| dbo:abstract
|
- في الهندسة الرياضية، مسألة أبولونيوس هي مسألة إنشاء دوائر مماسة لثلاث دوائر معلومة في المستوي.صاغ أبولونيوس بيرغا هذه المسألة وحلها في أحد أعماله التي ضاعت. فإذا إفترضنا وجود ثلاث دوائر مختلفة، والمطلوب رسم (بواسطة الرسم الرقمي) ثمانية دوائر تمس هذه الدوائر المعطية. فالعمل الذي اعتمد يكمن في تحديد المحل الهندسي لجميع مراكز دوائر التماس، حيث كل زوج من الدوائر المعطاة له قطعين زائدين بخاصية ذلك المحل الهندسي. وبما ان الدوائر المعطاة ثلاثة، فإن العدد الإجمالي للقطوع الزائدة يكون ستة قطوع، والنقاط المشتركة بين فروع كل ثلاثة قطع زائدة، تكون مراكز الدوائر الثماني المطلوبة. نلاحظ أنه إذا تلامست دائرتان في نقطة محددة فإنَّ نقطة التماس تقع على الخط المستقيم المار بمركزيهما، وممكن أن تتلامس الدائرتان من الداخل أو من الخارج، ويحدث ذلك عندما تقع أحد الدائرتين داخل الدائرة الأخرى، فإذا تلامسا خارجيًا كانت المسافة بين مركزيهما مساوية لمجموع نصفي قطريهما. أمَّا إذا تلامسا داخليًا: فإنَّ المسافة بين مركزيهما تساوي الفرق بين نصفي قطريهما. بشكل عام فإن ثلاث دوائر متباعدة لها ثمانية دوائر مختلفة تمسها. وهذه الدوائر الثمانية هي حل مسألة أبولونيوس. (ar)
- En geometria plana euclidiana, el problema d'Apol·loni consisteix a construir circumferències que siguin tangents a tres circumferències donades. Apol·loni de Perge (ca. 262 BC – ca. 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per Pappos d'Alexandria. Excloent les famílies de posicions particulars que tenen infinites solucions, les que no en tenen cap, i les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o impossibles, la resolució general del problema proveeix vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades. Hi ha dues solucions per cada manera de separar les circumferències donades en dos subconjunts, que fan un total de vuit solucions (hi ha quatre maneres de separar un conjunt de tres elements en dos subconjunts). Al segle xvi, Adriaan van Roomen resolgué el problema utilitzant hipèrboles secants, però aquesta solució no es basa únicament en construccions amb regle i compàs. François Viète trobà una solució aprofitant la simplificació dels casos extrems: qualsevol de les tres circumferències donades es pot reduir fins a tenir un radi nul (un punt) o ampliar fins que tingui un radi infinit (una recta). L'enfocament de Viète, que utilitza casos extrems senzills per resoldre'n d'altres més complicats, es considera una reconstrucció plausible del mètode d'Apol·loni. El mètode de van Roomen fou simplificat per Isaac Newton, que mostrà que el problema d'Apol·loni és equivalent a trobar una posició coneixent les diferències de distàncies a tres punts coneguts. Això té aplicacions en navegació i en sistemes de posicionament com el LORAN. Matemàtics posteriors introduïren mètodes algebraics, que transformen el problema geomètric en una equació algebraica. Aquests mètodes es van simplificar aprofitant les simetries inherents al problema d'Apol·loni: per exemple, les circumferències resolutòries solen trobar-se en parelles, amb una que conté les circumferències donades que l'altra no conté. Joseph Diez Gergonne aprofità aquesta simetria per trobar un elegant mètode per trobar les solucions amb regle i compàs, mentre que altres matemàtics utilitzaren transformacions geomètriques com la reflexió en una circumferència per simplificar la disposició de les circumferències donades. Aquests desenvolupaments ofereixen una representació geomètrica a través de mètodes algebraics (utilitzant la geometria de l'esfera de Lie) i una classificació de solucions per les 33 disposicions essencialment diferents possibles en la posició inicial de les tres circumferències. El