| dbo:abstract
|
- In Lie theory and related areas of mathematics, a lattice in a locally compact group is a discrete subgroup with the property that the quotient space has finite invariant measure. In the special case of subgroups of Rn, this amounts to the usual geometric notion of a lattice as a periodic subset of points, and both the algebraic structure of lattices and the geometry of the space of all lattices are relatively well understood. The theory is particularly rich for lattices in semisimple Lie groups or more generally in semisimple algebraic groups over local fields. In particular there is a wealth of rigidity results in this setting, and a celebrated theorem of Grigory Margulis states that in most cases all lattices are obtained as arithmetic groups. Lattices are also well-studied in some other classes of groups, in particular groups associated to Kac–Moody algebras and automorphisms groups of regular trees (the latter are known as tree lattices). Lattices are of interest in many areas of mathematics: geometric group theory (as particularly nice examples of discrete groups), in differential geometry (through the construction of locally homogeneous manifolds), in number theory (through arithmetic groups), in ergodic theory (through the study of homogeneous flows on the quotient spaces) and in combinatorics (through the construction of expanding Cayley graphs and other combinatorial objects). (en)
- En théorie des groupes le terme réseau désigne un sous-groupe d'un groupe topologique localement compact vérifiant les conditions suivantes :
* est discret dans , ce qui est équivalent à la condition qu'il existe un voisinage ouvert de l'identité de tel que ;
* est de covolume fini dans , c'est-à-dire qu'il existe sur l'espace quotient une mesure Borélienne de masse totale finie et invariante par (agissant par translations à droite).
* Un réseau est dit uniforme quand le quotient est compact. On dit alors que est un réseau de . L'exemple le plus simple (et l'origine de la terminologie) est celui des groupes abéliens : le sous-groupe est un réseau uniforme (voir aussi : Réseau (géométrie)). Le cadre classique pour étudier cette notion est celui des groupes de Lie : la notion de réseau a été originellement développée pour extraire les propriétés essentielles des groupes arithmétiques. (fr)
- およびその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子（こうし、英: lattice）とは、であって、それによる商空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。特別な場合として、局所コンパクト群 Rn の場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られ、このときの格子の代数的構造や全ての格子全体における幾何はどちらも比較的よく知られている。1950年代から1970年代に掛けて得られた、ボレル、、ジョージ・モストウ、、、マーグリス、らによる格子に関する深い結果は、理論の例を与えるとともに冪零リー群や局所体上のに対する理論への大きな一般化を与えた。1990年代には、やによって樹状格子 (tree lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。 (ja)
- Решётка в локально компактной группе — такая её дискретная подгруппа, факторпространство по которой имеет конечную меру Хаара. Простейший пример решёток — решётки в . Часто изучают решётки в группах Ли или (в более общем случае) в полупростых алгебраических группах над локальными полями. В этой области доказано немало результатов, связанных с понятием жёсткости: теорема Мостова о жёсткости, теорема Маргулиса об арифметичности.Любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка, но обратное неверно: так, для подгруппы объём фактора по ней конечен, однако не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной). Также хорошо изучены решётки в некоторых других классах групп: в группах, связанных с , и в группах автоморфизмов регулярных деревьев. Решётки представляют интерес для многих областей математики: геометрическая теория групп, дифференциальная геометрия, эргодическая теория, комбинаторика. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- およびその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子（こうし、英: lattice）とは、であって、それによる商空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。特別な場合として、局所コンパクト群 Rn の場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られ、このときの格子の代数的構造や全ての格子全体における幾何はどちらも比較的よく知られている。1950年代から1970年代に掛けて得られた、ボレル、、ジョージ・モストウ、、、マーグリス、らによる格子に関する深い結果は、理論の例を与えるとともに冪零リー群や局所体上のに対する理論への大きな一般化を与えた。1990年代には、やによって樹状格子 (tree lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。 (ja)
- In Lie theory and related areas of mathematics, a lattice in a locally compact group is a discrete subgroup with the property that the quotient space has finite invariant measure. In the special case of subgroups of Rn, this amounts to the usual geometric notion of a lattice as a periodic subset of points, and both the algebraic structure of lattices and the geometry of the space of all lattices are relatively well understood. (en)
- En théorie des groupes le terme réseau désigne un sous-groupe d'un groupe topologique localement compact vérifiant les conditions suivantes :
* est discret dans , ce qui est équivalent à la condition qu'il existe un voisinage ouvert de l'identité de tel que ;
* est de covolume fini dans , c'est-à-dire qu'il existe sur l'espace quotient une mesure Borélienne de masse totale finie et invariante par (agissant par translations à droite).
* Un réseau est dit uniforme quand le quotient est compact. (fr)
- Решётка в локально компактной группе — такая её дискретная подгруппа, факторпространство по которой имеет конечную меру Хаара. Простейший пример решёток — решётки в . Часто изучают решётки в группах Ли или (в более общем случае) в полупростых алгебраических группах над локальными полями. В этой области доказано немало результатов, связанных с понятием жёсткости: теорема Мостова о жёсткости, теорема Маргулиса об арифметичности.Любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка, но обратное неверно: так, для подгруппы объём фактора по ней конечен, однако не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной). (ru)
|
