| dbo:abstract
|
- Der französische Astronom Michel Hénon fand die folgende zweidimensionale Abbildung, die sogenannte Hénon-Abbildung, die aus einer Vereinfachung der zur Lorenz-Gleichung gehörenden Poincaré-Abbildung hergeleitet wurde. Die Lorenz-Gleichung stammte ursprünglich aus der Meteorologie und war eines der ersten dynamischen Systeme, in denen man chaotisches Verhalten gefunden hat. Die Hénon-Abbildung wird beschrieben durch: mit . Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems. Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen mit k=1,2,3 zusammen:
* nichtlineare Verbiegung der y-Koordinate: ,
* Kontraktion der x-Koordinate: für 0
* Spiegelung an der Hauptdiagonalen y=x: . Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die Selbstähnlichkeit ist. In einfachen Worten ausgedrückt versteht man darunter eine fraktale Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder seinem Anfangsobjekt ähnlich ist. Der Attraktor der Hénon-Abbildung ist ein seltsamer Attraktor. (de)
- The Hénon map, sometimes called Hénon–Pomeau attractor/map, is a discrete-time dynamical system. It is one of the most studied examples of dynamical systems that exhibit chaotic behavior. The Hénon map takes a point (xn, yn) in the plane and maps it to a new point The map depends on two parameters, a and b, which for the classical Hénon map have values of a = 1.4 and b = 0.3. For the classical values the Hénon map is chaotic. For other values of a and b the map may be chaotic, intermittent, or converge to a periodic orbit. An overview of the type of behavior of the map at different parameter values may be obtained from its orbit diagram. The map was introduced by Michel Hénon as a simplified model of the Poincaré section of the Lorenz model. For the classical map, an initial point of the plane will either approach a set of points known as the Hénon strange attractor, or diverge to infinity. The Hénon attractor is a fractal, smooth in one direction and a Cantor set in another. Numerical estimates yield a correlation dimension of 1.25 ± 0.02 and a Hausdorff dimension of 1.261 ± 0.003 for the attractor of the classical map. (en)
- L'attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C'est l'un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L'attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) et lui associe le nouveau point : ,. Il dépend de deux paramètres, a et b, qui ont pour valeurs canoniques : a = 1,4 et b = 0,3. Pour ces valeurs, l'attracteur de Hénon est chaotique. Pour d'autres valeurs de a et b, il peut être chaotique, intermittent ou converger vers une orbite périodique. Un aperçu du comportement de l'attracteur peut être donné par son diagramme orbital. L'attracteur fut introduit par Michel Hénon comme une simplification de la section de Poincaré de l'attracteur de Lorenz. Ce dernier montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique. Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes en montrant les limites possibles sur la capacité de prédiction à long terme de l'évolution climatique et météorologique. C'est un élément important de la théorie selon laquelle l'atmosphère des planètes et des étoiles peut comporter une grande variété de régimes quasi périodiques et est sujette à des changements abrupts et, en apparence, aléatoires. C'est aussi un exemple utile à la théorie des systèmes dynamiques servant de source à de nouveaux concepts mathématiques. Dans le cas canonique, le point de départ approchera soit un ensemble de points, connu sous le nom d' attracteur étrange de Hénon, soit l'infini. L'attracteur de Hénon est fractal, continu dans une direction, et forme un ensemble de Cantor dans l'autre. Des estimations numériques donnent une dimension de corrélation d'environ 1,25 ± 0,02 et une dimension de Hausdorff de 1,261 ± 0,003 pour l'attracteur canonique. En tant que système dynamique, l'attracteur canonique de Hénon est d'un intérêt particulier car, contrairement à la fonction logistique, ses orbites n'ont pas de description simple. (fr)
