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- En matemàtiques, un nombre primer regular és un nombre primer que verifica certa propietar relacionada amb les arrels del polinomi xp-1. Aquesta noció va ser introduïda per Ernst Kummer el 1847, per a una prova de l'últim teorema de Fermat, en un article titulat Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xl+yl=zl für eine unendliche Anzahl Primzahlen l'. Hi ha diverses formulacions equivalents entre si per definir la regularitat d'un nombre primer. Una d'elles és que el nombre primer p no ha de ser pas un divisor del nombre de classes (és a dir del cardinal del ) del , on és una arrel primitiva p-èsima de la unitat. Una manera de provar la irregularitat a la pràctica ve donada per la caracterització següent: el nombre primer p és regular si i només si no divideix el numerador de cap dels nombres de Bernoulli Bk, quan k pren els valors parells entre 2 i p-3. Els nombres primers irregulars més petits són 37, 59, 67, 101. Se sap que existeixi una infinitat de nombres primers irregulars, però l'existència d'una infinitat de nombres primers regulars continua sent una qüestió oberta. El treball de Kummer permet precisament demostrar l'asserció següent: si p és un nombre primer regular, l'equació xp+yp=zp no té solucions per a x, y i z enters relatius no divisibles per p. El punt central de l'argument, desenvolupat en termes moderns, és que tal identitat es factoritza en : al cos . Aquesta igualtat es pot interpretar com una igualtat entre el producte dels ideals i l'ideal (z) elevat a la potència p. Es pot demostrar que els ideals són primers entre ells, la teoria de la , i la dels permet assegurar que cadascun és la potència p-èsima d'un cert ideal Ai; l'ideal Aip és principal, la hipòtesi que el nombre p és regular (no és divisor del nombre de classes de ), mostra llavors que l'ideal Ai és ell mateix principal, això que subministra a una igualtat la forma Per a una certa unitat. A partir d'aquí amb alguns càlculs es pot arribar a una contradicció. (ca)
- عدد أولي نظامي هو عدد أولي p أكبر قطعا من الاثنين والذي لا يقسم... (ar)
- In der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie bestimmte Zahlen nicht teilt. Ihre bekannteste Anwendung stammt von Ernst Kummer, der 1850 bewies, dass der große Fermatsche Satz für Exponenten gilt, die durch eine reguläre Primzahl teilbar sind. (de)
- En mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme Xp – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ+yλ = zλ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ». (fr)
- En matemáticas, un primo regular es un cierto tipo de número primo. Un número primo p es regular si no divide el del p-iésimo campo ciclotómico (o sea, el campo de los números algebraicos obtenido al adjuntar la p-iesima raíz de la unidad a los números racionales). Los primeros primos regulares son: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, … Se ha conjeturado que existe un número infinito de primos regulares. Más precisamente se espera que e-1/2, o aproximadamente 61%, de todos los números primos son regulares, en el sentido asintótico de densidad natural. Ninguna de estas conjeturas ha sido demostrada al año 2006. Históricamente, los primos regulares fueron analizados por primera vez por Ernst Kummer, quien pudo probar que el último teorema de Fermat es cierto para exponentes de números primos (y por lo tanto para todos los exponentes que eran múltiplos de primos regulares). Un criterio equivalente de regularidad es que p no sea divisor del numerador de ningún número de Bernoulli Bk para k = 2, 4, 6, …, p - 3. Un número primo que no es regular es un primo irregular. El número de Bk con numerador divisible por p se llama el índice de irregularidad de p. Johan Jensen demostró en 1915 que existe una cantidad infinita de primos irregulares, los primeros son: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, … (es)
- In number theory, a regular prime is a special kind of prime number, defined by Ernst Kummer in 1850 to prove certain cases of Fermat's Last Theorem. Regular primes may be defined via the divisibility of either class numbers or of Bernoulli numbers. The first few regular odd primes are: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (sequence in the OEIS). (en)
- 数論における正則素数（せいそくそすう、regular prime）とは、円の p 分体の類数を割り切らない素数 p のことであり、エルンスト・クンマーにより考案された。小さいものから順に 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7703） と続く。クンマーは、奇素数の正則性は p が k = 2, 4, 6, …, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。また、次数が正則素数である場合にフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。 正則素数は無限に存在すると予想されている。より正確には、e−1/2 、つまり約 61% の素数が正則であると予想されている (Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。 正則でない奇素数は非正則素数と呼ばれ、小さいものから順に 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, … (A928) と続く。分子が p で割り切れるようなベルヌーイ数 Bk の個数は p の非正則指数と呼ばれる。K. L. ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。 (ja)
