| dbpprop:abstract
|
- Trigonometry History Usage Functions Inverse functions Further reading Reference List of identities Exact constants Generating trigonometric tables Euclidean theory Law of sines Law of cosines Law of tangents Pythagorean theorem Calculus Trigonometric substitution Integrals of functions Derivatives of functions Integrals of inverses In mathematics, the Pythagorean theorem or Pythagoras' theorem is a relation in Euclidean geometry among the three sides of a right triangle (right-angled triangle in British English). It states: In any right triangle, the area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares whose sides are the two legs (the two sides that meet at a right angle). The theorem can be written as an equation: <math>a^2 + b^2 = c^2\!\, where c represents the length of the hypotenuse, and a and b represent the lengths of the other two sides. The Pythagorean theorem is named after the Greek mathematician Pythagoras, who by tradition is credited with its discovery and proof, although it is often argued that knowledge of the theory predates him. (There is much evidence that Babylonian mathematicians understood the principle, if not the mathematical significance.)
- Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Als Gleichung ausgedrückt lautet er <math>a^2 + b^2 = c^2, wobei <math>a und <math>b wie im Bild rechts für die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, stehen und <math>c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, darstellt. In der modernen Mathematik motiviert der Satz das Konzept des Senkrechtstehens in abstrakten Räumen. Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Schon lange vor Pythagoras war der „Satz des Pythagoras“ in Babylon und Indien bekannt. Es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort bereits einen mathematischen Beweis hatte.
- El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat). Expressat matemàticament; a + b = c
- Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje tato rovnice: <math>a^2 + b^2 = c^2, \,</math> kde písmeno c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny jako a a b.
- El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos . Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes <math> a \,</math> y <math> b \,</math>, y la medida de la hipotenusa es <math> c \,</math>, se establece que: <math> c^2 = b^2 + a^2 \,</math>
- Pythagoraan lauseen avulla voidaan laskea suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituus, jos muiden sivujen pituudet tunnetaan. Se käytännön sovellusten kannalta tärkeimpiä matematiikan yksittäisiä tuloksia, mm. siksi, että se mahdollistaa suorakulmaisen koordinaatiston pisteiden etäisyyden määrittämisen pisteiden koordinaattien avulla. Lause on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan. Lauseen sisältö on kuitenkin tunnettu jo mesopotamialaisessa laskennossa noin 2000 eaa. , ja vuoteen 1650 eaa. ajoitetun Rhindin papyruksen perusteella voidaan päätellä sen olleen tunnettu myös Egyptissä. Lause kuuluu: "Suorakulmaisen kolmion kateetit sivuina piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusa sivuna piirretyn neliön ala". Pythagoraan lauseen sisältö voidaan ilmaista yhtälönä <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, jossa <math>a</math> ja <math>b</math> ovat suoran kulman muodostavien sivujen eli kateettien pituudet ja <math>c</math> pisimmän sivun eli hypotenuusan pituus. Yhtälöstä voidaan ratkaista <math>a=\sqrt{c^2-b^2} </math>, <math> b=\sqrt{c^2-a^2} </math> ja <math> c=\sqrt{a^2+b^2}</math>. Pythagoraan lause on erikoistapaus kosinilauseesta. Kosinilausetta kutsutaan usein myös laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.
- Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème est nommé d’après Pythagore de Samos, mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.
- Fájl:Pythagoras-2a. gif A tétel egyik bizonyítása. A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.
- Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del Teorema di Carnot.
- ピタゴラスの定理（Pythagoras - のていり、Pythagorean theorem）は、直角三角形の 3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理（さんへいほうのていり）・鉤股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。
- De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, net als in Babylonië. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. In een rechthoekige driehoek noemen we de rechthoekszijden (de zijden die aan aan de hoek van 90° liggen) a en b. De schuine zijde (de zijde die niet aan rechte hoek grenst, ook wel "hypotenusa" genoemd) noemen we c. De stelling van Pythagoras geeft nu een verband tussen de lengtes van de rechthoekszijden (a en b) enerzijds en de lengte van de hypotenusa (c) anderzijds: "In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden". In de bekende wiskundige vorm: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math> (Dit is Propositie I.47 uit Elementen van Euclides)
- Pythagoras' læresetning er en av de mest grunnleggende læresetninger innen euklidsk geometri. Den angir at: «I en rettvinklet trekant er summen av arealet på katetene lik arealet på hypotenusen» Dette kan uttrykkes med ligningen: <math>\ a^2 + b^2 = c^2</math> hvor <math>a</math> og <math>b</math> er de hosliggende sider, katetene, til den rette vinkel mens <math>c</math> er den motstående side, hypotenusen. Læresetningen har fått navn etter Pythagoras som antas å være den første som har kunnet gi et bevis for setningen. Blant matematikere trekkes dette i tvil. Lenge før Pythagoras synes sammenhengen i Pythagoras' læresetning å være kjent i Babylon og India, men uten at en har kunnet påvise at de kunne beviset setningen. Hvis trekanten ikke er rettvinklet, kan man benytte en av cosinusrelasjonene, som også kalles den utvidede pythagoreiske læresetning, hvor det gis at <math>\ {c^2} = {a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma}</math>, der <math>\ \gamma</math> er vinkelen mellom <math>\ a</math> og <math>\ b</math>.
- Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.
- O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se a designar o comprimento da hipotenusa e b e c os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que: <math>a^2 = b^2 + c^2. \,</math>
- Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană. Teorema lui Pitagora afirmă că "în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei". Dacă se notează cu <math>a\,</math> şi <math>b\,</math> lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, şi cu <math>c\,</math> lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora poate fi formulată algebric astfel: <math>a^2 + b^2 = c^2. \,</math> Teorema lui Pitagora este în acelaşi timp şi una dintre teoremele cele mai demonstrate (poate teorema cu cele mai multe demonstraţii independente), şi una dintre cele mai uşor demonstrabile. The Pythagorean Proposition, o carte scrisă de Elisha Scott Loomis şi publicată (în câteva ediţii) în America conţine 370 de demonstraţii, inclusiv una aparţinând fostului preşedinte american James Garfield. Reciproca este adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a şi b va fi drept.
- Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
- Pythagoras sats anger sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Den grekiske matematikern Pythagoras anses vara den första som bevisade satsen, men den var troligen känd av bland annat i Babylon sedan tidigare. Satsen är en av matematikens mest kända bland den breda allmänheten. Den traditionella formuleringen av Pythagoras sats är: Kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusa är den längsta sidan i en rätvinklig triangel, som står mot den räta vinkeln och kateter är de två övriga sidorna, som bildar den räta vinkeln.
- Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir. : <math>c^2=a^2+b^2</math> c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak <math>a^2, b^2, c^2</math> şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde Öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir. ) Öklide göre <math>a^2=p(p+q)</math> yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda <math>a^2=p. c</math> olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz. <math>a^2=p. (p+q) b^2=q. (p+q) </math><math> p+q=c </math><math>a^2=p. c, b^2=q. c</math> olacaktır. Bunu takiben,<math>a^2+b^2=p. c+q. c </math><math> a^2+b^2=c. (p+q) </math><math> p+q=c </math><math>a^2+b^2=c. c</math><math> a^2+b^2=c^2</math> olacaktır. Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid Geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.
- Теоре́ма Піфаго́ра — одна з ґрунтовних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.
- 勾股定理或勾股弦定理，又称畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希腊的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相传是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释，作為一個證明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
|
| rdfs:comment
|
- Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist.
- El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat). Expressat matemàticament; a + b = c
- Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).
- El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos . Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes <math> a \,</math> y <math> b \,</math>, y la medida de la hipotenusa es <math> c \,</math>, se establece que: <math> c^2 = b^2 + a^2 \,</math>
- Pythagoraan lauseen avulla voidaan laskea suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituus, jos muiden sivujen pituudet tunnetaan. Se käytännön sovellusten kannalta tärkeimpiä matematiikan yksittäisiä tuloksia, mm. siksi, että se mahdollistaa suorakulmaisen koordinaatiston pisteiden etäisyyden määrittämisen pisteiden koordinaattien avulla. Lause on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan.
- Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème est nommé d’après Pythagore de Samos, mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.
- Fájl:Pythagoras-2a. gif A tétel egyik bizonyítása. A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.
- Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del Teorema di Carnot.
- ピタゴラスの定理（Pythagoras - のていり、Pythagorean theorem）は、直角三角形の 3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理（さんへいほうのていり）・鉤股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。
- De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, net als in Babylonië. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten.
- Pythagoras' læresetning er en av de mest grunnleggende læresetninger innen euklidsk geometri. Den angir at: «I en rettvinklet trekant er summen av arealet på katetene lik arealet på hypotenusen» Dette kan uttrykkes med ligningen: <math>\ a^2 + b^2 = c^2</math> hvor <math>a</math> og <math>b</math> er de hosliggende sider, katetene, til den rette vinkel mens <math>c</math> er den motstående side, hypotenusen.
- Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.
- O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se a designar o comprimento da hipotenusa e b e c os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que: <math>a^2 = b^2 + c^2.
- Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană. Teorema lui Pitagora afirmă că "în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei".
- Pythagoras sats anger sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Den grekiske matematikern Pythagoras anses vara den första som bevisade satsen, men den var troligen känd av bland annat i Babylon sedan tidigare. Satsen är en av matematikens mest kända bland den breda allmänheten. Den traditionella formuleringen av Pythagoras sats är: Kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna.
- Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir. : <math>c^2=a^2+b^2</math> c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak <math>a^2, b^2, c^2</math> şeklinde sıralanır.
- Теоре́ма Піфаго́ра — одна з ґрунтовних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