- El mapa de Hénon es un sistema dinámico discreto en el tiempo. Es uno de los ejemplos de sistemas dinámicos más estudiado que muestra comportamiento caótico. El mapa de Hénon toma un punto (xn, yn) en el plano y lo mapea a un punto nuevo El mapa depende de dos parámetros, a y b, el cual para el mapa clásico de Hénon tiene valores de a = 1.4 y b = 0.3. Para los valores clásicos el mapa de Hénon es caótico. Para otros valores de a y b el mapa puede ser caótico, intermitente, o converger a una órbita periódica. Una visión general del tipo de comportamiento del mapa en valores de parámetro diferentes puede ser obtenido de su diagrama de órbita. El mapa fue introducido por Michel Hénon como modelo simplificado de la sección de Poincaré del modelo de Lorenz. Para el mapa clásico, un punto inicial del plano se acercará uno cualquiera del conjunto de puntos conocidos como el atractor extraño de Hénon, o divergirá al infinito. El atractor de Hénon es un fractal, liso en una dirección y un conjunto de Cantor en el otro. Las estimaciones numéricas muestran una dimensión de correlación de 1.25 ± 0.02 y una dimensión de Hausdorff de 1.261 ± 0.003 para el attractor del mapa clásico. (es)
- エノン写像（エノンしゃぞう、Hénon map）とは、2次元の離散力学系の一種。次の2変数連立常差分方程式（漸化式）で示される。 ここで、a、bは定数で、単にパラメータなどと呼ぶ。 エノン写像は、1976年にフランスの天文学者ミシェル・エノン（fr:Michel Hénon）により発表された。エノンは、1963年に発表されたローレンツ方程式が生み出すカオスをさらに研究するため、ローレンツの系の本質的性質を同様に持ちつつも、より簡単な数学モデルを構築することを目的に上記の写像を考案した。 また、1969年にエノンが発表した以下の形式の写像についても、もう一つのエノン写像として紹介される場合もある。 (ja)
- L'attrattore di Hénon è un attrattore strano ideato da , astronomo all'Osservatorio di Nizza. Egli osservò che per determinati valori di energia le intersezioni tra le orbite degli oggetti celesti ed un piano immaginario davano luogo ad una forma geometrica abbastanza regolare, mentre per energie più elevate, tali orbite erano caotiche. Studiò allora un modello geometrico che fosse dato da semplici trasformazioni topologiche come stiramenti e contrazioni. La coppia di formule che trovò, fu la seguente: La figura risultante assomigliava a una specie di banana costituita da più linee. La caratteristica più sorprendente tuttavia era rappresentata dal fatto che quelle linee che apparivano uniche, se ingrandite, erano in realtà costituite da due linee distinte, che a loro volta, ad ingrandimenti maggiori, diventavano quattro, otto,... Anche in questo caso dunque, come con l'attrattore di Lorenz, infinite linee distinte l'una dall'altra giacciono in uno spazio ben confinato. Mentre però con quello di Lorenz venivano utilizzate equazioni differenziali, dunque con differenze continue, le equazioni dell'attrattore di Hènon hanno differenze finite, variazioni discrete nel tempo. (it)
- De Hénon-afbeelding is een discreet dynamisch systeem. Het is een van de meest bestudeerde voorbeelden van dynamische systemen die chaotisch gedrag vertonen. De Hénon-afbeelding neemt een punt (xn, yn) in het vlak en beeldt dit af op een nieuw punt De afbeelding hangt van twee parameters, a en b, af die voor de klassieke Hénon-afbeelding waarden hebben van a = 1,4 en b = 0.3. Voor deze klassieke waarden is de Hénon-afbeelding chaotisch. Voor andere waarden van a en b kan de afbeelding chaotisch of zijn, of ook convergeren naar een . Een overzicht van het soort gedrag van de Hénon-afbeelding bij verschillende parameterwaarden kan worden verkregen uit haar baanschema. De Hénon-afbeelding werd door de Franse wiskundige als een vereenvoudigd model van de Poincaré-sectie van het Lorenz-model geïntroduceerd. Voor de klassieke afbeelding, zal een initieel punt op het vlak ofwel een verzameling punten, die bekendstaat als de Hénon-vreemde attractor benaderen, of divergeren tot oneindig. De Hénon-attractor is een fractal, die in een richting glad is en in een andere richting een Cantorverzameling is. Numerieke schattingen geven een van 1.25 ± 0,02 en een Hausdorff-dimensie van 1,261 ± 0,003 voor de attractor van de klassieke afbeelding. (nl)
- Układ Henona (albo odwzorowanie Henona) – układ dwóch równań różnicowych nieliniowych przedstawionych przez francuskiego astronoma . lub lub gdzie Dla przy parametrach ( i ), startując z punktu początkowego na płaszczyźnie układu, dochodzi się do zbioru punktów nazywanych dziwnym atraktorem Henona albo rozbiega się do nieskończoności. Atraktor Henona jest fraktalem, natomiast przekrój przez atraktor Henona jest tożsamy ze zbiorem Cantora. (pl)
