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- New Foundations (NF) ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine, benannt nach dessen Aufsatz New Foundations for Mathematical Logic (Neue Grundlagen der mathematischen Logik) von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem Extensionalitätsaxiom ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in vielen Punkten: Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die Element von sich selbst sind, etwa die Allmenge; das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom. Auch das Auswahlaxiom kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden – Ernst Specker bewies 1949 dessen Unverträglichkeit mit den übrigen Axiomen von NF. Außerdem kann man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen nicht beweisen. Der NF-Mengenbegriff weicht also stark vom eingebürgerten Mengenbegriff ab, so dass man NF eher als eine Theorie real existenter Klassen auffassen kann. (de)
- Nuevos Fundamentos, más conocida como NF, es una teoría de conjuntos formal propuesta por primera vez por Willard Van Orman Quine como un intento de simplificar la teoría de tipos desarrollada por Bertrand Russell y Whitehead en los Principia Mathematica. Se caracteriza por ser incompatible con el axioma de elección, por la elegancia de su formulación y por la existencia del conjunto universal. El problema de la consistencia relativa de NF es aún abierto. (es)
- En logique mathématique, New Foundations (NF) est une théorie des ensembles axiomatique introduite par Willard Van Orman Quine en 1937, dans un article intitulé « New Foundations for Mathematical Logic », et qui a connu un certain nombre de variantes. Pour éviter le paradoxe de Russell, le principe de compréhension est restreint aux formules stratifiées, une restriction inspirée de la théorie des types, mais où la notion de type est implicite. Personne n'a pu jusqu'à présent démontrer la consistance de NF relativement à une théorie axiomatique usuelle (comme ZFC et ses extensions). Mais en 1969, le mathématicien américain Ronald Jensen a montré qu'en ajoutant des ur-éléments à NF, on obtenait une théorie NFU consistante relativement à l'arithmétique de Peano. En 1982, le mathématicien belge Marcel Crabbé a montré la consistance de deux systèmes qu'il a appelé NFP et NFI, avec une restriction vis-à-vis de NF sur les formules sur lesquelles peut porter la compréhension. À la différence de ZFC, on montre dans NF l'existence d'un ensemble de tous les ensembles, et la définition de Frege de la cardinalité (un cardinal comme ensemble classe d'équivalence de la relation d'équipotence) peut être utilisée. La version complète de NF permet de démontrer la négation de l'axiome du choix. (fr)
- In mathematical logic, New Foundations (NF) is an axiomatic set theory, conceived by Willard Van Orman Quine as a simplification of the theory of types of Principia Mathematica. Quine first proposed NF in a 1937 article titled "New Foundations for Mathematical Logic"; hence the name. Much of this entry discusses NFU, an important variant of NF due to Jensen (1969) and clarified by Holmes (1998). In 1940 and in a revision in 1951, Quine introduced sometimes called "Mathematical Logic" or "ML", that included proper classes as well as sets. New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory. That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership, such as… xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1. It avoids Russell's paradox by permitting only stratifiable formulas to be defined using the axiom schema of comprehension. For instance, x ∈ y is a stratifiable formula, but x ∈ x is not. (en)