problema d'Apol·loni ha impulsat molta recerca addicional. S'han estudiat generalitzacions en tres dimensions —la construcció d'una esfera tangent a quatre esferes donades— i en dimensions superiors. La disposició de tres circumferències tangents entre elles ha rebut una atenció especial. René Descartes donà una fórmula que relaciona els radis de les circumferències donades i els de les circumferències resolutòries, que es coneix actualment com a teorema de Descartes. En aquest cas, la resolució iterant del problema d'Apol·loni duu a la formació d'un dels primers fractals descoberts i dibuixats. Aquest fractal té importància en teoria de nombres, concretament en les circumferències de Ford i en el mètode del cercle de Hardy-Littlewood. (ca)
- Apolloniova úloha je geometrická úloha pojmenovaná po starořeckém matematikovi Apollóniovi z Pergy, který se jí zabýval jako první. Její podstatou je ke třem zadaným kružnicím v rovině nalézt takovou kružnici, která se jich dotýká (má s každou z nich společný jediný bod). Obecně existuje takových řešení osm a liší se v tom, které ze zadaných kružnic leží uvnitř výsledné kružnice. Kromě toho bývá uvažováno zobecnění úlohy, kdy se jako možná zadání uvažují i „kružnice s nulovým poloměrem“ a „kružnice s nekonečným poloměrem“, totiž body a přímky. Tím vzniká deset různých variant, které mají různý počet řešení. Například úloha se třemi body má jediné řešení. (cs)
- Στην ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων, που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.Χ.) στο έργο του Ἐπαφαί. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι, οι οποίοι εφάπτονται σε αυτούς (σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει ή όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο. Το 16ο αιώνα, ο Άντριαν φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες υπερβολές χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο . Ο Φρανσουά Βιέτ κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την ακτίνα ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε σημείο), είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε ευθεία). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το LORAN. Αργότερα, οι μαθηματικοί εισήγαγαν αλγεβρικές μεθόδους, οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε . Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή συμμετρία του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους, που ο άλλος αποκλείει (Σχήμα 2). Ο (Joseph Diaz Gergonne) χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτές οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων. Το Απολλώνιο πρόβλημα έχει πολλές προεκτάσεις. Μελετήθηκαν γενικεύσεις του σε τρεις (κατασκευή σφαίρας εφαπτόμενης σε τέσσερις δεδομένες) και παραπάνω διαστάσεις. Η αρχική διάταξη τριών εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ο Ρενέ Ντεκάρτ πρότεινε μια εξίσωση, η οποία συνδέει την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με τις ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων, γνωστή και ως . Η επαναληπτική λύση του απολλώνιου προβλήματος σε αυτή την περίπτωση, οδηγεί στην (apollonian gasket), το οποίο είναι ένα από τα πρώτα φράκταλ που περιγράφηκαν εντύπως, ενώ είναι σημαντικό στην θεωρία αριθμών μέσω των και την μέθοδο κύκλου Χάρντι-Λίτλγουντ (Hardy–Littlewood circle method). (el)