- Henons attraktor är ett exempel på ett diskret dynamiskt system. Den har fått sitt namn efter den franska astronomen och matematikern Michele Henon. Då den ursprungliga attraktorn som lades fram av Henon uppvisar kaotiska egenskaper gör det Henons attraktor till ett av de mest kända exemplen på ett dynamiskt system med kaotiskt beteende. (sv)
- O mapa de Hénon, proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon, é um sistema dinâmica de tempo discreto. É definido pela equação de recorrência em que e são parâmetros fixos. Para alguns valores de e verifica-se que esse sistema gera . Por exemplo, para e que foram utilizados no trabalho original de Hénon. Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator podem ser obtidos numericamente resultando e . O expoente positivo e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica. (pt)
- Отображение Эно — один из наиболее изученных примеров дискретных динамических систем, проявляющих хаотическое поведение. Отображение Эно сопоставляет точке (xn, yn) на плоскости новую точку по следующему закону: Система зависит от двух параметров a и b, для классического отображения Эно имеющих значения a = 1.4 и b = 0.3. Для классических значений отображение Эно хаотично, для других значений параметров отображение может быть как хаотично, так и сходиться к периодической орбите. Отображение Эно было предложено французским математиком Мишелем Эно в качестве упрощённой модели отображения Пуанкаре для аттрактора Лоренца. Для классического отображения точка на плоскости будет либо приближаться к множеству точек, известных как странный аттрактор Эно, либо расходиться до бесконечности. Аттрактор Эно в одном направлении представляет собой гладкий фрактал, а в другом — канторово множество. (ru)
- Відображення Хенона (Відображення Енона, англ. Hénon map) є дискретною в часі динамічною системою. Це один з найбільш вивчених прикладів динамічних систем, які проявляють хаотичну поведінку. Відображення Хенона займає точку (xn, yn) в площині і зіставляє його до нової точки Відображення залежить від двох параметрів, a та b, які для класичного відображення Хенона мають значення a = 1,4 та b = 0,3. Для класичних значень відображення Хенона є хаотичним. При інших значеннях a та b відображення може бути хаотичним, з перервами чи сходитися до періодичної орбіти. Огляд типу поведінки відображення при різних значеннях параметрів можуть бути отримані зі схеми його орбіти. Відображення було введене як спрощена модель перетину Пуанкаре моделі Лоренца. Для класичного відображення, початкова точка площини повинна наближатися до набору точок, відомих як дивний атрактор Хенона, або прямувати до нескінченності. Атрактор Хенона є фракталом, гладким в одному напрямку, а в наборі Кантора іншим. Чисельні оцінки кореляції в околі 1,25 ± 0,02 і в розмірності Гаусдорфа 1,261 ± 0,003 для атрактора класичного відображення. (uk)
- 厄农映射（英語：Hénon map）是一种可以产生混沌现象的离散时间动态系统，其迭代表达式为： 在经典厄农映射中，参数值分别取为a = 1.4及b = 0.3。此时，系统表现出混沌现象。而当a与b取其他不同值时，系统可表现为混沌现象、阵发性现象，或收敛至周期点。通过轨道图可以看出不同参数下系统的行为特征。 厄农映射是由法国数学家提出的，以此作为洛伦茨模型的庞加莱截面的简化模型。对经典厄农映射而言，任意初始点或趋向厄农奇异吸引子，或发散至无穷大。厄农吸引子具有分形结构，其在一个方向上连续，另一个方向上则为一个康托尔集。数值计算表明经典厄农吸引子的为1.25 ± 0.02，豪斯多夫维数为1.261 ± 0.003。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- エノン写像（エノンしゃぞう、Hénon map）とは、2次元の離散力学系の一種。次の2変数連立常差分方程式（漸化式）で示される。 ここで、a、bは定数で、単にパラメータなどと呼ぶ。 エノン写像は、1976年にフランスの天文学者ミシェル・エノン（fr:Michel Hénon）により発表された。エノンは、1963年に発表されたローレンツ方程式が生み出すカオスをさらに研究するため、ローレンツの系の本質的性質を同様に持ちつつも、より簡単な数学モデルを構築することを目的に上記の写像を考案した。 また、1969年にエノンが発表した以下の形式の写像についても、もう一つのエノン写像として紹介される場合もある。 (ja)
- Układ Henona (albo odwzorowanie Henona) – układ dwóch równań różnicowych nieliniowych przedstawionych przez francuskiego astronoma . lub lub gdzie Dla przy parametrach ( i ), startując z punktu początkowego na płaszczyźnie układu, dochodzi się do zbioru punktów nazywanych dziwnym atraktorem Henona albo rozbiega się do nieskończoności. Atraktor Henona jest fraktalem, natomiast przekrój przez atraktor Henona jest tożsamy ze zbiorem Cantora. (pl)