- 수리논리학에서 새 기초(영어: New Foundations, 약자 NF)는 공리적 집합론의 일종이다. 윌러드 반 오먼 콰인(Quine)이 《수학 원리》(Principia Mathematica)의 유형론을 단순화시킨 것에서 유래한다. 콰인은 1937년 "New Foundations for Mathematical Logic"에서 처음 NF를 선보였다. 1940년에, 그리고 1951년의 수정판에서, 콰인은 NF의 확장을 소개했고, 이는 집합은 물론 고유 모임도 포함한다. NF의 중요 변형인 NFU는 (Ronald Jensen)이 1969년 도입한 것으로, 이는 원소는 될 수 있으나 집합은 아닌 대상, 즉 원초(urelement)의 존재를 허용한다. 이에 따라 NFU는 전체 집합을 포함하며, … xn ∈ xn-1 ∈ …x3 ∈ x2 ∈ x1 과 같은 원소관계의 무한 강하 사슬을 허용하는 비정초적 집합론(non-well-founded set theory)이다. NFU를 받아들일 시 페아노 산술과의 상대적 무모순성이 증명된다. NF에서는 러셀의 유형론적 집합론(TST)과 같이 식들을 계층화(stratify)하여 x ∈ x와 같은 식이 원천적으로 불가능하게 되므로 러셀의 역설에 걸리지 않는다. 다만 기존 러셀 유형론과의 중대한 차이는 을 이용하여 유형을 간접적으로 나타냄으로써 유형의 개념을 별도로 도입하지 않도록 수정되었다는 점이다. (ko)
- In de wiskundige logica zijn de New Foundations of NF (Nederlands: nieuwe grondslagen) een axiomatische verzamelingenleer, die door Willard Van Orman Quine is opgesteld als een vereenvoudiging van de typentheorie uit de Principia Mathematica . Quine stelde zijn New Foundations in 1937 voor het eerst voor in een artikel getiteld "New Foundations for Mathematical Logic", vandaar de naam. (nl)
- 数理論理学において新基礎集合論 (しんきそしゅうごうろん、英: New Foundations) またはNF集合論とは、プリンキピア・マテマティカの型理論を単純化したものとしてウィラード・ヴァン・オーマン・クワインによって考案された、公理的集合論の一種である。この名称は、クワインが1937年における記事『数理論理学の新基礎』において初めて提唱したことに由来する。現在広く受け入れられているのはクワインが提唱したもともとの体系NFを少し修正したNFUと呼ばれる体系である。 (ja)
- La Nuova fondazione (in inglese New foundations o NF), nella teoria assiomatica degli insiemi, è il sistema assiomatico elaborato da Willard Van Orman Quine nel saggio Nuovi fondamenti per la logica matematica verso gli anni cinquanta-sessanta, riveduto negli anni ottanta, ispirato per molti aspetti alla teoria dei tipi contenuta nei Principia Mathematica di Russell-Whitehead. Per le formule di NF (il cui linguaggio formale è analogo a quello della Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), sebbene Quine utilizzi l'operatore negazione alternativa di Henry Sheffer come base di connettivi), vige una nozione peculiare, quella di stratificazione.Una formula si dice stratificata se e solo se è possibile sostituire ogni variabile che contiene con un numero naturale, a costo delle seguenti condizioni: 1.
* che la sostituzione avvenga in modo uniforme (occorrenze diverse nella stessa variabile vanno rimpiazzate in modo uniforme); 2.
* che per ogni occorrenza del predicato di appartenenza, il numero seguente tale predicato sia il successore del numero che lo preceda. Gli assiomi di NF sono due: 1.
* l'assioma di estensionalità; 2.
* l'assioma chiamato "schema di comprensione stratificata": più formalmente, se α è stratificata e non include x, esiste un x, per ogni y, tale che y appartiene a x se e solo se α. Pur essendo meno nota di ZFC, NF costituisce, grazie alla sua semplicità, una teoria più elegante di ZFC e forse ancora più potente (da Ernst Specker è stato dimostrato che l'assioma della scelta è in contraddizione con NF; non solo: l'assioma dell'infinito è ricavabile dagli assiomi di NF).Tuttavia, essa si presenta come una teoria formale ancora interamente da sondare (per esempio, non è ancora stata provata la sua consistenza), investendo così parte delle ricerche attuali sui fondamenti della matematica. (it)
- 在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。 (zh)
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- Nuevos Fundamentos, más conocida como NF, es una teoría de conjuntos formal propuesta por primera vez por Willard Van Orman Quine como un intento de simplificar la teoría de tipos desarrollada por Bertrand Russell y Whitehead en los Principia Mathematica. Se caracteriza por ser incompatible con el axioma de elección, por la elegancia de su formulación y por la existencia del conjunto universal. El problema de la consistencia relativa de NF es aún abierto. (es)
