In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value ∞ for infinity. With the Riemann model, the point "∞" is near to very large numbers, just as the point "0" is near to very small numbers. The extended complex plane is also called closed complex plane.

Property Value
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  • في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة ) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . (ar)
  • Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově kouli. Jedná se o kouli, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . (cs)
  • En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. Aquesta extensió dels nombres complexos és útil en anàlisi complexa perquè permet la divisió per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com tinguin un . Per exemple, qualsevol funció racional del pla complex es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funció racional és l'infinit. En general, qualsevol funció meromorfa es pot entendre com una funció contínua el codomini de la qual és l'esfera de Riemann. En geometria, l'esfera de Riemann és l'exemple prototípic d'una superfície de Riemann i és una de les varietats complexes més simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la complexa , l'espai projectiu format per totes les de . Com la resta de superfícies de Riemann compactes, l'esfera també es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. També té utilitat en altres disciplines que depenen de l'anàlisi i la geometria, com ara la mecànica quàntica i altres branques de la física. (ca)
  • Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. Οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι χρήσιμοι στη μιγαδική ανάλυση, διότι επιτρέπουν σε ορισμένες περιπτώσεις τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι ώστε να γίνονται δεκτές ως αληθείς εκφράσεις όπως 1/0 = ∞. Για παράδειγμα, κάθε ρητή συνάρτηση του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να επεκταθεί σε μία συνεχή συνάρτηση της σφαίρας του Riemann, με τους πόλους της λογικής συνάρτησης να εντοπίζονται στο άπειρο. Γενικά, κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνεχής συνάρτηση της οποίας το είναι η σφαίρα του Riemann. Στη γεωμετρία, η σφαίρα του Riemann είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας επιφάνειας Riemann και είναι το απλούστερο παράδειγμα μιγαδικής πολλαπλότητας. Στην προβολική γεωμετρία, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως η μιγαδική προβολική ευθεία P1(C), ο προβολικός χώρος όλων των μιγαδικών ευθειών στο C2. Όπως με κάθε συμπαγής επιφάνεια Riemann, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως μία προβολική αλγεβρική καμπύλη, καθιστώντας την ως ένα θεμελιώδες παράδειγμα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Επίσης, είναι χρήσιμη και σε άλλους κλάδους που βασίζονται στην ανάλυση και την γεωμετρία, όπως η κβαντική μηχανικη και άλλοι κλάδοι της φυσικής. (el)
  • In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bezüglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von . Der so definierte topologische Raum stellt eine Kompaktifizierung der komplexen Ebene dar. Topologisch ist sie äquivalent zur Einheitssphäre . Mit der chordalen Metrik wird die Zahlenkugel zu einem metrischen Raum. Diese Metrik induziert die gleiche Topologie, die durch die Einpunktkompaktifizierung auf die Zahlenkugel induziert wird. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Anschaulich handelt es sich um eine Kugel vom Radius 1, deren Nordpol auf (0,0,1) liegt (man darf die Kugel beliebig wählen, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist). Dem unendlich fernen Punkt wird dieser Nordpol der Kugel zugeordnet und jedem Punkt der komplexen Zahlenebene der von verschiedene Schnittpunkt der Kugeloberfläche mit der Geraden durch (stereografische Projektion). Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. (de)
  • La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia . Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). (eo)
  • En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó ,​ (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como: Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann. En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todos las en . Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física. (es)
  • En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . (fr)
  • In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli , o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione In questo contesto il piano complesso esteso è analogo alla retta reale estesa. Da un punto di vista topologico, il piano complesso esteso è effettivamente una sfera, come mostrato dalla proiezione stereografica. In analisi complessa la sfera di Riemann è la più semplice superficie di Riemann compatta e quindi un oggetto centrale della teoria, utile a definire le funzioni meromorfe. La sfera di Riemann è centrale anche in altri campi della geometria, ad esempio in geometria proiettiva e geometria algebrica in quanto esempio fondamentale di varietà complessa, spazio proiettivo e varietà algebrica. (it)
  • 数学においてリーマン球面(リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere)は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点 1/0 = ∞ は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下の通りにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 (ja)
  • 복소해석학에서, 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . (ko)
  • De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). (nl)
  • Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest przydatny w analizie zespolonej, ponieważ pozwala w pewnych przypadkach na dzielenie przez zero, tzn. wyrażenia takie jak mają „wartość” w zbiorze Na przykład każda funkcja wymierna na płaszczyźnie zespolonej może być określona jako funkcja ciągła na sferze Riemanna, jeśli biegunom tej funkcji przypiszemy wartość Bardziej ogólnie, każdą funkcję meromorficzną można traktować jako funkcję ciągłą, której przeciwdziedziną jest sfera Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. (pl)