- In de getaltheorie is een regulier priemgetal een priemgetal dat het klassegetal van het -de cyclotomische veld/lichaam niet deelt.Met het -de cyclotomische veld wordt het algebraïsch getallenlichaam bedoeld dat wordt verkregen door aan de rationale getallen de -eenheidswortel toe te voegen. Ernst Kummer toonde aan dat een equivalent criterium voor regulariteit is dat geen deler is van de teller van enige van de Bernoulligetallen voor De eerste reguliere priemgetallen zijn: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …. Het vermoeden is geuit dat er oneindig veel reguliere priemgetallen zijn. Om precies te zijn heeft Siegel in 1964 gesteld dat 1/√e, of ongeveer 61%, van alle priemgetallen, regulier zijn, dit in de asymptotische analyse zin van een natuurlijke dichtheid. Geen van deze twee vermoedens is anno 2008 bewezen. De eerste die reguliere priemgetallen in beschouwing nam, was Kummer. Hij slaagde erin te bewijzen dat de laatste stelling van Fermat waar is voor alle reguliere priemgetallen en de veelvouden daarvan. Een oneven priemgetal dat niet regulier is, wordt een irregulier priemgetal genoemd. Het aantal van de Bernoulligetallen met een teller deelbaar door wordt de irregulariteits index van genoemd. heeft in 1915 bewezen dat er een oneindig aantal irreguliere priemgetallen bestaat. De eerste daarvan zijn: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, …. (nl)
- Regularne liczby pierwsze – w teorii liczb jest to klasa liczb pierwszych wprowadzona przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummera. (pl)
- В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р, для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными. Несколько первых регулярных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, … (ru)
- 正則素數是一種質數，由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是： 定義. 素數 是正則素數，若且唯若 不整除分圓域 的類數。此定義簡單卻不易計算。 另一種定義方式是：素數 是正則素數，若且唯若 不整除伯努利數 的分子。 頭幾個正則素數為： 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS數列） 庫默爾證明了：當 是正則素數時， 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS數列）。已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。 (zh)
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- عدد أولي نظامي هو عدد أولي p أكبر قطعا من الاثنين والذي لا يقسم... (ar)
- In der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie bestimmte Zahlen nicht teilt. Ihre bekannteste Anwendung stammt von Ernst Kummer, der 1850 bewies, dass der große Fermatsche Satz für Exponenten gilt, die durch eine reguläre Primzahl teilbar sind. (de)
- En mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme Xp – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ+yλ = zλ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ». (fr)
- In number theory, a regular prime is a special kind of prime number, defined by Ernst Kummer in 1850 to prove certain cases of Fermat's Last Theorem. Regular primes may be defined via the divisibility of either class numbers or of Bernoulli numbers. The first few regular odd primes are: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (sequence in the OEIS). (en)
- 数論における正則素数（せいそくそすう、regular prime）とは、円の p 分体の類数を割り切らない素数 p のことであり、エルンスト・クンマーにより考案された。小さいものから順に 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7703） と続く。クンマーは、奇素数の正則性は p が k = 2, 4, 6, …, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。また、次数が正則素数である場合にフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。 正則素数は無限に存在すると予想されている。より正確には、e−1/2 、つまり約 61% の素数が正則であると予想されている (Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。 正則でない奇素数は非正則素数と呼ばれ、小さいものから順に 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, … (A928) と続く。分子が p で割り切れるようなベルヌーイ数 Bk の個数は p の非正則指数と呼ばれる。K. L. ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。 (ja)
- Regularne liczby pierwsze – w teorii liczb jest to klasa liczb pierwszych wprowadzona przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummera. (pl)
- В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р, для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными. Несколько первых регулярных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, … (ru)
- 正則素數是一種質數，由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是： 定義. 素數 是正則素數，若且唯若 不整除分圓域 的類數。此定義簡單卻不易計算。 另一種定義方式是：素數 是正則素數，若且唯若 不整除伯努利數 的分子。 頭幾個正則素數為： 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS數列） 庫默爾證明了：當 是正則素數時， 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS數列）。已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。 (zh)
- En matemàtiques, un nombre primer regular és un nombre primer que verifica certa propietar relacionada amb les arrels del polinomi xp-1. Aquesta noció va ser introduïda per Ernst Kummer el 1847, per a una prova de l'últim teorema de Fermat, en un article titulat Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xl+yl=zl für eine unendliche Anzahl Primzahlen l'. Els nombres primers irregulars més petits són 37, 59, 67, 101. Se sap que existeixi una infinitat de nombres primers irregulars, però l'existència d'una infinitat de nombres primers regulars continua sent una qüestió oberta. (ca)
- En matemáticas, un primo regular es un cierto tipo de número primo. Un número primo p es regular si no divide el del p-iésimo campo ciclotómico (o sea, el campo de los números algebraicos obtenido al adjuntar la p-iesima raíz de la unidad a los números racionales). Los primeros primos regulares son: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, … Un criterio equivalente de regularidad es que p no sea divisor del numerador de ningún número de Bernoulli Bk para k = 2, 4, 6, …, p - 3. 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, … (es)
- In de getaltheorie is een regulier priemgetal een priemgetal dat het klassegetal van het -de cyclotomische veld/lichaam niet deelt.Met het -de cyclotomische veld wordt het algebraïsch getallenlichaam bedoeld dat wordt verkregen door aan de rationale getallen de -eenheidswortel toe te voegen. Ernst Kummer toonde aan dat een equivalent criterium voor regulariteit is dat geen deler is van de teller van enige van de Bernoulligetallen voor De eerste reguliere priemgetallen zijn: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …. 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, …. (nl)
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