- Das Apollonische Problem (Problem des Apollonios) ist eines der berühmtesten Probleme der antiken Geometrie. Es geht darum, mit Zirkel und Lineal die Kreise zu konstruieren, die drei beliebige vorgegebene Kreise berühren. Apollonios von Perge (* ca. 265 v. Chr.; † ca. 190 v. Chr.) widmet diesem Problem ein nicht erhaltenes Buch (Über Berührungen). Da man bei den Ausgangskreisen auch von einem unendlich kleinen Radius und einem unendlich großen Radius ausgehen kann, kann nicht nur von drei Kreisen, sondern auch von Punkten und Geraden (Tangenten) ausgegangen werden. Insgesamt gibt es zehn Kombinationsmöglichkeiten für die gegebenen Stücke, die weiter unten aufgeführt sind. Da die vollständige Lösung der Probleme alle Konstruktionsfälle mit Berührungen (Tangenten) von Kreisen, Punkten und Geraden löst, sind natürlich auch die Berührkreise am Dreieck enthalten (Ankreis, Inkreis, Umkreis). (de)
- En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C.-circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, Tangencias). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Papo de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas. En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando la intersección de hipérbolas, pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que puede considerarse menos elegante. François Viète encontró una solución aprovechando la simplificación de los puntos y rectas como casos extremos de circunferencias. El enfoque de Viète, que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. A su vez, Isaac Newton simplificó el método de van Roomen y mostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de distancias a tres puntos conocidos. Esta formulación tiene aplicaciones en la navegación y en sistemas de posicionamiento como el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance—, y, por otra parte, se han desarrollado generalizaciones del problema para otras superficies diferentes al plano, como puede ser la superficie esférica y otras superficies cuádricas. Algunos matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una ecuación algebraica. A estos métodos se les realizó una abstracción o simplificación, aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas; en una de estas parejas, una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas en su interior mientras que la otra no las contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás, mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia —para que esta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de métodos algebraicos (utilizando la , introducida por el noruego Sophus Lie) y una clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición inicial de las tres circunferencias. El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterativa del problema de Apolonio lleva a la formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados, el tamiz de Apolonio, importante en teoría de números, concretamente en los círculos de Ford y en el método del círculo de Hardy-Littlewood. Su aplicación principal es determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos mediante la trilateración hiperbólica, utilizada en navegación y en los sistemas globales de navegación por satélite como el GPS. Otras aplicaciones incluyen los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD, así como desarrollos en farmacología. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents. Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers). (fr)