  • In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value ∞ for infinity. With the Riemann model, the point "∞" is near to very large numbers, just as the point "0" is near to very small numbers. The extended complex numbers are useful in complex analysis because they allow for division by zero in some circumstances, in a way that makes expressions such as well-behaved. For example, any rational function on the complex plane can be extended to a holomorphic function on the Riemann sphere, with the poles of the rational function mapping to infinity. More generally, any meromorphic function can be thought of as a holomorphic function whose codomain is the Riemann sphere. In geometry, the Riemann sphere is the prototypical example of a Riemann surface, and is one of the simplest complex manifolds. In projective geometry, the sphere can be thought of as the complex projective line P1(C), the projective space of all complex lines in C2. As with any compact Riemann surface, the sphere may also be viewed as a projective algebraic curve, making it a fundamental example in algebraic geometry. It also finds utility in other disciplines that depend on analysis and geometry, such as the Bloch sphere of quantum mechanics and in other branches of physics. The extended complex plane is also called closed complex plane. (en)
  • Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou . Em um nível puramente algébrico, os números complexos, com um elemento extra infinito, constituem um sistema conhecido como números complexos estendidos. Aritmética com o infinito não obedece todas as regras usuais da álgebra, e assim os números complexos estendidos não formam um corpo. No entanto, a esfera de Riemann é geométrica e analiticamente bem estabelecida, até ao infinito, é uma variedade complexa monodimensional, também chamado de superfície de Riemann. Em análise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de funções meromórficas. A esfera de Riemann está presente na geometria projetiva e geometria algébrica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espaço projetivo e variedade algébrica. Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de análise e geometria, como a mecânica quântica e outros ramos da física. (pt)
  • Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). Alla punkter i talplanet kan entydigt avbildas på riemannsfären och omvänt, med undantag av punkten (0, 0, 1) som inte har en avbildning på det komplexa talplanet. En punkt i talplanet som förflyttar sig bort från origo, oavsett i vilken riktning, kommer att ha en avbildning på sfären som närmar sig punkten (0, 0, 1). Ju längre bort från origo punkten är, desto närmare punkten (0, 0, 1) hamnar avbildningen på riemannsfären. Det utvidgade komplexa talplanet ℂ’ kan tänkas uppdelat i två områden. Ett område utgörs av enhetscirkeln och alla komplexa tal som befinner sig innanför denna avbildas på riemannsfärens undre halva och övriga komplexa tal avbildas på dess övre. Det komplexa talet B i figur 1 ligger inom enhetscirkeln i det komplexa talplanet och avbildas därför på riemannssfärens undre halva. Punkten (0, 0, 0) (det komplexa talplanets origo) avbildas i P(0). (sv)
  • Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой .Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере . * Медиафайлы на Викискладе (ru)
  • Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері (uk)
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  • Riemann sphere (en)
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  • في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة ) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . (ar)
  • Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově kouli. Jedná se o kouli, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . (cs)
  • La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia . Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). (eo)
  • En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . (fr)
  • 数学においてリーマン球面(リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere)は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点 1/0 = ∞ は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下の通りにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 (ja)
  • 복소해석학에서, 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . (ko)
  • De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). (nl)
  • Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой .Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере . * Медиафайлы на Викискладе (ru)
  • Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері (uk)
  • En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. (ca)
  • In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. (de)
  • Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. (el)
  • En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó ,​ (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. (es)
  • In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value ∞ for infinity. With the Riemann model, the point "∞" is near to very large numbers, just as the point "0" is near to very small numbers. The extended complex plane is also called closed complex plane. (en)
  • In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli , o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione (it)
  • Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. (pl)
  • Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou . (pt)
  • Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). (sv)
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  • كرة ريمان (ar)
  • Esfera de Riemann (ca)
  • Riemannova koule (cs)
  • Riemannsche Zahlenkugel (de)
  • Σφαίρα του Ρίμαν (el)
  • Rimana sfero (eo)
  • Esfera de Riemann (es)
  • Riemann sphere (en)
  • Sphère de Riemann (fr)
  • Sfera di Riemann (it)
  • リーマン球面 (ja)
  • 리만 구 (ko)
  • Riemann-sfeer (nl)
  • Sfera Riemanna (pl)
  • Сфера Римана (ru)
  • Esfera de Riemann (pt)
  • Сфера Рімана (uk)
  • Riemannsfären (sv)
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