- In de wiskundige logica zijn de New Foundations of NF (Nederlands: nieuwe grondslagen) een axiomatische verzamelingenleer, die door Willard Van Orman Quine is opgesteld als een vereenvoudiging van de typentheorie uit de Principia Mathematica . Quine stelde zijn New Foundations in 1937 voor het eerst voor in een artikel getiteld "New Foundations for Mathematical Logic", vandaar de naam. (nl)
- 数理論理学において新基礎集合論 (しんきそしゅうごうろん、英: New Foundations) またはNF集合論とは、プリンキピア・マテマティカの型理論を単純化したものとしてウィラード・ヴァン・オーマン・クワインによって考案された、公理的集合論の一種である。この名称は、クワインが1937年における記事『数理論理学の新基礎』において初めて提唱したことに由来する。現在広く受け入れられているのはクワインが提唱したもともとの体系NFを少し修正したNFUと呼ばれる体系である。 (ja)
- 在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。 (zh)
- New Foundations (NF) ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine, benannt nach dessen Aufsatz New Foundations for Mathematical Logic (Neue Grundlagen der mathematischen Logik) von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem Extensionalitätsaxiom ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in vielen Punkten: Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die El (de)
- In mathematical logic, New Foundations (NF) is an axiomatic set theory, conceived by Willard Van Orman Quine as a simplification of the theory of types of Principia Mathematica. Quine first proposed NF in a 1937 article titled "New Foundations for Mathematical Logic"; hence the name. Much of this entry discusses NFU, an important variant of NF due to Jensen (1969) and clarified by Holmes (1998). In 1940 and in a revision in 1951, Quine introduced sometimes called "Mathematical Logic" or "ML", that included proper classes as well as sets. (en)
- En logique mathématique, New Foundations (NF) est une théorie des ensembles axiomatique introduite par Willard Van Orman Quine en 1937, dans un article intitulé « New Foundations for Mathematical Logic », et qui a connu un certain nombre de variantes. Pour éviter le paradoxe de Russell, le principe de compréhension est restreint aux formules stratifiées, une restriction inspirée de la théorie des types, mais où la notion de type est implicite. Personne n'a pu jusqu'à présent démontrer la consistance de NF relativement à une théorie axiomatique usuelle (comme ZFC et ses extensions). Mais en 1969, le mathématicien américain Ronald Jensen a montré qu'en ajoutant des ur-éléments à NF, on obtenait une théorie NFU consistante relativement à l'arithmétique de Peano. En 1982, le mathématicien belg (fr)
- La Nuova fondazione (in inglese New foundations o NF), nella teoria assiomatica degli insiemi, è il sistema assiomatico elaborato da Willard Van Orman Quine nel saggio Nuovi fondamenti per la logica matematica verso gli anni cinquanta-sessanta, riveduto negli anni ottanta, ispirato per molti aspetti alla teoria dei tipi contenuta nei Principia Mathematica di Russell-Whitehead. Gli assiomi di NF sono due: (it)
- 수리논리학에서 새 기초(영어: New Foundations, 약자 NF)는 공리적 집합론의 일종이다. 윌러드 반 오먼 콰인(Quine)이 《수학 원리》(Principia Mathematica)의 유형론을 단순화시킨 것에서 유래한다. 콰인은 1937년 "New Foundations for Mathematical Logic"에서 처음 NF를 선보였다. 1940년에, 그리고 1951년의 수정판에서, 콰인은 NF의 확장을 소개했고, 이는 집합은 물론 고유 모임도 포함한다. NF의 중요 변형인 NFU는 (Ronald Jensen)이 1969년 도입한 것으로, 이는 원소는 될 수 있으나 집합은 아닌 대상, 즉 원초(urelement)의 존재를 허용한다. 이에 따라 NFU는 전체 집합을 포함하며, … xn ∈ xn-1 ∈ …x3 ∈ x2 ∈ x1 과 같은 원소관계의 무한 강하 사슬을 허용하는 비정초적 집합론(non-well-founded set theory)이다. NFU를 받아들일 시 페아노 산술과의 상대적 무모순성이 증명된다. (ko)
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