- Henons attraktor är ett exempel på ett diskret dynamiskt system. Den har fått sitt namn efter den franska astronomen och matematikern Michele Henon. Då den ursprungliga attraktorn som lades fram av Henon uppvisar kaotiska egenskaper gör det Henons attraktor till ett av de mest kända exemplen på ett dynamiskt system med kaotiskt beteende. (sv)
- O mapa de Hénon, proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon, é um sistema dinâmica de tempo discreto. É definido pela equação de recorrência em que e são parâmetros fixos. Para alguns valores de e verifica-se que esse sistema gera . Por exemplo, para e que foram utilizados no trabalho original de Hénon. Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator podem ser obtidos numericamente resultando e . O expoente positivo e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica. (pt)
- 厄农映射（英語：Hénon map）是一种可以产生混沌现象的离散时间动态系统，其迭代表达式为： 在经典厄农映射中，参数值分别取为a = 1.4及b = 0.3。此时，系统表现出混沌现象。而当a与b取其他不同值时，系统可表现为混沌现象、阵发性现象，或收敛至周期点。通过轨道图可以看出不同参数下系统的行为特征。 厄农映射是由法国数学家提出的，以此作为洛伦茨模型的庞加莱截面的简化模型。对经典厄农映射而言，任意初始点或趋向厄农奇异吸引子，或发散至无穷大。厄农吸引子具有分形结构，其在一个方向上连续，另一个方向上则为一个康托尔集。数值计算表明经典厄农吸引子的为1.25 ± 0.02，豪斯多夫维数为1.261 ± 0.003。 (zh)
- Der französische Astronom Michel Hénon fand die folgende zweidimensionale Abbildung, die sogenannte Hénon-Abbildung, die aus einer Vereinfachung der zur Lorenz-Gleichung gehörenden Poincaré-Abbildung hergeleitet wurde. Die Lorenz-Gleichung stammte ursprünglich aus der Meteorologie und war eines der ersten dynamischen Systeme, in denen man chaotisches Verhalten gefunden hat. Die Hénon-Abbildung wird beschrieben durch: mit . Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems. Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen mit k=1,2,3 zusammen: (de)
- El mapa de Hénon es un sistema dinámico discreto en el tiempo. Es uno de los ejemplos de sistemas dinámicos más estudiado que muestra comportamiento caótico. El mapa de Hénon toma un punto (xn, yn) en el plano y lo mapea a un punto nuevo (es)
- The Hénon map, sometimes called Hénon–Pomeau attractor/map, is a discrete-time dynamical system. It is one of the most studied examples of dynamical systems that exhibit chaotic behavior. The Hénon map takes a point (xn, yn) in the plane and maps it to a new point (en)
- L'attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C'est l'un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L'attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) et lui associe le nouveau point : ,. Il dépend de deux paramètres, a et b, qui ont pour valeurs canoniques : a = 1,4 et b = 0,3. Pour ces valeurs, l'attracteur de Hénon est chaotique. Pour d'autres valeurs de a et b, il peut être chaotique, intermittent ou converger vers une orbite périodique. Un aperçu du comportement de l'attracteur peut être donné par son diagramme orbital. (fr)
- L'attrattore di Hénon è un attrattore strano ideato da , astronomo all'Osservatorio di Nizza. Egli osservò che per determinati valori di energia le intersezioni tra le orbite degli oggetti celesti ed un piano immaginario davano luogo ad una forma geometrica abbastanza regolare, mentre per energie più elevate, tali orbite erano caotiche. Studiò allora un modello geometrico che fosse dato da semplici trasformazioni topologiche come stiramenti e contrazioni. La coppia di formule che trovò, fu la seguente: (it)
- De Hénon-afbeelding is een discreet dynamisch systeem. Het is een van de meest bestudeerde voorbeelden van dynamische systemen die chaotisch gedrag vertonen. De Hénon-afbeelding neemt een punt (xn, yn) in het vlak en beeldt dit af op een nieuw punt (nl)
- Отображение Эно — один из наиболее изученных примеров дискретных динамических систем, проявляющих хаотическое поведение. Отображение Эно сопоставляет точке (xn, yn) на плоскости новую точку по следующему закону: Система зависит от двух параметров a и b, для классического отображения Эно имеющих значения a = 1.4 и b = 0.3. Для классических значений отображение Эно хаотично, для других значений параметров отображение может быть как хаотично, так и сходиться к периодической орбите. (ru)
- Відображення Хенона (Відображення Енона, англ. Hénon map) є дискретною в часі динамічною системою. Це один з найбільш вивчених прикладів динамічних систем, які проявляють хаотичну поведінку. Відображення Хенона займає точку (xn, yn) в площині і зіставляє його до нової точки (uk)
|