- In Euclidean plane geometry, Apollonius's problem is to construct circles that are tangent to three given circles in a plane (Figure 1). Apollonius of Perga (c. 262 BC – c. 190 BC) posed and solved this famous problem in his work Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"); this work has been lost, but a 4th-century AD report of his results by Pappus of Alexandria has survived. Three given circles generically have eight different circles that are tangent to them (Figure 2), a pair of solutions for each way to divide the three given circles in two subsets (there are 4 ways to divide a set of cardinality 3 in 2 parts). In the 16th century, Adriaan van Roomen solved the problem using intersecting hyperbolas, but this solution does not use only straightedge and compass constructions. François Viète found such a solution by exploiting limiting cases: any of the three given circles can be shrunk to zero radius (a point) or expanded to infinite radius (a line). Viète's approach, which uses simpler limiting cases to solve more complicated ones, is considered a plausible reconstruction of Apollonius' method. The method of van Roomen was simplified by Isaac Newton, who showed that Apollonius' problem is equivalent to finding a position from the differences of its distances to three known points. This has applications in navigation and positioning systems such as LORAN. Later mathematicians introduced algebraic methods, which transform a geometric problem into algebraic equations. These methods were simplified by exploiting symmetries inherent in the problem of Apollonius: for instance solution circles generically occur in pairs, with one solution enclosing the given circles that the other excludes (Figure 2). Joseph Diaz Gergonne used this symmetry to provide an elegant straightedge and compass solution, while other mathematicians used geometrical transformations such as reflection in a circle to simplify the configuration of the given circles. These developments provide a geometrical setting for algebraic methods (using Lie sphere geometry) and a classification of solutions according to 33 essentially different configurations of the given circles. Apollonius' problem has stimulated much further work. Generalizations to three dimensions—constructing a sphere tangent to four given spheres—and beyond have been studied. The configuration of three mutually tangent circles has received particular attention. René Descartes gave a formula relating the radii of the solution circles and the given circles, now known as Descartes' theorem. Solving Apollonius' problem iteratively in this case leads to the Apollonian gasket, which is one of the earliest fractals to be described in print, and is important in number theory via Ford circles and the Hardy–Littlewood circle method. (en)
- 아폴로니오스의 문제란 유클리드 기하학에서 평면에 주어진 3개의 원에 접하는 원을 그리는 것이다.(그림 1). 페르게의 아폴로니오스(ca. 262 BC – ca. 190 BC)는 이 유명한 문제를 제창하고 그의 저서인 Ἐπαφαί (Epaphaí, "접촉상태")에서 답을 제시하였다. 그의 저서는 전하지 않지만, 에 의해 4세기에 작성된 보고서에 그의 해제가 실려있다. 주어진 3개의 원에 접하는 원은 8개였으며(그림 2) 각 해제는 주어진 3개의 원에 다른 방법으로 내접하거나 외접한다. 16세기에 은 이 문제를 교차하는 쌍곡선을 이용해서 풀었지만, 이 해제는 단순한 작도만을 이용해서 나온것은 아니었다. 프랑소와 비에트는 추론을 이용해 문제를 풀었으며, 주어진 3개원의 반지름을 0에 가깝게 하거나 무한으로 증가시켜 선으로 확장하는 두 경우를 고려했다. 비에트의 방법을 이용해 간단한 추론을 이용해 이런 난해한 문제를 해결할 수 있으므로 아폴로니오스가 사용했던 방법의 재현으로 널리 인정되고 있다. 아이작 뉴턴은 판 루멘이 사용한 방법을 간소화하였으며, 그는 아폴로니오스의 문제를 푸는 것은 한 점에서 주어진 3개의 점까지의 거리의 차이를 찾는 과정과 동등하다고 하였다. 해제는 항행과 위치결정과 같은 일상에 적용될 수 있다. 이후 수학자들은 대수학을 이용해 기하학 문제를 대수방정식으로 바꾸는 방법을 고안했다. 이러한 방법은 아폴로니오스의 문제에 있는 대칭성을 통해 간소화되었다. 은 이러한 대칭성을 이용해 간단한 해법을 제시했으며, 다른 수학자들은 과 같은 법을 이용해 주어진 원의 배치를 간소화했다. 아폴로니오스의 문제는 다른 연구를 촉진시키기도 하였다. 주어진 4개의 구에 접하는 구를 찾는 3차원 상의 일반화나 더욱 높은 차원에서의 상황도 연구되었다. 공통적으로 접하는 원 3개의 배치는 가장 집중적인 주목을 받았다. 르네 데카르트는 해답의 원과 주어진 원의 반지름을 관계짓는 공식을 만들었으며, 이는 현재 데카르트 정리로 알려져 있다. 이 경우 아폴로니오스의 문제를 반복적으로 풀 경우 아폴로니안 개스킷으로 이어지며, 이는 인쇄된 매체에 실려있는 가장 오래된 프랙탈이며, 포드 원과 하디-리틀우드 원 방법에 쓰이는 등 정수론에 중요하다. (ko)
