| dbpprop:abstract
|
- In mathematics and abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have strongly influenced many parts of algebra. Linear algebraic groups and Lie groups are two branches of group theory that have experienced tremendous advances and have become subject areas in their own right. Various physical systems, such as crystals and the hydrogen atom, can be modelled by symmetry groups. Thus group theory and the closely related representation theory have many applications in physics and chemistry. One of the most important mathematical achievements of the 20th century was the collaborative effort, taking up more than 10,000 journal pages and mostly published between 1960 and 1980, that culminated in a complete classification of finite simple groups.
- Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus den Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n besteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – ist die Drehung um einen Winkel von 0° (die Nicht-Drehung). Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Évariste Galois, Niels Henrik Abel und Sophus Lie. Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar.
- Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Je podoborem algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.
- En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. El orden de un grupo es su cardinalidad; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.
- Ryhmäteoria on matematiikan osa-alue, joka keskittyy tutkimaan ryhmiä. Sillä on useita sovelluksia fysiikassa ja kemiassa. Monet kuvaukset säilyttävät joitakin struktuurin ominaisuuksia. Niinpä ryhmäteoriassa automorfismiryhmä on tärkeä käsite. Automorfismien muodostamaa ryhmää kutsutaan symmetriaryhmäksi. Galois'n teoria tutkii polynomien ratkeavuutta ryhmäteorian keinoin. Sen avulla voidaan polynomien ratkeavuus palauttaa ryhmän ratkeavuuteen. Tätä ryhmien ratkeavuutta on helpompi käsitellä kuin yhtälöiden ratkeavuutta. Abelin ryhmä on eräs ryhmäteorian perustyökalu ja se on perustana myös monimutkaisemmille algebrallisille rakenteille, kuten renkaille, kunnille ja moduleille.
- La théorie des groupes est une discipline mathématique, c'est la partie de l'algèbre générale qui étudie les groupes, des structures algébriques. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques, et de la géométrie.
- A csoportelmélet a csoport algebrai struktúrával foglalkozik.
- La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso. Tipico esempio di gruppo è fornito dalle rotazioni di uno spazio vettoriale euclideo S, cioè dall'insieme costituito da tutte le rotazioni di S (trasformazioni che lasciano fissa l'origine di S, mantengono le distanze tra i punti di S e si possono ottenere con movimenti continui). Muniamo l'insieme delle rotazioni di S con l'operazione di composizione delle rotazioni; si osserva che componendo due di queste rotazioni si ottiene un'altra rotazione; inoltre la rotazione identità, cioè la trasformazione che lascia fisso ogni punto di S, svolge il ruolo di elemento neutro per la composizione delle rotazioni. Le rotazioni di S e la loro composizione costituiscono quindi un gruppo detto gruppo delle rotazioni di S; lo denotiamo con GrpRot(S). Restringiamo poi l'insieme delle rotazioni di S a quelle che trasformano in sé stessa una certa figura geometrica F, ad esempio un cubo, un prisma regolare o una piramide. È evidente che la composizione di due di queste rotazioni fornisce un'altra rotazione che lascia invariata la figura F. Con ciascuna di queste richieste di invarianza si individua un gruppo contenuto in GrpRot(S). Questi gruppi sono detti sottogruppi di GrpRot(S). Questi esempi possono servire a farsi una prima idea del fatto che la teoria dei gruppi è lo strumento matematico per lo studio delle simmetrie delle figure geometriche e di altri oggetti che si incontrano nella matematica, nella fisica e nelle altre discipline che si avvalgono di modelli matematici e di procedure computazionali. Una buona gamma di definizioni di termini utilizzati per sviluppare la teoria dei gruppi è raccolta nel Glossario di teoria dei gruppi.
- Groepentheorie is in de wiskunde, zoals de naam al aangeeft, de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. De groepentheorie is gelijk ontstaan met de theorie van het oplossen van vergelijkingen. Lagrange heeft als eerste geprobeerd deze twee theorieën te combineren. Maar de theorie, die hierover gaat heet de Galoistheorie, de gebruikte groepen heten de Galoisgroepen. Polynomen worden door hun Galoisgroep ingedeeld. De Galoistheorie is dus gefundeerd op de groepentheorie. Groepen worden in de wiskunde veel gebruikt om de symmetrie van een wiskundige grootheid mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen. In de algebraïsche topologie worden groepen gebruikt om de vaste eigenschappen van topologische ruimten te beschrijven. De vaste eigenschap van een ruimte verandert niet onder een continue vervorming van diezelfde ruimte. Voorbeelden van de dergelijke invarianten zijn de fundamentaalgroep, de homologiegroepen en de cohomologiegroepen. Lie-groepen, genoemd naar Sophus Lie kunnen bij differentiaalvergelijkingen en variëteiten worden gebruikt. Deze tak van de wiskunde heet de harmonische analyse. De harmonische analyse combineert de analyse van functies en de groepentheorie, de groepen worden gebruikt om de symmetrie binnen analytische grootheden te beschrijven. De stelling van Burnside is een gevolg van de groepentheorie. In de combinatoriek wordt deze stelling gebruikt om het tellen van bijvoorbeeld permutaties te vereenvoudigen. Groepentheorie heeft vele toepassingen, vooral in de natuurkunde, de scheikunde en de materiaalkunde. In de scheikunde en de materiaalkunde worden ruimtegroepen gebruikt om er de structuur van kristallen en puntgroepen om er de symmetrie binnen moleculen mee te beschrijven. In de natuurkunde geven de groepen de symmetrie aan, waaraan de krachten tussen de verschillende elementaire deeltjes moeten voldoen. Vooral Lie-groepen zijn belangrijk, zij geven de mogelijke configuraties van krachten en deeltjes. Deze theorie resulteert in het standaardmodel.
- Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler studiet av grupper, eller mer spesifikt de endelige grupper. Man er ofte interessert i å finne ut hvor mange grupper som finnes med et gitt antall elementer.
- Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.
- Em Matemática, teoria dos grupos é o ramo que estuda os grupos.
- Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.
- Üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümelerin kuramıdır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir <math>\cdot</math> işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir: 1 G'nin herhangi üç elemanı a,b,c için <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math> eşitliği sağlanmalıdır, 2) G'nin öyle bir e elemanı vardır ki, G'deki herhangi bir a için <math>a\cdot e=e\cdot a=a</math> eşitliği sağlanır (yani e etkisiz elemandır), ve de e, G'de bu özelliği sağlayan tek elemandır, 3) G'deki her a elemanı için öyle bir b elemanı bulmak mümkündür ki <math>a\cdot b=b\cdot a=e</math> eşitliği sağlansın. Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa b elemanına a elemanının tersi adı verilir. Yukardaki tanımda dikkat edilmesi gereken bir nokta ise işlemimizin değişme özelliği olduğunu varsaymıyor oluşumuzdur. Yani bazı gruplarda öyle iki a ve b elemanı bulmak mümkündür ki <math>a\cdot b\neq b\cdot a</math> olsun. Öte yandan eğer bir grupta fazladan değişme özelliği de varsa o gruba "Abel grubu" denir. Gruplar sonlu veya sonsuz sayıda eleman içerebilirler.
- Теорія груп - розділ математики, який вивчає властивості груп. Поняття групи виникло в результаті формального опису симетрії та еквівалентності геометричних об'єктів. У ерлангенській програмі Ф. Клейна вивчення геометрії було пов'язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані фігури на площині, то групою рухів з'ясовується їхня рівність. Визначення. Групою називається множина елементів (скінченна або нескінченна), на якій задана операція (множення), що відповідає наступним аксіомам: Для будь-яких двох елементів групи існує третій, який є добутком першого та другого <math> \forall A,B \in G </math> <math>A \cdot B=C</math> <math>C \in G </math>. Добуток будь-яких двох елементів групи також належить групі (замкненість) <math>\forall A,B \in G </math> <math> \exist C \in G</math><math> A \cdot B=C</math>. Порядок виконання множення не суттєвий <math>\forall A,B,C \in G </math> <math>A \cdot(B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C</math>. Аксіома 1 еквівалентна аксіомі існування одиничного <math>E</math> та зворотного елементу <math>A^{-1}</math>. Якщо група також має властивість комутативності, то вона називається абелевою. Коли елементи групи неперервно залежать від якихось параметрів, то група називається неперервною, або групою Лі. Також кажуть, що група Лі - це група множина елементів якої утворює гладкий многовид. За допомогою груп Лі як груп симетрій знаходяться розв'язки диференціальних рівнянь.
- 在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类（classification of finite simple groups）是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics and abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have strongly influenced many parts of algebra.
- Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus den Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n besteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – ist die Drehung um einen Winkel von 0° (die Nicht-Drehung).
- Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Je podoborem algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.
- En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales.
- Ryhmäteoria on matematiikan osa-alue, joka keskittyy tutkimaan ryhmiä. Sillä on useita sovelluksia fysiikassa ja kemiassa. Monet kuvaukset säilyttävät joitakin struktuurin ominaisuuksia. Niinpä ryhmäteoriassa automorfismiryhmä on tärkeä käsite. Automorfismien muodostamaa ryhmää kutsutaan symmetriaryhmäksi. Galois'n teoria tutkii polynomien ratkeavuutta ryhmäteorian keinoin. Sen avulla voidaan polynomien ratkeavuus palauttaa ryhmän ratkeavuuteen.
- La théorie des groupes est une discipline mathématique, c'est la partie de l'algèbre générale qui étudie les groupes, des structures algébriques. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques, et de la géométrie.
- A csoportelmélet a csoport algebrai struktúrával foglalkozik.
- La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso.
- Groepentheorie is in de wiskunde, zoals de naam al aangeeft, de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. De groepentheorie is gelijk ontstaan met de theorie van het oplossen van vergelijkingen. Lagrange heeft als eerste geprobeerd deze twee theorieën te combineren. Maar de theorie, die hierover gaat heet de Galoistheorie, de gebruikte groepen heten de Galoisgroepen. Polynomen worden door hun Galoisgroep ingedeeld.
- Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler studiet av grupper, eller mer spesifikt de endelige grupper. Man er ofte interessert i å finne ut hvor mange grupper som finnes med et gitt antall elementer.
- Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.
- Em Matemática, teoria dos grupos é o ramo que estuda os grupos.
- Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.
- Üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümelerin kuramıdır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir <math>\cdot</math> işleminden oluşur.
- Теорія груп - розділ математики, який вивчає властивості груп. Поняття групи виникло в результаті формального опису симетрії та еквівалентності геометричних об'єктів. У ерлангенській програмі Ф.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
