oogstte kritiek. Met name de neiging om in de meest uiteenlopende alledaagse verschijnselen de zeven standaardcatastrofen te herkennen, heeft hier en daar methodologische twijfels opgeroepen. (nl)
- Teoria katastrof (nazywana również teorią morfogenezy lub teorią przejść nieciągłych) to dział matematyki, zajmujący się systemami dynamicznymi, w szczególności sytuacjami, gdy ciągła zmiana parametru kontrolnego prowadzi do jakościowych zmian zachowania systemu. Jej autorem jest francuski matematyk Ren%C3%A9 Thom.
Teorię katastrof próbowano stosować do opisu zachowań społecznych, lecz z małym skutkiem. Sprawdziła się natomiast w zastosowaniach technicznych. (pl)
- Теория катастроф — раздел прикладной математики, ветвь теории бифуркаций, важный инструмент для исследования динамических систем; также — специальный раздел более общей теории сингулярностей в геометрии. (ru)
|
| rdfs:comment
| - :This article refers to the study of dynamical systems. For other meanings, see catastrophe. (en)
- La Teoría de las catástrofes es el intento de desarrollar un sistema matemático que pudiera representar fenómenos naturales discontinuos que no pueden ser descritos por el cálculo diferencial de manera satisfactoria. Fue propuesta por el matemático francés René Thom en 1968 y tuvo gran auge en la década de los 70. Intentó aplicarse en biología y sociología pero cayó en desuso por ser poco práctica. Un ejemplo de catástrofe es cuando un metal se rompe a elevada temperatura. (es)
- Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen von bestimmten dynamischen Systemen. Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen der Parameter sprunghafte, nichtstetige, diskontinuierliche Änderungen der Lösung erfahren. (de)
- Katastrofiteoria on matemaattinen teoria, joka käsittelee äkillisiä muutoksia. Jokin järjestelmä voi vaihtaa äkkiä tilaansa, usein katastrofaalisesti. Esimerkiksi, kun maankuoren laatat hankaavat toisiaan hyvin voimakkasti, jännitys voi vapautua maanjäristyksenä. Katastrofiteoria kuvaa järjestelmiä matemaattisesti ja etsii raja-arvoja, joilla katastrofi tapahtuu. Esim. tietty lumen paksuus x saa lumen vyörymään. (fi)
- Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus. (fr)
- La teoria delle catastrofi, è una teoria matematica della morfogenesi, iniziata dal matematico e filosofo francese René Thom negli anni '50 e '60, e rappresenta un originale tentativo di applicazione dei più recenti risultati della topologia all'interpretazione dei fenomeni naturali. (it)
- カタストロフィー理論（または、カタストロフ理論、Catastrophe theory）は、力学系の分岐理論の一種を扱う理論。不連続な現象を説明する、画期的な理論として一時注目をあび、さかんに研究、議論された。 (ja)
- De term catastrofentheorie slaat op een geheel van wiskundige en filosofische verhandelingen, voornamelijk uit de jaren 1960 en 1970, waarin gepoogd wordt om natuurverschijnselen op een zeer algemeen niveau uit te leggen aan de hand van de classificatie van singulariteiten van differentieerbare functies. (nl)
- Teoria katastrof (nazywana również teorią morfogenezy lub teorią przejść nieciągłych) to dział matematyki, zajmujący się systemami dynamicznymi, w szczególności sytuacjami, gdy ciągła zmiana parametru kontrolnego prowadzi do jakościowych zmian zachowania systemu. Jej autorem jest francuski matematyk Ren%C3%A9 Thom. (pl)
- Теория катастроф — раздел прикладной математики, ветвь теории бифуркаций, важный инструмент для исследования динамических систем; также — специальный раздел более общей теории сингулярностей в геометрии. (ru)
|
![[RDF Data]](http://dbpedia.org/statics/sw-cube.png)