- Het raakprobleem van Apollonius, vernoemd naar Apollonius van Perga, bestaat eruit de cirkels te construeren die drie gegeven cirkels raken. In het algemene geval, waarin de cirkels elkaar niet snijden of raken, zijn er acht oplossingen. Dat zijn de mogelijkheden dat de oplossingscirkel geen (1 geval), één (3 gevallen), twee (3 gevallen) of drie (1 geval) van de cirkels omsluit. (nl)
- ユークリッド平面幾何学においてアポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、平面において与えられた3つの円に接する円を描く問題である(図 1)。ペルガのアポロニウス (ca. 262 BC – ca. 190 BC)が彼の著作 「接触」 Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies")においてこの有名な問題を提起し、解決した。この著作「接触」は現在失われているが、アレキサンドリアのパップスによる、アポロニウスの成果がまとめられた4世紀のレポートは現存している。3つの与円は一般的に、その3つの円に接する8つの相異なる円を持ち(図 2)、この円が3つの円を内部に持つか外部に持つかはそれぞれ異なる。すなわち、それぞれの円は、与えられた3つの円のうち一部を内部に持ち（残りの円は外部に持つ）、濃度が3の集合の部分集合は 23 = 8 つ存在するため、そのような円は8つ存在する。 16世紀にが交差する双曲線を用いてこの問題に解を与えたが、この解法は定規とコンパスのみを使った作図ではなかった。同じ解をフランソワ・ビエトは（三つの与円のどれでも、それを半径 0（つまり点）にまで縮めたり、半径無限大（つまり直線）にまで拡大したりできる）に相当することを示して、定規とコンパスのみを使った解法を与えた。より単純な極限化の操作によって、より複雑なケースに対して解法を与えるというビエトのアプローチは、アポロニウスの手法の妥当な再構成であると考えられている。ファン・ルーメンの手法はアイザック・ニュートンによって単純化された。ニュートンは、アポロニウスの問題は、ある点の既知の3つの点への距離の差から、その点の位置を探し出すことに等しいことを示した。これはLORANなどの位置測定システムやナビゲーションシステムに応用されている。 後世の数学者は代数学的な手法を導入した。これは幾何学の問題を代数方程式に置き換えるものである。これらの手法はアポロニウスの問題に備わる数学的な対称性を利用することによって単純化された。例えば、解円は一般に2つずつの対で生じ、この対のうち一方は与円を内部に持ち、他方は外側に持つ（図 2）。 は定規とコンパスのみを使って描く、エレガントさで知られる解法を与えるために、この対称性を用いた。一方で、他の数学者は円に関する反転などの幾何学的変換を用いて、与円の配置を単純化した。これらの発展は、（を使って）代数学的手法に幾何学的設定をもたらし、さらに33の本質的に異なる与円の配置に基づく解円の分類をもたらした。 アポロニウスの問題は更なる研究を刺激した。3次元への一般化（4つの与えられた球面に接する球面をつくる）や、より高い次元についても研究がなされている。3つの互いに接する円の配置も特別な関心を寄せられている。ルネ・デカルトは解円と与円の半径を結びつける公式を与え、この公式は現在ではデカルトの定理として知られている。繰り返しアポロニウスの問題を解くことは、この場合、アポロニウスのギャスケット をもたらす。アポロニウスのギャスケットは紙上で詳述された最初期のフラクタルのひとつであり、これはフォードの円やを通して、数論における重要な概念となっている。 (ja)
- Il problema di Apollonio (dal nome dello scienziato Apollonio di Perga) è un problema geometrico di tangenza tra circonferenze ed è formulato nei seguenti termini: «Date tre circonferenze, eventualmente degeneri, determinare le eventuali circonferenze tangenti a quelle date».' Se le tre circonferenze sono tangenti tra di loro, il raggio della quarta è determinato dal teorema di Descartes. (it)
- Problem Apoloniusza – problem matematyczny polegający na stworzeniu okręgu stycznego do trzech innych okręgów (Rys. 1). Apoloniusz z Pergi przedstawił i rozwiązał ten problem w swojej pracy Styczności (stgr. Ἐπαφαί, Epaphaí); praca ta zaginęła, jednak raport na temat jej wyników, który wykonał Pappus z Aleksandrii, przetrwał. Dla dowolnych trzech okręgów można stworzyć 8 różnych okręgów, które będą do nich styczne (Rys. 2). (pl)
- O problema de Apolónio é um problema de geometria proposto e resolvido por Apolónio de Pérgamo. (pt)
- Зада́ча Аполло́ния — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх данных окружностей. Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям. (ru)
- Задача Аполлонія — побудувати за допомогою циркуля і лінійки коло, що дотикається до трьох даних кіл. Задача розв'язується за допомогою застосування двох операцій: інверсії і переходу до концентричних кіл. (uk)
- 阿波羅尼奧斯問題是一道有名的幾何題：「平面上給定三個圓周，如何用尺规作图構造出和這三個已知圓都相切的圓（圖１ ）？」 的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約前262年－約前190年）在其著名作品《論切觸》（希臘語：Ἐπαφαί，英譯名 Tangencies ）裡提出並解決了這個問題；雖然作品現已遺失，但這個數學結果已被記載在一份四世紀時亞歷山大的帕普斯所寫的報告裡。 三個給定的圓，一般而言會有八個不同的圓和它們都相切（圖２），而在這八個解裡，每一個都以不同的方式內切或外切於給定的三個圓。在十六世紀，范羅門用相交的雙曲線解決了這個問題，但他的解法並不符合只使用直規的要求。弗朗索瓦·韋達利用問題的找到這樣一種解法：三個圓中的任何一個都可以縮成零半徑（一個點），或擴大成半徑無限（一條直線）。此方法也被認為是阿波羅尼奧斯所用方法的一個頗為可信的重現。另外，值得一提的是，范羅門的方法後來被艾薩克·牛頓簡化了，而且他證明了阿波羅尼奧斯問題等價於另一個問題：尋找一個點，其與三個給定點的距離之差是已知的。此想法在導航和系統中有一些應用，比如LORAN（遠距離無線電導航系統）。 再後來的數學家引入了代數的方法，即把幾何問題變換為代數方程組。這些方法又可以利用阿波羅尼奧斯問題所固有的對稱性以得到簡化，比如作為解的那些圓周（解圓）一般都成對出現：一個解圓和某已知圓外切的話，相應一定有另一個解圓是內切的（圖２）。利用這種對稱性提供了一個優美的尺規解法；也有一些數學家使用圓反演等幾何變換來簡化已知圓的配置。以上這些發展為一些代數方法提供了幾何的框架（見），以及根據已知圓的33種不同的配置來對解圓分類的方法。 阿波羅尼奧斯問題還進一步激發了很多工作。這個問題的三維推廣－－構造與四個已知球面的球面－－或者更高維的推廣，都有人研究。另外，三個已知圓兩兩相切的這種配置也引起了關注，例如笛卡兒就給出過已知圓和解圓的半徑關係式，即。在這種配置下，如果把問題的解不斷地迭代，還能得到所謂「」；這是最早被印刷出來的分形圖形，在解析數論中也有它的芳踪（見和哈代-李特爾伍德圓法）。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Het raakprobleem van Apollonius, vernoemd naar Apollonius van Perga, bestaat eruit de cirkels te construeren die drie gegeven cirkels raken. In het algemene geval, waarin de cirkels elkaar niet snijden of raken, zijn er acht oplossingen. Dat zijn de mogelijkheden dat de oplossingscirkel geen (1 geval), één (3 gevallen), twee (3 gevallen) of drie (1 geval) van de cirkels omsluit. (nl)
- Il problema di Apollonio (dal nome dello scienziato Apollonio di Perga) è un problema geometrico di tangenza tra circonferenze ed è formulato nei seguenti termini: «Date tre circonferenze, eventualmente degeneri, determinare le eventuali circonferenze tangenti a quelle date».' Se le tre circonferenze sono tangenti tra di loro, il raggio della quarta è determinato dal teorema di Descartes. (it)
- Problem Apoloniusza – problem matematyczny polegający na stworzeniu okręgu stycznego do trzech innych okręgów (Rys. 1). Apoloniusz z Pergi przedstawił i rozwiązał ten problem w swojej pracy Styczności (stgr. Ἐπαφαί, Epaphaí); praca ta zaginęła, jednak raport na temat jej wyników, który wykonał Pappus z Aleksandrii, przetrwał. Dla dowolnych trzech okręgów można stworzyć 8 różnych okręgów, które będą do nich styczne (Rys. 2). (pl)
- O problema de Apolónio é um problema de geometria proposto e resolvido por Apolónio de Pérgamo. (pt)
- Зада́ча Аполло́ния — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх данных окружностей. Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям. (ru)
- Задача Аполлонія — побудувати за допомогою циркуля і лінійки коло, що дотикається до трьох даних кіл. Задача розв'язується за допомогою застосування двох операцій: інверсії і переходу до концентричних кіл. (uk)
- في الهندسة الرياضية، مسألة أبولونيوس هي مسألة إنشاء دوائر مماسة لثلاث دوائر معلومة في المستوي.صاغ أبولونيوس بيرغا هذه المسألة وحلها في أحد أعماله التي ضاعت. فإذا إفترضنا وجود ثلاث دوائر مختلفة، والمطلوب رسم (بواسطة الرسم الرقمي) ثمانية دوائر تمس هذه الدوائر المعطية. فالعمل الذي اعتمد يكمن في تحديد المحل الهندسي لجميع مراكز دوائر التماس، حيث كل زوج من الدوائر المعطاة له قطعين زائدين بخاصية ذلك المحل الهندسي. وبما ان الدوائر المعطاة ثلاثة، فإن العدد الإجمالي للقطوع الزائدة يكون ستة قطوع، والنقاط المشتركة بين فروع كل ثلاثة قطع زائدة، تكون مراكز الدوائر الثماني المطلوبة. (ar)
- En geometria plana euclidiana, el problema d'Apol·loni consisteix a construir circumferències que siguin tangents a tres circumferències donades. Apol·loni de Perge (ca. 262 BC – ca. 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per Pappos d'Alexandria. Excloent les famílies de posicions particulars que tenen infinites solucions, les que no en tenen cap, i les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o impossibles, la resolució general del problema proveeix vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades. Hi ha dues solucions per cada manera de separar les circumferències donades en dos subconju (ca)
- Apolloniova úloha je geometrická úloha pojmenovaná po starořeckém matematikovi Apollóniovi z Pergy, který se jí zabýval jako první. Její podstatou je ke třem zadaným kružnicím v rovině nalézt takovou kružnici, která se jich dotýká (má s každou z nich společný jediný bod). Obecně existuje takových řešení osm a liší se v tom, které ze zadaných kružnic leží uvnitř výsledné kružnice. (cs)
- Στην ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων, που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.Χ.) στο έργο του Ἐπαφαί. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι, οι οποίοι εφάπτονται σε αυτούς (σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει ή όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο. (el)
- En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C.-circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, Tangencias). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Papo de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o (es)
- Das Apollonische Problem (Problem des Apollonios) ist eines der berühmtesten Probleme der antiken Geometrie. Es geht darum, mit Zirkel und Lineal die Kreise zu konstruieren, die drei beliebige vorgegebene Kreise berühren. Apollonios von Perge (* ca. 265 v. Chr.; † ca. 190 v. Chr.) widmet diesem Problem ein nicht erhaltenes Buch (Über Berührungen). Da die vollständige Lösung der Probleme alle Konstruktionsfälle mit Berührungen (Tangenten) von Kreisen, Punkten und Geraden löst, sind natürlich auch die Berührkreise am Dreieck enthalten (Ankreis, Inkreis, Umkreis). (de)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents. (fr)
- In Euclidean plane geometry, Apollonius's problem is to construct circles that are tangent to three given circles in a plane (Figure 1). Apollonius of Perga (c. 262 BC – c. 190 BC) posed and solved this famous problem in his work Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"); this work has been lost, but a 4th-century AD report of his results by Pappus of Alexandria has survived. Three given circles generically have eight different circles that are tangent to them (Figure 2), a pair of solutions for each way to divide the three given circles in two subsets (there are 4 ways to divide a set of cardinality 3 in 2 parts). (en)
- ユークリッド平面幾何学においてアポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、平面において与えられた3つの円に接する円を描く問題である(図 1)。ペルガのアポロニウス (ca. 262 BC – ca. 190 BC)が彼の著作 「接触」 Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies")においてこの有名な問題を提起し、解決した。この著作「接触」は現在失われているが、アレキサンドリアのパップスによる、アポロニウスの成果がまとめられた4世紀のレポートは現存している。3つの与円は一般的に、その3つの円に接する8つの相異なる円を持ち(図 2)、この円が3つの円を内部に持つか外部に持つかはそれぞれ異なる。すなわち、それぞれの円は、与えられた3つの円のうち一部を内部に持ち（残りの円は外部に持つ）、濃度が3の集合の部分集合は 23 = 8 つ存在するため、そのような円は8つ存在する。 (ja)
- 아폴로니오스의 문제란 유클리드 기하학에서 평면에 주어진 3개의 원에 접하는 원을 그리는 것이다.(그림 1). 페르게의 아폴로니오스(ca. 262 BC – ca. 190 BC)는 이 유명한 문제를 제창하고 그의 저서인 Ἐπαφαί (Epaphaí, "접촉상태")에서 답을 제시하였다. 그의 저서는 전하지 않지만, 에 의해 4세기에 작성된 보고서에 그의 해제가 실려있다. 주어진 3개의 원에 접하는 원은 8개였으며(그림 2) 각 해제는 주어진 3개의 원에 다른 방법으로 내접하거나 외접한다. 이후 수학자들은 대수학을 이용해 기하학 문제를 대수방정식으로 바꾸는 방법을 고안했다. 이러한 방법은 아폴로니오스의 문제에 있는 대칭성을 통해 간소화되었다. 은 이러한 대칭성을 이용해 간단한 해법을 제시했으며, 다른 수학자들은 과 같은 법을 이용해 주어진 원의 배치를 간소화했다. (ko)
- 阿波羅尼奧斯問題是一道有名的幾何題：「平面上給定三個圓周，如何用尺规作图構造出和這三個已知圓都相切的圓（圖１ ）？」 的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約前262年－約前190年）在其著名作品《論切觸》（希臘語：Ἐπαφαί，英譯名 Tangencies ）裡提出並解決了這個問題；雖然作品現已遺失，但這個數學結果已被記載在一份四世紀時亞歷山大的帕普斯所寫的報告裡。 三個給定的圓，一般而言會有八個不同的圓和它們都相切（圖２），而在這八個解裡，每一個都以不同的方式內切或外切於給定的三個圓。在十六世紀，范羅門用相交的雙曲線解決了這個問題，但他的解法並不符合只使用直規的要求。弗朗索瓦·韋達利用問題的找到這樣一種解法：三個圓中的任何一個都可以縮成零半徑（一個點），或擴大成半徑無限（一條直線）。此方法也被認為是阿波羅尼奧斯所用方法的一個頗為可信的重現。另外，值得一提的是，范羅門的方法後來被艾薩克·牛頓簡化了，而且他證明了阿波羅尼奧斯問題等價於另一個問題：尋找一個點，其與三個給定點的距離之差是已知的。此想法在導航和系統中有一些應用，比如LORAN（遠距離無線電導航系統）。 (zh)
|
